فيديو السؤال: استخدام نسبة تقسيم قطعة مستقيمة لإيجاد طول قطعة مستقيمة أخرى في نظام إحداثي الرياضيات

النقاط ﺃ،‏ ﺏ،‏ ﺟ، ‏ﺩ إحداثياتها (−١٥، −٧)، (٧، ٢)، (٤، −١٧)، (١٣، −٢)، على الترتيب. ﻫ نقطة منتصف ﺃﺏ، ‏ﻡ تقسم ﺟﺩ من الخارج بنسبة ٧ : ٤. أوجد طول ﻫﻡ لأقرب جزء من مائة، علمًا بأن وحدة الطول = ١ سم.

٠٦:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

النقاط ﺃ، ‏ﺏ،‏ ﺟ، ‏ﺩ إحداثياتها سالب ١٥، سالب سبعة؛ وسبعة، اثنان؛ وأربعة، سالب ١٧ ؛ و١٣، سالب اثنين، على الترتيب. ‏ﻫ نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ،‏ وﻡ تقسم ﺟﺩ من الخارج بنسبة سبعة إلى أربعة. أوجد طول القطعة المستقيمة ﻫﻡ لأقرب جزء من مائة، علمًا بأن وحدة الطول تساوي سنتيمترًا واحدًا.

لإيجاد طول القطعة المستقيمة ﻫﻡ، علينا أولًا إيجاد إحداثيات النقطتين ﻫ،‏ ﻡ. دعونا نتناول النقطة ﻫ أولًا. علمنا من المعطيات أن النقطة ﻫ هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. يمكننا أن نتذكر أن نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد والنقطة ﺱ اثنين، ﺹ اثنين هي ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين. بعبارة أخرى، الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف هو متوسط الإحداثيين ﺱ لطرفي القطعة المستقيمة. والإحداثي ﺹ لنقطة المنتصف هو متوسط الإحداثيين ﺹ لطرفي القطعة المستقيمة.

وبما أن إحداثيات النقطة ﺃ هي سالب ١٥، سالب سبعة، وإحداثيات النقطة ﺏ هي سبعة، اثنان؛ فإن الإحداثي ﺱ للنقطة ﻫ يساوي سالب ١٥ زائد سبعة على اثنين. والإحداثي ﺹ للنقطة ﻫ يساوي سالب سبعة زائد اثنين على اثنين. يمكن تبسيط ذلك إلى سالب ثمانية على اثنين، سالب خمسة على اثنين، وهو ما يمكننا كتابته على صورة النقطة سالب أربعة، سالب ٢٫٥. بذلك نكون أوجدنا إحداثيات النقطة ﻫ.

بعد ذلك، علينا إيجاد إحداثيات النقطة ﻡ. علمنا من المعطيات أن ﻡ تقسم القطعة المستقيمة ﺟﺩ من الخارج بنسبة سبعة إلى أربعة. يعني هذا أن ﻡ تقع على امتداد القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطة ﺟ والنقطة ﺩ. ونسبة طول القطعة المستقيمة ﺟﻡ إلى طول القطعة المستقيمة ﺩﻡ تساوي سبعة إلى أربعة. يمكننا إيجاد إحداثيات النقطة ﻡ بطريقتين؛ إما بطريقة منهجية باستخدام صيغة التقسيم عند التقسيم من الخارج، أو بطريقة عملية أكثر.

