نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد خصائص المكثفات، بما في ذلك السعة المكافئة للمكثفات التي بعضها موصل ببعض على التوازي فقط، وكذلك تلك التي بعضها موصل ببعض على التوالي فقط. سنبدأ بالنظر إلى المكثفات التي بعضها موصل ببعض على التوازي. في هذا الشكل، لدينا بطارية تنتج فرق جهد يساوي 𝑉 الكلي أو 𝑉𝑇. والبطارية موصلة على التوازي بالمكثف 𝐶 واحد والمكثف 𝐶 اثنين.
سنرى الكثير من أوجه التشابه بين المكثفات الموصلة على التوازي والمقاومات الموصلة على التوازي. مع وضع ذلك في الاعتبار وقبل أن نتناول المكثفات الموصلة على التوازي، دعونا نراجع سريعًا المقاومات الموصلة على التوازي. علينا أن نتذكر أنه عندما يكون لدينا مقاومات موصلة على التوازي، فإننا نوجد المقاومة المكافئة باستخدام المعادلة: واحد على المقاومة المكافئة يساوي واحدًا على 𝑅 واحد زائد واحد على 𝑅 اثنين وهكذا إلى آخر عدد المقاومات الموصلة على التوازي. كما علينا أن نتذكر قانونين يعرفان بقانوني كيرشوف ويمكننا تطبيقهما على الدائرة الكهربية لدينا.
ينص القانون الأول على أن التيار الداخل إلى نقطة يساوي التيار الخارج من هذه النقطة. ويمكننا تحويل هذه القاعدة إلى معادلة عن طريق النظر إلى النقطة بين المقاومة 𝑅 واحد والمقاومة 𝑅 اثنين. طبقًا للشكل، يمكننا أن نقول إن التيار الكلي الناتج عن البطارية 𝐼T يساوي التيار الذي ينقسم ليمر عبر المقاومة الأولى 𝐼 واحد زائد التيار الذي ينقسم ليمر عبر المقاومة الثانية 𝐼 اثنين، وهكذا إلى آخر عدد الفروع لدينا. أما قانون كيرشوف الثاني، فينص على أن مجموع فروق الجهد الكهربي في أي مسار مغلق يساوي صفرًا. وكل فرع من فروع الدائرة الموصلة على التوازي يعد مسارًا مغلقًا. ومن ثم، يمكننا القول إن فرق الجهد للبطارية 𝑉T يساوي فرق الجهد للمقاومة واحد، 𝑉 واحد، ويساوي فرق الجهد للمقاومة اثنين، 𝑉 اثنين، وهكذا.
والآن دعونا نقارن ما نعرفه عن المقاومات الموصلة على التوازي بالمكثفات الموصلة على التوازي. بالنسبة للمكثفات الموصلة على التوازي، تنطبق علاقة فرق الجهد نفسها على كل فرع كما هو الحال مع المقاومات. ومرة أخرى نطبق قانون كيرشوف الثاني، ولدينا مكثفان موصلان على التوازي في دائرة كهربية. يعني هذا أن فرق الجهد للبطارية 𝑉 الكلي يساوي فرق جهد المكثف واحد، 𝑉 واحد، ويساوي فرق جهد المكثف اثنين، 𝑉 اثنين، وهكذا إلى آخر عدد المكثفات الموصلة على التوازي لدينا.
بالنسبة إلى التيار، نريد دراسة المكثفات المشحونة بالكامل بعد توصيلها بالدائرة لفترة من الزمن. لكن عندما تكون المكثفات مشحونة بالكامل، لن تتدفق أي شحنة في الدائرة؛ ومن ثم لن يمر تيار في الدائرة. ولكن، علينا أن نتذكر أن التيار 𝐼 يساوي الشحنة 𝑄 مقسومة على الزمن 𝑡. لذا بدلًا من استخدام التيار، يمكننا استخدام الشحنة المخزنة في المكثف. بالنسبة إلى المقاومات، ينقسم التيار الكلي عبر الفروع. وبالنسبة للمكثفات، تنقسم الشحنة الكلية بحيث تكون الشحنة الكلية 𝑄T مساوية للشحنة المخزنة في المكثف واحد، 𝑄 واحد، زائد الشحنة المخزنة في المكثف اثنين، 𝑄 اثنين، وهكذا إلى آخر عدد المكثفات الموجودة. لهذا السبب، تكون شحنة البطارية أكبر من أي شحنة منفردة من الشحنات المخزنة في المكثفات الموصلة على التوازي.
