نسخة الفيديو النصية
يمثل الشكل الآتي التمثيل البياني للدالة ﺩ. ما الذي يشير إليه التمثيل البياني عن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ؟
لدينا هنا تمثيل بياني للدالة ﺩ. علينا استخدامه لإيجاد معلومات عن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ. وأول شيء سنحتاج إلى تذكره هو ما نعنيه بالنهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ. علينا أن نتذكر أننا نقول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ تساوي قيمة محددة ﻝ إذا اقتربت قيمة ﺩﺱ من ﻝ عندما تقترب قيم ﺱ من ﺃ من الجهتين. ونريد معرفة ما يخبرنا به التمثيل البياني عن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ.
إذن، لفعل ذلك، علينا أن نطرح سؤالًا: ماذا يحدث لمخرجات ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ثلاثة من أي جهة من الجهتين؟ ولفعل ذلك، لدينا تمثيل بياني للدالة. تذكر أن الإحداثي ﺹ للدالة يخبرنا بالقيمة المخرجة للدالة ﺩﺱ، وﺱ هي القيمة المدخلة للدالة، ونريد معرفة ما يحدث لمخرجات الدالة عندما تقترب القيم المدخلة من ثلاثة من أي جهة من الجهتين. لنبدأ إذن بتحديد القيمة ﺱ يساوي ثلاثة في الشكل، ويمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام عن الدالة عند ﺱ يساوي ثلاثة. بالنظر إلى المنحنى، يمكننا ملاحظة أنها غير معرفة عند ﺱ يساوي ثلاثة. ويمثل ذلك باستخدام الدائرة المفرغة، لذا قد يستهوينا القول إن هذه النهاية غير موجودة لأن الدالة غير معرفة عند هذه النقطة.
لكن، لنلق نظرة على التعريف مرة أخرى. نريد معرفة ما يحدث لمخرجات ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ. وعندما نقول إن ﺱ يقترب من ﺃ، فإننا نعني بذلك أن ﺱ يقترب أكثر فأكثر من ﺃ، حيث ﺱ لا يساوي ﺃ أبدًا. إذن، كون الدالة غير معرفة عند هذه النقطة لا يعني بالضرورة أن النهاية غير موجودة. إذن، دعونا نلاحظ ما يحدث للدالة عندما يقترب ﺱ من ثلاثة. لنبدأ بـ ﺱ يقترب من ثلاثة من اليمين. ثمة بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. يمكننا التعويض بقيم مختلفة لـ ﺱ في الدالة. دعونا نبدأ بـ ﺱ يساوي خمسة. عندما ﺱ يساوي خمسة، يمكننا ملاحظة أن قيمة الإحداثي ﺹ للمنحنى تساوي ٠٫٥ تقريبًا، إذن ﺩ لخمسة تساوي ٠٫٥ تقريبًا.
تذكر أننا نريد معرفة ما يحدث لـ ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ثلاثة. علينا إذن أن نختار القيم الأقرب فالأقرب إلى ثلاثة، لذا سنفعل الشيء نفسه ولكن هذه المرة سنختار ﺱ يساوي أربعة. عند ﺱ يساوي أربعة، نلاحظ أن قيمة الإحداثي ﺹ للمنحنى تساوي سالب ٣٫٥ تقريبًا. إذن ﺩ لأربعة تساوي سالب ٣٫٥ تقريبًا. نريد الاستمرار في اختيار القيم الأقرب فالأقرب إلى ثلاثة. ويمكننا أن نلاحظ من المنحنى أنه مع فعل ذلك، تقترب القيم أكثر فأكثر من هذه الدائرة المفرغة. إذن، مع اقتراب قيم ﺱ من ثلاثة من اليمين، تقترب قيم الإحداثي ﺹ أكثر وأكثر من سالب أربعة. علينا إذن اختيار قيمة ﻝ تساوي سالب أربعة. لكن علينا التحقق من أن الشيء نفسه يحدث عندما يقترب ﺱ من ثلاثة من اليسار.
دعونا نختر إذن بعض قيم ﺱ الأقل من ثلاثة. لنبدأ بـ ﺱ يساوي واحدًا. في الشكل الذي أمامنا، يمكننا ملاحظة أنه عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن قيمة الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ٠٫٤ تقريبًا. سنفعل الشيء نفسه عند ﺱ يساوي اثنين. هذه المرة، عند ﺱ يساوي اثنين، بناء على الشكل الذي لدينا، نلاحظ أن ﺩ لاثنين تساوي سالب ١٫٨ تقريبًا. ونريد الاستمرار في اختيار قيم ﺱ الأقرب فالأقرب للقيمة ثلاثة. وبينما نفعل ذلك، يمكننا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. يقترب المنحنى أكثر فأكثر من الدائرة المفرغة نفسها. فمع اختيار قيم ﺱ الأقرب فالأقرب من ثلاثة، والتي تكون أصغر من ثلاثة، فإننا نلاحظ أن القيم المخرجة تقترب أيضًا من سالب أربعة. وهذا ما نعنيه بقولنا كلتا الجهتين. فمن كلتا الجهتين نقترب من القيمة سالب أربعة نفسها؛ لذا يمكننا أن نجعل ﻝ يساوي سالب أربعة.
ومن ثم، إذا نظرنا إلى التمثيل البياني للدالة ﺩ، مع اقتراب ﺱ من ثلاثة من اليمين واليسار، تقترب قيمة الدالة ﺩﺱ من سالب أربعة في كلتا الحالتين. لذا، تمكنا من استنتاج أن التمثيل البياني يشير إلى أن النهاية ستساوي سالب أربعة عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ.