فيديو الدرس: احتمال الأحداث البسيطة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال وقوع أحداث بسيطة. دعونا نبدأ بالتفكير في المقصود بالاحتمال. الاحتمال هو احتمالية أو فرصة وقوع حدث ما. قد نلاحظ أن هذا يشير إلى احتمالية حدوث ناتج ما. عندما بدأنا تعلم الاحتمال، وحتى في الحياة اليومية، استخدمنا كلمات لوصف احتمال حدوث شيء ما. على سبيل المثال، يمكننا القول إنه من المستحيل وقوع حدث ما. أو إذا كان هذا الحدث سيقع بالتأكيد، فيمكننا القول إنه من المؤكد وقوعه. يمكننا أيضًا استخدام كلمات مثل غير محتمل ومحتمل.

عند الحديث عن الاحتمال في الرياضيات، من الجيد أن نحدد قيمًا عددية له. احتمال أي حدث مستحيل يساوي صفرًا، واحتمال أي حدث مؤكد يساوي واحدًا. ويمكننا التعبير عن الاحتمالات إما على صورة أعداد عشرية أو كسور.

في هذا الفيديو، سنركز على احتمال الأحداث البسيطة. الحدث البسيط هو حدث له ناتج واحد. لنفترض مثلًا أننا سنلقي عملة معدنية. أحد وجهي العملة المعدنية صورة، والآخر كتابة. إذا أردنا إيجاد احتمال الحصول على كتابة، فيمكننا كتابته كما يلي: ﻝ ثم كلمة «كتابة» بين قوسين. ولإيجاد القيمة العددية، يمكننا القول إن ناتجًا واحدًا من أصل ناتجين هو كتابة. لذا، يمكننا كتابة ذلك في صورة الكسر نصف. بدلًا من ذلك، إذا رمينا حجر نرد يحمل الأعداد من واحد إلى ستة، وأردنا إيجاد احتمال ظهور العدد ثلاثة، فإننا نعلم أن عددًا واحدًا من أصل ستة أعداد ممكنة هو ثلاثة. إذن، احتمال ظهور العدد ثلاثة هو سدس.

بصفة عامة، يمكننا القول إنه بالنسبة إلى أي حدث بسيط، فإن احتمال وقوع هذا الحدث يساوي عدد النواتج الممكنة على إجمالي عدد النواتج. تذكر أنه عند النظر إلى العملة المعدنية، يكون احتمال ظهور الكتابة هو الناتج الوحيد للحصول على كتابة من إجمالي ناتجين، أي صورة أو كتابة. سنتناول الآن بعض الأسئلة ونعرف كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة.

فصل به ١٨ ولدًا وتسع بنات. ما احتمال أن يكون الطالب الذي تم اختياره عشوائيًّا بنتًا؟

في هذا السؤال، نعلم أن هناك فصلًا مكونًا من ١٨ ولدًا وتسع بنات. علينا إيجاد احتمال أن يكون أحد هؤلاء الطلاب الذي تم اختياره بنتًا. هناك اعتقاد خاطئ شائع جدًّا بأننا إذا اخترنا أحد هؤلاء الطلاب، فسنحصل إما على ولد أو بنت. لذا، قد نعتقد أن الاحتمال يساوي ٥٠/٥٠ أو نصفًا. ولكن، هذا غير صحيح. إذا فكرنا في الأمر، فسنجد أن عدد الأولاد أكبر من عدد البنات. لذلك، الاحتمال الأكبر هو أننا سنختار ولدًا وليس بنتًا.

عندما يكون لدينا حدث مثل هذا، حيث نختار شيئًا ويوجد ناتج واحد فقط، وهو هنا ولد أو بنت، فيمكننا إذن تطبيق القاعدة التي تنص على أن احتمال هذا الحدث يساوي عدد النواتج الممكنة على إجمالي عدد النواتج. لذا في هذا السؤال، نظرًا لأننا نريد إيجاد احتمال اختيار بنت، فإن عدد النواتج الممكنة في هذه الحالة هو عدد البنات. وإجمالي عدد النواتج هو إجمالي عدد الطلاب.