يختلف إيجاد السعة المكافئة عن إيجاد المقاومة المكافئة. فبالنسبة للمقاومات الموصلة على التوازي، كلما زاد عدد المقاومات المضافة على التوازي، أصبحت المقاومة المكافئة أصغر. وتجمع السعات في واقع الأمر معًا، وهكذا فإن السعة الكلية تساوي مجموع كل السعات. وتحديدًا السعة الكلية للدائرة 𝐶T تساوي سعة المكثف واحد، 𝐶 واحد، زائد سعة المكثف اثنين، 𝐶 اثنين، وهكذا. ومن ثم، كلما زاد عدد المكثفات الموصلة على التوازي، زادت السعة الكلية. ويمكننا القول إن السعة الكلية تكون دائمًا أكبر من سعة المكثفات المنفردة الموصلة على التوازي.
دعونا نطبق معادلاتنا الخاصة بالمكثفات الموصلة على التوازي عن طريق وضع قيم على الشكل بحيث يساوي فرق جهد البطارية 12 فولت، وسعة المكثف واحد تساوي 25 ميكروفاراد، وسعة المكثف اثنين تساوي 11 ميكروفاراد. لنبدأ بإيجاد السعة الكلية للدائرة. كما ذكرنا من قبل، معادلة إيجاد السعة الكلية لدائرة موصلة على التوازي هي: 𝐶T تساوي 𝐶 واحد زائد 𝐶 اثنين وهكذا إلى آخر عدد المكثفات الموجودة لدينا. وبناء على القيم التي اخترناها لهذا الشكل، يمكننا أن نقول إن السعة الكلية تساوي 25 ميكروفاراد للمكثف واحد زائد 11 ميكروفاراد للمكثف اثنين. وعندما نجمع 25 ميكروفاراد و11 ميكروفاراد، نحصل على 36 ميكروفاراد.
بعد ذلك، دعونا نوجد فرق الجهد لكلا المكثفين، 𝐶 واحد و𝐶 اثنين. بالنسبة لفرق الجهد، يمكننا استخدام المعادلة 𝑉T يساوي 𝑉 واحد يساوي 𝑉 اثنين، وهكذا إلى آخر عدد المكثفات الموصلة على التوازي لدينا. بالتعويض بالقيم الموجودة على الشكل، نعلم أن فرق جهد البطارية يساوي 12 فولت. وهكذا، يمكننا أن نقول إن فرق الجهد للمكثف واحد، 𝑉 واحد، يساوي 12 فولت، وإن فرق الجهد للمكثف اثنين، 𝑉 اثنين، يساوي 12 فولت أيضًا.
لننظر كذلك إلى مقدار الشحنة المخزنة، ليس فقط في كل مكثف من المكثفين، ولكن أيضًا في الشحنة الكلية للبطارية. لإيجاد هذه القيم، علينا أولًا أن نتذكر المعادلة التي تربط بين السعة 𝐶، والشحنة 𝑄، وفرق الجهد 𝑉. علينا إعادة ترتيب المعادلة 𝐶 تساوي 𝑄 على 𝑉 لإيجاد الشحنة 𝑄. ولفعل ذلك، نضرب طرفي المعادلة في 𝑉. سيمكننا هذا من حذف 𝑉 في الطرف الأيمن من المعادلة، لتتبقى لدينا المعادلة 𝑉 في 𝐶 يساوي 𝑄.
يمكننا الآن تطبيق هذه المعادلة على كل من المكثفين على حدة. لنبدأ بالمكثف 𝐶 واحد. وجدنا سابقًا أن فرق جهد المكثف 𝐶 واحد يساوي 12 فولت. ومن الشكل، نعلم أن السعة تساوي 25 ميكروفاراد. عندما نضرب 12 فولت في 25 ميكروفاراد، نتوصل إلى أن الشحنة 𝑄 واحد تساوي 300 ميكروكولوم. لنكرر العملية نفسها، ولكن هذه المرة مع 𝐶 اثنين. وجدنا سابقًا أن فرق الجهد للمكثف 𝐶 اثنين يساوي 12 فولت، ونعلم من الشكل أن سعته تساوي 11 ميكروفاراد. عندما نضرب 12 فولت في 11 ميكروفاراد، نتوصل إلى أن الشحنة المخزنة في المكثف اثنين، 𝑄 اثنين، تساوي 132 ميكروكولوم.
