نسخة الفيديو النصية
افترض أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ ثابتان. أوجد قيمة كل من الثابتين عندما يكون ميل المماس لمنحنى الدالة ﺹ يساوي ﺩ ﺱ عند النقطة سالب اثنين، ٢٩ هو سالب ٢٤.
علينا تحديد قيمتي الثابتين المجهولين ﺃ وﺏ، المستخدمين في تعريف هذه الدالة ﺩ ﺱ. ولفعل ذلك، علينا استخدام المعطيات الواردة في السؤال لتكوين بعض المعادلات ثم حلها. أولًا: إذا كان هناك مماس للمنحنى ﺹ يساوي ﺩ ﺱ عند النقطة التي إحداثياتها سالب اثنين، ٢٩، فإن النقطة التي لها هذه الإحداثيات تقع على المنحنى. بعبارة أخرى، عند ﺱ يساوي سالب اثنين، فإن ﺩ ﺱ تساوي ٢٩. وهكذا، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد المعادلة الأولى التي تربط بين ﺃ وﺏ.
بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين وﺩ ﺱ تساوي ٢٩ في تعريف الدالة ﺩ ﺱ، نحصل على ٢٩ يساوي ﺃ مضروبًا في سالب اثنين تربيع زائد ﺏ. يبسط ذلك إلى ٢٩ يساوي أربعة ﺃ زائد ﺏ. لا يمكننا حل هذه المعادلة لأنها معادلة واحدة في مجهولين. لذا، دعونا نتناول المعطى الآخر في السؤال، وهو أن ميل هذا المماس هو سالب ٢٤.
المماس للمنحنى عند أي نقطة يكون له نفس ميل المنحنى نفسه عند هذه النقطة. يمكننا إيجاد ميل المنحنى عند أي نقطة، والذي يمثل أيضًا معدل التغير اللحظي عند هذه النقطة، عن طريق إيجاد قيمة المشتقة الأولى لمعادلته عند هذه النقطة. نرمز للمشتقة الأولى لـ ﺩ ﺱ بـ ﺩ شرطة ﺱ. إذن، علينا إيجاد مقدار لـ ﺩ شرطة لسالب اثنين؛ لأن قيمة ﺱ عند هذه النقطة تساوي سالب اثنين.
لإيجاد مشتقة ﺩ ﺱ، والتي هي كثيرة حدود، يمكننا أن نتذكر قاعدة القوة للاشتقاق. تنص هذه القاعدة على أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ؛ حيث ﺃ وﻥ ثابتان حقيقيان، هي ﺃﻥ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. إننا نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. لإيجاد مشتقة الحد الأول من ﺩ ﺱ، وهو ﺃﺱ تربيع، نضرب في الأس الذي يساوي اثنين، ونطرح واحدًا من الأس، وهو ما يعطينا اثنين ﺃﺱ أس واحد. وبالطبع، ﺱ أس واحد يساوي ببساطة ﺱ.
مشتقة الثابت بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا، وهو ما يمكننا ملاحظته إذا نظرنا إلى الثابت ﺏ على أنه ﺏ مضروبًا في ﺱ أس صفر. عندما نطبق قاعدة القوة للاشتقاق، نحصل على صفر مضروبًا في ﺏ مضروبًا في ﺱ أس سالب واحد. لكن صفرًا مضروبًا في أي شيء يساوي ببساطة صفرًا. وهكذا، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين ﺃﺱ.
نعلم أنه عند ﺱ يساوي سالب اثنين، فإن ميل المماس، ومن ثم قيمة المشتقة الأولى للدالة، يساوي سالب ٢٤. وبهذا، تصبح لدينا المعادلة سالب ٢٤ يساوي اثنين مضروبًا في سالب اثنين مضروبًا في ﺃ. هذا يعني أن سالب ٢٤ يساوي سالب أربعة ﺃ. ولكي نوجد قيمة ﺃ، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على سالب أربعة، وهو ما يعطينا ﺃ يساوي ستة.
لقد أوجدنا قيمة ﺃ. وكل ما تبقى لدينا هو إيجاد قيمة ﺏ. يمكننا فعل ذلك بالتعويض بـ ﺃ يساوي ستة في المعادلة الأولى التي حصلنا عليها، والتي تربط بين ﺃ وﺏ. هذا يعطينا أربعة مضروبًا في ستة زائد ﺏ يساوي ٢٩. أربعة مضروبًا في ستة يساوي ٢٤. إذن، لدينا ٢٤ زائد ﺏ يساوي ٢٩. بطرح ٢٤ من كلا الطرفين، نجد أن ﺏ يساوي خمسة. ومن ثم، تكون معادلة المنحنى للدالة ﺩ ﺱ هي ﺩ ﺱ تساوي ستة ﺱ تربيع زائد خمسة. لكن المطلوب هو إيجاد قيمتي الثابتين ﺃ وﺏ فقط. إذن، إجابتنا هي ﺃ يساوي ستة وﺏ يساوي خمسة.