بمجرد كتابة المعادلة في سياق السؤال لدينا، علينا فقط التعويض بأي قيمة معطاة. علمنا أن هناك تسع بنات. لكن انتبه؛ لأن إجمالي عدد الطلاب ليس ١٨؛ فهذا هو عدد الأولاد. لإيجاد إجمالي عدد الطلاب، نجمع عدد الأولاد والبنات معًا، فنحصل على ٢٧. وبالطبع، من الأفضل دائمًا تبسيط الكسر كلما استطعنا. يمكن تبسيط تسعة على ٢٧ إلى ثلث. وبذلك، نجد أن احتمال اختيار بنت يساوي ثلثًا.

هيا نتناول سؤالًا آخر.

ما احتمال أن يقف السهم على عدد زوجي، إذا أدير القرص الموضح بالشكل؟

عندما يكون لدينا سؤال مثل هذا، نفترض أن القرص منتظم. ونعني بهذا أنه غير مصمم بحيث يقف السهم على قطاع معين بشكل أكثر تكرارًا من قطاع آخر. يمكننا ملاحظة أن جميع القطاعات متساوية في القياس. وعلى وجه التحديد، ستكون الزاوية التي تتكون عند مركز هذا القرص في كل قطاع من قطاعاته متساوية في القياس.

نظرًا لأن هناك ناتجًا واحدًا فقط في كل مرة يدور فيها القرص، يمكننا استخدام صيغة احتمال أساسية. احتمال حدث ما يساوي عدد النواتج الممكنة على إجمالي عدد النواتج. إذن، ما الحدث الذي يعنينا هنا؟ إنه احتمال وقوف السهم على عدد زوجي. ويمكننا كتابة هذا على الصورة: ﻝ، ثم نكتب كلمة «زوجي» بين قوسين. إذن، عدد النواتج الممكنة هو عدد القيم الزوجية على القرص. وإجمالي عدد النواتج هو إجمالي عدد القيم على القرص.

دعونا إذن نحسب القيم الزوجية والفردية على القرص. حسنًا، العددان ١٢ و١٤ فقط زوجيان، إذن لدينا قيمتان زوجيتان. ويوجد على القرص ثماني قيم مختلفة. لاحظ أننا أضفنا الأعداد الزوجية أيضًا؛ لأنها لا تزال جزءًا من إجمالي عدد القيم. يمكن تبسيط اثنين على ثمانية إلى ربع. إذن، الإجابة هي أن احتمال وقوف السهم على عدد زوجي على هذا القرص يساوي ربعًا.

لنتناول سؤالًا آخر.

مجموعة من البطاقات مرقمة من واحد إلى ٨١. إذا سحبت بطاقة عشوائيًّا، فما احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل عددًا يقبل القسمة على خمسة؟

ننظر إلى مجموعة البطاقات هذه. البطاقات مرقمة من واحد إلى ٨١. ونظرًا لأننا نفكر في احتمال سحب بطاقة أو فئة معينة من البطاقات، يمكننا استخدام هذه المعادلة. احتمال حدث ما يساوي عدد النواتج الممكنة على إجمالي عدد النواتج. إذن، في هذا السؤال، احتمال سحب بطاقة تحمل عددًا يقبل القسمة على خمسة يساوي عدد البطاقات التي تحمل أعدادًا تقبل القسمة على خمسة على إجمالي عدد البطاقات.