والآن، علينا إيجاد الشحنة الكلية. لفعل ذلك، نستخدم المعادلة التي تنص على أن الشحنة الكلية تساوي الشحنة المخزنة في المكثف واحد زائد الشحنة المخزنة في المكثف اثنين وهكذا. بالتعويض بالقيم التي أوجدناها توًا، نجد أن الشحنة الكلية 𝑄 T تساوي 300 ميكروكولوم، وهي الشحنة المخزنة في المكثف واحد، زائد 132 ميكروكولوم، وهي الشحنة المخزنة في المكثف اثنين. عندما نجمع 300 ميكروكولوم زائد 132 ميكروكولوم، نحصل على شحنة كلية مقدارها 432 ميكروكولوم. والآن بعد أن عرفنا كيفية إيجاد السعة الكلية والشحنة الكلية وفرق الجهد الكلي للمكثفات الموصلة على التوازي، لننتقل إلى الحديث عن المكثفات الموصلة على التوالي.
قبل أن نمضي قدمًا لنتناول المكثفات الموصلة على التوالي، لنتذكر أولًا المقاومات الموصلة على التوالي. لنتذكر أن المقاومة المكافئة تساوي مجموع المقاومات المنفردة، أي 𝑅 واحد زائد 𝑅 اثنين وهكذا إلى آخر عدد المقاومات الموصلة على التوالي لدينا. مرة أخرى، نطبق قانوني كيرشوف. ينص قانون كيرشوف الأول على أن التيار الداخل إلى نقطة يساوي التيار الخارج من هذه النقطة. وفي دائرة كهربية موصلة على التوالي، لا ينقسم التيار نظرًا لعدم وجود نقاط تفرع. يعني هذا أن التيار الكلي يساوي التيار المار عبر المقاومة الأولى، 𝐼 واحد، ويساوي التيار المار عبر المقاومة الثانية، 𝐼 اثنين، وهكذا.
ينص القانون الثاني على أن مجموع فروق الجهد الكهربي عبر أي مسار مغلق يساوي صفرًا. وفي دائرة التوالي الكهربية، توجد جميع المقاومات في المسار المغلق نفسه. يعني هذا أن فرق الجهد للبطارية، أي 𝑉 الكلي، يساوي فرق جهد المقاومة واحد، 𝑉 واحد، زائد فرق جهد المقاومة اثنين، 𝑉 اثنين، وهكذا. بالنسبة للمكثفات الموصلة على التوالي، توجد صلة بينها وبين المقاومات الموصلة على التوالي من حيث انقسام فرق الجهد بين المكونات المنفردة. يمكننا أن نقول إن فرق الجهد الكلي للبطارية 𝑉T يساوي فرق الجهد للمكثف واحد، 𝑉 واحد، زائد فرق الجهد للمكثف اثنين، 𝑉 اثنين، وهكذا إلى آخر عدد المكثفات الموصلة على التوالي لدينا.
بالنسبة للمقاومات الموصلة على التوالي، يمكننا المقارنة بين التيارات. ولكن بالنسبة للمكثفات الموصلة على التوالي، فمثلما هو الحال مع الموصلة على التوازي ندرس المكثفات المشحونة بالكامل بعد توصيلها بالدائرة لفترة من الزمن. لكن عندما تكون المكثفات مشحونة بالكامل، لن تتدفق أي شحنة في الدائرة، ومن ثم لن يمر تيار في الدائرة. مرة أخرى، علينا النظر إلى الشحنة، تمامًا كما فعلنا مع المكثفات الموصلة على التوازي. وفيما يتعلق بالشحنة، يمكننا القول إن الشحنة الكلية 𝑄 T تساوي الشحنة المخزنة في المكثف واحد، 𝑄 واحد، تساوي الشحنة المخزنة في المكثف اثنين، 𝑄 اثنين، وهكذا.
