نسخة الفيديو النصية
في هذا الشكل، النقطتان ﻡ(جتا 𝜃, جا 𝜃)، ﻥ تقعان على دائرة الوحدة، والزاوية ﺃﻭﻥ تساوي اثنين 𝜋 ناقص 𝜃. اكتب قيمة كل من جيب، وجيب تمام، وظل اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 بدلالة قيمها لـ 𝜃. حدد إذا ما كان ذلك صالحًا لجميع قيم 𝜃.
نعلم من معطيات السؤال أن للنقطة ﻡ الإحداثيين جتا 𝜃، جا 𝜃. ونلاحظ من الشكل أن الزاوية ﺃﻭﻡ تساوي 𝜃. نعلم أن هذا ينطبق على أي نقطة تقع على دائرة الوحدة؛ حيث تقاس 𝜃 في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. بما أن الزاوية المنعكسة ﺃﻭﻥ تساوي اثنين 𝜋 ناقص 𝜃، فإن للنقطة ﻥ الإحداثيين جتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃، جا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃. باستخدام حقيقة أن لدينا اثنين 𝜋 راديان في الدائرة الكاملة، وأننا نقيس الزوايا السالبة في اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، يمكن كتابة إحداثيي النقطة ﻥ أيضًا في صورة جتا سالب 𝜃، جا سالب 𝜃.
نظرًا لتماثل دائرة الوحدة، فإن النقطتين ﻡ، ﻥ سيكون لهما الإحداثي ﺱ نفسه. هذا يعني أن جتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃. هذه في الواقع نتيجة قياسية يمكننا الاستعانة بها فيما بعد. بما أن دالة جيب التمام زوجية، فإن جتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃. وبما أن جتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي جتا سالب 𝜃، فلا بد أنه يساوي جتا 𝜃 أيضًا.
يمكن أيضًا كتابة الإحداثي ﺱ للنقطة ﻥ على دائرة الوحدة في صورة جتا 𝜃. عند التعامل مع الإحداثي ﺹ للنقاط ﻡ، ﻥ، نلاحظ أن النقطة ﻡ تقع عند مسافة فوق المحور ﺱ تساوي المسافة التي تقع عندها النقطة ﻥ أسفل المحور ﺱ. هذا يعني أن جا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. ومثلما حدث عندما استنتجنا جتا سالب 𝜃، تنطبق هذه النتيجة على جميع قيم 𝜃؛ لأن دالة الجيب دالة فردية. إذن جا سالب 𝜃 يساوي دائمًا سالب جا 𝜃. هذا يعني أنه بما أن جا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي جا سالب 𝜃، فإنه يساوي أيضًا سالب جا 𝜃. وعليه يمكن كتابة الإحداثي ﺹ للنقطة ﻥ في صورة سالب جا 𝜃.
تمكنا الآن من التعبير عن قيمتي جا، جتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 بدلالة قيمهما لـ 𝜃. هذان التعبيران هما: جا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃، جتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. والآن يمكننا إيجاد تعبير لـ ظا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 باستخدام إحدى المتطابقات المثلثية. نعلم أن ظا أي زاوية 𝛼 يساوي جا 𝛼 مقسومًا على جتا 𝛼. إذا قسمنا المعادلة الأولى على الثانية فسنحصل على: جا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 على جتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃 على جتا 𝜃. باستخدام المتطابقة الآتية يبسط الطرف الأيمن إلى ظا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃، ويبسط الطرف الأيسر إلى سالب ظا 𝜃.
أصبحت لدينا الآن التعبيرات الثلاثة المطلوبة؛ وهي قيم جا، جتا، ظا لاثنين 𝜋 ناقص 𝜃 بدلالة قيمها لـ 𝜃. يطلب منا السؤال أيضًا التحقق من إذا ما كانت الاستنتاجات صحيحة لجميع قيم 𝜃. إذا افترضنا أن النقطة ﻝ تقع في الربع الأول، كما هو موضح في الشكل؛ حيث تساوي الزاوية ﺃﻭﻝ قيمة أخرى لـ 𝜃، فإن النقطة ﻙ؛ حيث تساوي الزاوية ﺃﻭﻙ المقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة اثنين 𝜋 ناقص 𝜃، ستقع في الربع الرابع كما هو موضح.
مرة أخرى سيكون لهاتين النقطتين الإحداثي ﺱ نفسه، في حين سيكون كل من إحداثيي ﺹ المعكوس الجمعي للآخر. إذا كان للنقطة ﻝ الإحداثيان ﺱ، ﺹ، فسيكون للنقطة ﻙ الإحداثيان ﺱ، سالب ﺹ. ومن ثم يمكننا استنتاج أن التعبيرات الخاصة بـ جا، جتا، ظا لاثنين 𝜋 ناقص 𝜃 بدلالة قيمها لـ 𝜃 تنطبق على جميع قيم 𝜃 في دائرة الوحدة. إذن جا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. وجتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. وظا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃. لاحظ أنه في هذه التعبيرات الثلاثة كلها يمكن التعويض عن اثنين 𝜋 راديان بـ ٣٦٠ درجة.