دعونا نسترجع معنى أن تكون القيمة قابلة للقسمة على خمسة. أي قيمة تقبل القسمة على خمسة تعني أنه يمكننا قسمتها على خمسة والحصول على عدد صحيح. هناك طريقة بديلة للتفكير في ذلك، وهي القيم الموجودة في جدول ضرب العدد خمسة. يمكننا هنا كتابة جميع القيم التي تقبل القسمة على خمسة. القيمة الأولى هي خمسة. والقيمة الثانية هي ١٠. ويمكننا المتابعة حتى نصل إلى القيمة الأخيرة وهي ٨٠. لا يمكننا الانتقال إلى قيمة أكبر لأن البطاقات مرقمة حتى العدد ٨١ فقط. عندما نعد هذه القيم، نجد أنها ١٦ قيمة. وهذا يعني أن عدد قيم البطاقات التي تقبل القسمة على خمسة هو ١٦، ويجب أن يكون إجمالي عدد البطاقات هو ٨١. لا يمكننا تبسيط هذا الكسر أكثر من ذلك. إذن، احتمال سحب بطاقة تحمل عددًا يقبل القسمة على خمسة هو ١٦ على ٨١.

في السؤال التالي، سنتعرف على كيفية استخدام الصيغة نفسها، لكن هذه المرة لن نستخدم الاحتمال، بل سنستخدم عدد نواتج حدث معين بدلًا من ذلك.

يوجد ٢٨ شخصًا في اجتماع. احتمال أن يكون الشخص الذي تم اختياره عشوائيًّا رجلًا هو نصف. أوجد عدد السيدات في الاجتماع.

علمنا أن هناك ٢٨ شخصًا في الاجتماع. إذا اخترنا شخصًا عشوائيًّا، فسيكون احتمال اختيار رجل هو نصف. يمكننا استخدام هذين المعطيين لمساعدتنا في إيجاد عدد السيدات في الاجتماع. يمكننا استخدام المعادلة التي تنص على أن احتمال حدث ما يساوي عدد النواتج الممكنة على إجمالي عدد النواتج. إحدى طرق التعامل مع هذا السؤال هي معرفة احتمال اختيار رجل، فيمكننا إذن إيجاد عدد الرجال في الاجتماع. احتمال اختيار رجل يساوي عدد الرجال على إجمالي عدد الأشخاص.

نحن نعلم أن احتمال اختيار رجل هو نصف. عدد الرجال هو ما نريد إيجاده، وإجمالي عدد الأشخاص هو عدد جميع الأشخاص في الاجتماع. وهو يساوي ٢٨. لتبسيط ذلك، يمكننا ضرب كلا الطرفين في ٢٨. وبما أن نصفًا مضروبًا في ٢٨ يساوي ١٤، نعلم أن عدد الرجال يساوي ١٤. إذن، إذا كان إجمالي عدد الأشخاص في الغرفة هو ٢٨، سواء رجال أو سيدات، منهم ١٤ رجلًا، فإن طرح هذين العددين يعطينا ١٤. ومن ثم، الإجابة هي أن هناك ١٤ سيدة في الاجتماع.

في السؤال الأخير، سنعرف كيف يمكننا استخدام صيغة الاحتمال، بالإضافة إلى المعطيات، لإيجاد إجمالي عدد النواتج.

تحتوي حقيبة على ٢٤ كرة بيضاء وعدد غير معلوم من الكرات الحمراء. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا سبعة على ٣١. ما عدد الكرات الموجودة بالحقيبة؟

دينا هذه الحقيبة التي تحتوي على ٢٤ كرة بيضاء. وبها أيضًا عدد غير معلوم من الكرات الحمراء. إذن، يمكن أن تحتوي على كرة واحدة أو كرتين أو ثلاث كرات أو أكثر من ٢٤ كرة حمراء. فنحن لا نعلم عددها. لكن علمنا أن احتمال اختيار كرة حمراء هو سبعة على ٣١. يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بإحدى طريقتين مختلفتين، إما باستخدام عدد الكرات البيضاء أولًا أو بإيجاد عدد الكرات الحمراء أولًا.

عند استخدام عدد الكرات البيضاء أولًا، علينا أن نتذكر أن مجموع الاحتمالات دائمًا ما يساوي واحدًا. ونظرًا لأن لدينا كرات بيضاء وحمراء فقط في الحقيبة، يمكننا القول إن احتمال الحصول على كرة بيضاء زائد احتمال الحصول على كرة حمراء يساوي واحدًا. يمكننا إعادة ترتيب هذا، فنجد أن احتمال الحصول على كرة بيضاء يساوي واحدًا ناقص احتمال الحصول على كرة حمراء. بما أننا نعلم أن احتمال الحصول على كرة حمراء يساوي سبعة على ٣١، علينا حساب واحد ناقص سبعة على ٣١. ونظرًا لأنه يمكن كتابة العدد واحد على الصورة ٣١ على ٣١، فهذا يساوي ٢٤ على ٣١. وبذلك، أصبحنا نعرف أن احتمال اختيار كرة بيضاء يساوي ٢٤ على ٣١.