ولإيجاد السعة الكلية للتوصيل على التوالي، نستخدم العلاقة التي تشبه العلاقة التي استخدمناها مع المقاومات الموصلة على التوازي. واحد على السعة الكلية يساوي واحدًا على 𝐶 واحد زائد واحد على 𝐶 اثنين وهكذا. بالنسبة للمقاومات، كلما زاد عدد المقاومات التي نضيفها على التوالي، زادت المقاومة الكلية. لكن بالنسبة للمكثفات، كلما زاد عدد المكثفات التي نضيفها على التوالي، انخفضت السعة الكلية.
بالعودة إلى المعادلة 𝐶 تساوي 𝑄 على 𝑉، عند إضافة المزيد من المكثفات على التوالي، يظل فرق الجهد للبطارية كما هو. لكننا عرفنا للتو أن السعة الكلية تتناقص. ويعني هذا أن الشحنة الكلية المخزنة في الدائرة ستنخفض أيضًا. إذن عندما نضيف المزيد من المكثفات، ستقل الشحنة الكلية للدائرة وستكون أقل مما لو كان لدينا مكثف واحد موصل بالبطارية بمفرده، بينما في التوصيل على التوازي، تزيد الشحنة المخزنة مع كل مكثف نوصله بالبطارية.
لقد اخترنا قيمًا للمتغيرات في الشكل، حيث يساوي فرق جهد البطارية 10 فولت، وسعة المكثف واحد تساوي ثلاثة ميكروفاراد، وسعة المكثف اثنين تساوي ستة ميكروفاراد. يمكننا الآن تطبيق معادلات المكثفات الموصلة على التوالي على الشكل. لنبدأ بإيجاد السعة الكلية للدائرة باستخدام المعادلة واحد على السعة الكلية يساوي واحدًا على 𝐶 واحد زائد واحد على 𝐶 اثنين، وهكذا إلى آخر عدد المكثفات الموصلة على التوالي.
باستخدام القيم التي اخترناها لهذا الشكل، نجد أن واحدًا على السعة الكلية يساوي واحدًا على 𝐶 واحد، أي ثلاثة ميكروفاراد، زائد واحد على 𝐶 اثنين، أي ستة ميكروفاراد. عند جمع الكسور، علينا استخدام المضاعف المشترك الأصغر. وهنا المضاعف المشترك الأصغر هو ستة ميكروفاراد. يعني هذا أن علينا ضرب واحد على ثلاثة ميكروفاراد في اثنين على اثنين، ما يعطينا اثنين على ستة ميكروفاراد. وعندما نجمع اثنين على ستة ميكروفاراد وواحدًا على ستة ميكروفاراد، نحصل على ثلاثة على ستة ميكروفاراد، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد على اثنين ميكروفاراد.
لإيجاد السعة الكلية، نضرب طرفي المعادلة في اثنين ميكروفاراد والسعة الكلية. يؤدي هذا إلى حذف اثنين ميكروفاراد من الطرف الأيمن من المعادلة والسعة الكلية من الطرف الأيسر من المعادلة، ليتبقى لدينا اثنان ميكروفاراد يساوي السعة الكلية. بعد ذلك، يمكننا إيجاد الشحنة الكلية إلى جانب الشحنة المخزنة في كل من المكثفات، لأننا نعرف أن جميعها متساوية. فنحن نعرف أن جميع الشحنات متساوية، ونعرف كذلك السعة الكلية وفرق الجهد الكلي. ومن ثم، يمكننا استخدام المعادلة التي تنص على أن السعة تساوي الشحنة مقسومة على فرق الجهد.
علينا إعادة ترتيب المعادلة لنوجد الشحنة. لفعل ذلك، نضرب كلا الطرفين في 𝑉. وسيؤدي هذا إلى حذف 𝑉 من الطرف الأيمن من المعادلة. والآن بما أن لدينا 𝑉 في 𝐶 يساوي 𝑄، يمكننا التعويض بالمتغيرات التي نعلمها. لدينا فرق جهد كلي يساوي 10 فولت. ووجدنا أن السعة الكلية تساوي اثنين ميكروفاراد، ونحاول إيجاد الشحنة الكلية. عندما نضرب 10 فولت في اثنين ميكروفاراد، نحصل على 20 ميكروكولوم. يمكننا أن نقول إن الشحنة الكلية، أي الشحنة المخزنة في المكثف واحد والشحنة المخزنة في المكثف اثنين، تساوي 20 ميكروكولوم.