دعونا نتناول أولًا صيغة التقسيم. تنص هذه الصيغة على أنه إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان هما ﺃ التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺏ التي إحداثياتها ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، وكانت النقطة ﻝ، التي لا تقع على القطعة المستقيمة ﺃﺏ، تقسم القطعة المستقيمة الموجهة ﺃﺏ؛ بحيث تكون نسبة ﺃﻝ إلى ﺏﻝ تساوي ﻡ إلى ﻥ، فإن النقطة ﻝ يكون لها الإحداثيات ﻡﺱ اثنان ناقص ﻥﺱ واحد على ﻡ ناقص ﻥ،‏ ﻡﺹ اثنان ناقص ﻥﺹ واحد على ﻡ ناقص ﻥ. قد يكون من المفيد استخدام الحروف ﺟ،‏ ﺩ،‏ ﻡ بدلًا من الحروف الموجودة في هذه الصيغة. علمنا من الصيغة أن نسبة ﺟﻡ إلى ﺩﻡ تساوي ﻡ إلى ﻥ، ونعلم أن نسبة ﺟﻡ إلى ﺩﻡ تساوي سبعة إلى أربعة.

نعلم أيضًا أن إحداثيات النقطة ﺟ، التي ستكون ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا هي أربعة، سالب ١٧، وإحداثيات النقطة ﺩ، التي ستكون ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، هي ١٣، سالب اثنين. إذن، بالتعويض بهذه القيم، نجد أن إحداثيات النقطة ﻡ هي سبعة مضروبًا في ١٣ ناقص أربعة مضروبًا في أربعة على سبعة ناقص أربعة، سبعة مضروبًا في سالب اثنين ناقص أربعة مضروبًا في سالب ١٧ على سبعة ناقص أربعة. يمكن تبسيط إحداثيات هذه النقطة إلى ٧٥ على ثلاثة، ٥٤ على ثلاثة، والتي يمكن تبسيطها أكثر إلى النقطة التي إحداثياتها ٢٥، ١٨.

إذن، هذه هي الطريقة المنهجية باستخدام صيغة التقسيم عند التقسيم من الخارج. لكن يمكننا أيضًا التفكير في هذه المسألة من منظور عملي. إذا كانت نسبة طول ﺟﻡ إلى ﺩﻡ تساوي سبعة إلى أربعة، فإن نسبة طول ﺟﺩ إلى ﺩﻡ تساوي ثلاثة إلى أربعة. للانتقال من ﺟ إلى ﺩ، فإن الإحداثي ﺱ يزيد بمقدار تسعة، ويزيد الإحداثي ﺹ بمقدار ١٥. إذن للانتقال من ﺩ إلى ﻡ، يجب أن يزيد الإحداثي ﺱ ليصبح أربعة أثلاث التسعة، وهو ما يساوي ١٢، ويجب أن يزيد الإحداثي ﺹ ليصبح أربعة أثلاث ١٥، وهو ما يساوي ٢٠. ومن ثم فإن إحدى الطرق البديلة لإيجاد إحداثيات النقطة ﻡ هي إضافة ١٢ إلى الإحداثي ﺱ للنقطة ﺩ، أي ١٣ زائد ١٢، وهو ما يساوي ٢٥، وإضافة ٢٠ إلى الإحداثي ﺹ للنقطة ﺩ، أي سالب اثنين زائد ٢٠، وهو ما يساوي ١٨.

بعد أن أوجدنا إحداثيات النقطتين ﻫ،‏ ﻡ، علينا حساب طول القطعة المستقيمة ﻫﻡ، وهو ما يمكننا فعله باستخدام صيغة إيجاد المسافة. توضح هذه الصيغة أن المسافة بين نقطتين إحداثياتهما ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع. بالتعويض عن إحداثيات ﻫ،‏ ﻡ، نحصل على الجذر التربيعي لـ ٢٥ ناقص سالب أربعة تربيع زائد ١٨ ناقص سالب ٢٫٥ تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٩ تربيع زائد ٢٠٫٥ تربيع، وهو ما يساوي ٣٥٫٥١٤٠ وهكذا مع توالي الأرقام.

مطلوب منا إيجاد الطول لأقرب جزء من مائة، علمًا بأن وحدة الطول تساوي سنتيمترًا واحدًا. ومن ثم فقد أوجدنا أن طول القطعة المستقيمة ﻫﻡ لأقرب جزء من مائة يساوي ٣٥٫٥١ سنتيمترًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.