نسخة الفيديو النصية
تمثل الدالة في الجدول المعطى دالة احتمال للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ. أوجد تباين ﺱ. وإذا كان ذلك ضروريًّا، فقرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
في الجدول، نجد أن ﺱ يمكن أن يأخذ أربع قيم: ثلاثة وخمسة وسبعة وثمانية. يكون احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي كل قيمة من هذه القيم هو: اثنين ﺃ، وخمسة ﺃ تربيع، وخمسة ﺃ تربيع، وﺃ، على الترتيب. نعلم أن مجموع قيم هذه الاحتمالات يجب أن يساوي واحدًا. ويجب أن تكون قيمة كل احتمال من الاحتمالات أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من أو تساوي واحدًا. هذا يعني أن اثنين ﺃ زائد خمسة ﺃ تربيع زائد خمسة ﺃ تربيع زائد ﺃ يساوي واحدًا. بتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على ١٠ﺃ تربيع زائد ثلاثة ﺃ يساوي واحدًا. يمكننا بعد ذلك طرح واحد من كلا طرفي المعادلة ليكون لدينا معادلة تربيعية تساوي صفرًا. ١٠ﺃ تربيع زائد ثلاثة ﺃ ناقص واحد يساوي صفرًا.
يمكن تحليل هذه المعادلة التربيعية إلى زوجين من الأقواس، خمسة ﺃ ناقص واحد واثنان ﺃ زائد واحد. بما أن حاصل ضرب هذين المعاملين يساوي صفرًا، فإما خمسة ﺃ ناقص واحد يساوي صفرًا وإما اثنان ﺃ زائد واحد يساوي صفرًا. بحل المعادلة الأولى، نحصل على ﺃ يساوي خمسًا. وبحل المعادلة الثانية، فإن ﺃ يساوي سالب نصف. بما أن جميع قيم الاحتمالات يجب أن تكون أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من أو تساوي واحدًا، فإن ﺃ لا يمكن أن يساوي سالب نصف. يمكننا الآن التعويض بـ ﺃ يساوي خمسًا في الصف السفلي من الجدول. اثنان ﺃ يساوي خمسين، وخمسة ﺃ تربيع يساوي خمسًا. وعليه، فإن احتمال ﺱ يساوي ثلاثة هو خمسان، واحتمال ﺱ يساوي خمسة أو سبعة أو ثمانية هو خمس.
في هذه المرحلة، يجدر بنا التحقق مرة أخرى من أن مجموع القيم الأربع يساوي واحدًا. خمسان زائد خمس زائد خمس زائد خمس يساوي خمسة أخماس، وهو ما يساوي واحدًا. يمكننا الآن المتابعة لحساب تباين ﺱ باستخدام حقيقة أن تباين ﺱ يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع؛ حيث توقع ﺱ هو المتوسط. يشار أحيانًا إلى هذه الصيغة بمتوسط المربعات ناقص مربع المتوسط. يمكننا حساب المتوسط عن طريق جمع حواصل ضرب ﺱﺭ وﺩﺱﺭ. توقع ﺱ يساوي ثلاثة مضروبًا في خمسين زائد خمسة مضروبًا في خمس زائد سبعة مضروبًا في خمس زائد ثمانية مضروبًا في خمس. هذا يساوي ٢٦ على خمسة. متوسط المتغير العشوائي المتقطع ﺱ أو توقعه يساوي ٢٦ على خمسة.
يمكننا حساب قيمة توقع ﺱ تربيع بالطريقة نفسها. هذا لأننا إذا فكرنا في متغير عشوائي مختلف ﺹ، والذي يأخذ القيم التي تمثل مربع قيم المتغير العشوائي ﺱ، فإن احتمال الحصول على كل قيمة من قيم المتغير الجديد سيساوي احتمال الحصول على كل قيمة ﺱ للمتغير الأصلي. إذن، توقع ﺱ تربيع يساوي ثلاثة تربيع مضروبًا في خمسين زائد خمسة تربيع مضروبًا في خمس زائد سبعة تربيع مضروبًا في خمس زائد ثمانية تربيع مضروبًا في خمس. وهذا يساوي ١٥٦ على خمسة.
لدينا الآن قيمة كل من المتوسط ومتوسط المربعات. إذن، تباين ﺱ يساوي ١٥٦ على خمسة ناقص ٢٦ على خمسة تربيع. هذا يساوي ١٠٤ على ٢٥، وهو ما يساوي ٤٫١٦ على صورة عدد عشري. بما أن الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين تمامًا، فليس علينا إجراء أي تقريب. إذن، تباين المتغير العشوائي المتقطع ﺱ يساوي ٤٫١٦.