نعلم أن فرق الجهد الكلي للبطارية يساوي 10 فولت. ولإيجاد فرق الجهد لكل مكثف على حدة، يمكننا استخدام المعادلة التي تنص على أن السعة تساوي الشحنة على فرق الجهد. لإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد فرق الجهد، نضرب كلا طرفي المعادلة في 𝑉. سيؤدي هذا إلى حذف 𝑉 من الطرف الأيمن من المعادلة. وبعد ذلك، علينا قسمة طرفي المعادلة على 𝐶. سيؤدي ذلك إلى حذف 𝐶 من الطرف الأيسر من المعادلة. نعلم الآن أن فرق الجهد لكل مكثف يساوي الشحنة المخزنة في المكثف مقسومة على السعة.
يمكننا الآن تطبيق هذا على كل مكثف على حدة. بالتعويض بالقيم الخاصة بالمكثف واحد، لدينا شحنة مخزنة في المكثف تساوي 20 ميكروفاراد وسعة تساوي ثلاثة ميكروفاراد. وعندما نقسم 20 ميكروكولوم على ثلاثة ميكروفاراد، نحصل على 6.7 فولت. والآن، سنطبق المعادلة نفسها على المكثف الثاني. فرق الجهد عبر المكثف اثنين يساوي 20 ميكروكولوم مقسومًا على ستة ميكروفاراد.
عندما نقسم 20 ميكروكولوم على ستة ميكروفاراد، نحصل على 3.3 فولت. وعلى الرغم من أننا نعلم أن فرق جهد البطارية يساوي 10 فولت، يمكننا أن نتأكد من صحة ذلك باستخدام معادلة فرق الجهد. فرق الجهد الكلي يساوي فرق الجهد للمكثف واحد، 6.7 فولت، زائد فرق الجهد للمكثف اثنين، 3.3 فولت. وعندما نجمع 6.7 فولت و3.3 فولت، نحصل على 10 فولت.
والآن يمكننا تطبيق ما تعلمناه عن المكثفات على أحد الأسئلة كمثال.
تحتوي الدائرة الكهربية الموضحة في الشكل على مكثفين موصلين على التوازي. ما السعة الكلية للدائرة؟
يمكننا أن نرى، في الشكل، أن لدينا مكثفًا تبلغ سعته 65 ميكروفاراد، ومكثفًا تبلغ سعته 35 ميكروفاراد موصلين على التوازي ببطارية. لإيجاد السعة الكلية للدائرة، علينا أن نتذكر معادلة المكثفات الموصلة على التوازي. السعة الكلية لدائرة التوازي تساوي سعة المكثف واحد زائد سعة المكثف اثنين، وهكذا إلى آخر عدد المكثفات الموصلة على التوازي. في هذه الدائرة، لدينا مكثف سعته 35 ميكروفاراد ومكثف سعته 65 ميكروفاراد. وعندما نجمع 35 ميكروفاراد و65 ميكروفاراد، نحصل على سعة كلية مقدارها 100 ميكروفاراد. إذن، يمكننا أن نقول إن السعة الكلية للدائرة تساوي 100 ميكروفاراد.
النقاط الرئيسية
لإيجاد السعة الكلية للمكثفات الموصلة على التوازي، استخدم المعادلة 𝐶T تساوي 𝐶 واحد زائد 𝐶 اثنين وهكذا. لإيجاد السعة الكلية للمكثفات الموصلة على التوالي، استخدم المعادلة واحد على 𝐶T يساوي واحدًا على 𝐶 واحد زائد واحد على 𝐶 اثنين وهكذا. تخزن المكثفات الموصلة على التوالي شحنات متساوية. نسبة فرق الجهد عبر المكثفات الموصلة على التوالي تساوي مقلوب نسبة سعاتها. المكثفات الموصلة على التوازي لها فروق جهد متساوية عبر فروعها.