بما أن هذا حدث بسيط، أي حدث له ناتج واحد، يمكننا استخدام حقيقة أن احتمال حدث ما يساوي عدد النواتج الممكنة على إجمالي عدد النواتج. يمكننا استخدام المعطيات التي لدينا عن الكرات البيضاء. يمكننا القول إن احتمال اختيار كرة بيضاء يساوي عدد الكرات البيضاء على إجمالي عدد الكرات. عند التعويض عن ذلك في المعادلة، نجد أن احتمال اختيار كرة بيضاء هو ٢٤ على ٣١. وعلمنا من السؤال أن هناك ٢٤ كرة بيضاء. وعلينا إيجاد إجمالي عدد الكرات. لدينا هذه المعادلة ذات الكسرين المتكافئين. لكن بما أن البسطين متساويان، حيث إن كلًّا منهما يساوي ٢٤، فيجب أن يكون المقامان متساويين أيضًا، وهو ما يعني أن إجمالي عدد الكرات في الحقيبة لا بد أن يساوي ٣١.

قبل أن ننتهي من هذا السؤال، دعونا نتناول الطريقة البديلة لإيجاد عدد الكرات الحمراء. يمكننا الاحتفاظ بمعادلة الاحتمال نفسها، لكننا سنستخدم هذه المرة المعطيات عن الكرات الحمراء. علمنا أن احتمال اختيار كرة حمراء يساوي سبعة على ٣١. نحن لا نعرف عدد الكرات الحمراء، ولكن يمكننا استخدام بعض الطرق الجبرية. دعونا نعبر عن عدد الكرات الحمراء بالمتغير ﺱ. إذن، إجمالي عدد الكرات يساوي عدد الكرات الحمراء، أي ﺱ، زائد عدد الكرات البيضاء، أي ٢٤.

يمكننا حل ذلك باستخدام الضرب التبادلي أولًا. إذن، لدينا سبعة مضروبًا في ﺱ زائد ٢٤ يساوي ٣١ﺱ. وبتوزيع سبعة على القوس، نحصل على سبعة في ﺱ، وسبعة في ٢٤ يساوي ١٦٨. بطرح سبعة ﺱ من الطرفين، نحصل على ١٦٨ يساوي ٢٤ﺱ. وبقسمة الطرفين على ٢٤، نحصل على سبعة يساوي ﺱ. وبما أن ﺱ يعبر عن عدد الكرات الحمراء، فإن عدد الكرات الحمراء في هذه الحقيبة هو سبعة. لكننا لم نرد إيجاد عدد الكرات الحمراء فقط، إنما أردنا إيجاد إجمالي عدد الكرات. توجد ٢٤ كرة بيضاء وسبع كرات حمراء. ومن ثم، نحصل على إجمالي ٣١ كرة، وهو ما يؤكد الإجابة الأصلية التي حصلنا عليها.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. بدأنا باسترجاع أن احتمال حدث ما هو احتمالية وقوعه. جميع الأسئلة التي تناولناها تمثل أحداثًا بسيطة. والحدث البسيط هو الحدث الذي له ناتج واحد، مثل إلقاء حجر نرد أو اختيار كرة من حقيبة. على سبيل المثال، إذا كنا، بدلًا من ذلك، قد اخترنا كرتين من حقيبة، فلن يكون هذا حدثًا بسيطًا. وأخيرًا، عرفنا صيغة احتمال الحدث البسيط وطبقناها؛ فاحتمال هذا الحدث يساوي عدد النواتج الممكنة على إجمالي عدد النواتج.