نسخة الفيديو النصية
تقلع طائرتان من نفس المطار؛ إحداهما تحلق بزاوية 45 درجة من سطح الأرض، والأخرى بزاوية 20 درجة من سطح الأرض، كما هو موضح في التمثيل البياني. عندما تكون الطائرتان على بعد 2500 متر أفقيًّا من المطار، تكون الطائرة التي حلقت بزاوية أصغر على ارتفاع ℎ واحد متر رأسيًّا فوق سطح الأرض، والطائرة التي حلقت بزاوية أكبر على ارتفاع ℎ اثنين متر رأسيًّا فوق سطح الأرض. كم يبعد ℎ اثنان رأسيًّا عن ℎ واحد، لأقرب متر؟
حسنًا، نعلم من هذا السؤال أن لدينا طائرتين تحلق كل منهما بزاوية مختلفة من سطح الأرض عند مغادرتها للمطار. هذا موضح في التمثيل البياني؛ حيث نلاحظ أن إحداهما تصنع زاوية قياسها 45 درجة مع سطح الأرض، والأخرى تصنع زاوية قياسها 20 درجة. يوضح التمثيل البياني أيضًا أنه عندما قطعت كلتا الطائرتين مسافة 2500 متر أفقيًّا، بلغت الطائرة ذات زاوية الصعود الأكبر الارتفاع ℎ اثنين متر، بينما بلغت الطائرة ذات زاوية الصعود الأصغر الارتفاع ℎ واحد متر. إذن كل المعلومات المعطاة لنا في نص السؤال موضحة أيضًا في التمثيل البياني. هذا يعني أنه يمكننا حذف هذا النص؛ لإفراغ بعض المساحة للحل.
مطلوب منا إيجاد الفرق في الارتفاع بين الطائرتين بعد أن تقطع كلتاهما مسافة أفقية من المطار قدرها 2500 متر. هذا الفرق هو هذه المسافة المحددة هنا بين الارتفاع ℎ واحد والارتفاع ℎ اثنين في التمثيل البياني. بعبارة أخرى: يطلب منا السؤال حساب قيمة ℎ اثنين ناقص ℎ واحد. هذا يعني أن علينا البدء بحساب قيمتي ℎ اثنين وℎ واحد.
وبالمناسبة، يمكننا أن نلاحظ أن الخطين الأزرقين اللذين يوضحان مساري الطائرتين هما في الواقع متجها الإزاحة للطائرتين. إذن، الكميتان ℎ اثنان وℎ واحد اللتان سنحسبهما هما المركبتان الرأسيتان لمتجهي الإزاحة هذين.
دعونا نبدأ بالكمية ℎ اثنين؛ أي: ارتفاع الطائرة ذات زاوية الصعود الأكبر. يمكننا أن نرى هذا المثلث القائم الزاوية في التمثيل البياني. وتر المثلث هو المسار الذي تتحرك على امتداده الطائرة ذات زاوية الصعود الأكبر. طول هذا الضلع الأفقي يساوي 2500 متر. هذه هي المسافة الأفقية التي قطعتها الطائرة. وهذا الضلع الرأسي طوله ℎ اثنان. هذا هو الارتفاع الذي وصلت إليه هذه الطائرة عندما قطعت مسافة مقدارها 2500 متر أفقيًّا.
نعلم أن الزاوية التي تصنعها الطائرة ذات زاوية الصعود الأكبر مع سطح الأرض قياسها 45 درجة. هذا قياس هذه الزاوية التي تقع في الركن السفلي الأيسر من المثلث. لإيجاد قيمة ℎ اثنين، علينا تذكر معادلة مثلثية مفيدة.
دعونا نرسم مثلثًا عامًّا قائم الزاوية، ونفترض أن هذه الزاوية هي 𝜃. سنرمز لطول الضلع المقابل لهذه الزاوية بـ 𝑜 ولطول الضلع المجاور لها بـ 𝑎. إذن بالنسبة إلى هذا المثلث القائم الزاوية، tan 𝜃 يساوي 𝑜 مقسومًا على 𝑎. إذا قارنا هذا المثلث القائم الزاوية بالمثلث الذي حددناه في التمثيل البياني، فسنلاحظ على وجه التحديد السبب في كون هذه المعادلة مفيدة لنا.
تربط المعادلة بين الزاوية 𝜃 وطول الضلع المجاور لها وطول الضلع المقابل لها. هذا يعني أننا إذا عرفنا أي كميتين من هذه الكميات، فيمكننا استخدام هذه المعادلة لحساب قيمة الكمية الثالثة. في المثلث الذي في هذا التمثيل البياني، نعلم أن قياس هذه الزاوية يساوي 45 درجة، وهذه هي قيمة الكمية 𝜃. نعلم أيضًا أن طول الضلع المجاور لهذه الزاوية يساوي 2500 متر، إذن هذه هي قيمة 𝑎. هذا الضلع الرأسي من المثلث والمقابل للزاوية التي قياسها 45 درجة طوله هو ℎ اثنان الذي نحاول إيجاده. وهو يعبر عن قيمة الكمية 𝑜.
إذن لدينا قيمتا كل من 𝜃 و𝑎، ونريد إيجاد قيمة 𝑜. دعونا نعد ترتيب هذه المعادلة؛ لنجعل 𝑜 في طرف بمفرده. لفعل ذلك، علينا أولًا ضرب طرفي المعادلة في 𝑎. بعد ذلك، نحذف الحدين 𝑎 في الطرف الأيمن، فيصبح لدينا 𝑜 يساوي 𝑎 مضروبًا في tan 𝜃. بالتعويض بقيمتي 𝑎 و𝜃 والتعويض عن 𝑜 بـ ℎ اثنين، نجد أن ℎ اثنين يساوي 2500 متر مضروبًا في tan 45 درجة. و tan 45 درجة يساوي واحدًا. إذن، نجد أن ℎ اثنين يساوي 2500 متر.
والآن بعد أن توصلنا إلى قيمة ℎ اثنين، دعونا نفرغ بعض المساحة، وننتقل إلى إيجاد قيمة ℎ واحد. لإيجاد ℎ واحد، علينا تعيين مثلث آخر قائم الزاوية في التمثيل البياني. وهو، على وجه التحديد، هذا المثلث الموضح باللون الوردي. وتر المثلث هو مسار الطائرة ذات زاوية الصعود الأصغر. وقياس الزاوية التي في الركن السفلي الأيسر لهذا المثلث هو 20 درجة؛ لأن هذه هي الزاوية التي تصنعها هذه الطائرة مع سطح الأرض.
تقطع كلتا الطائرتين المسافة الأفقية نفسها. إذن، طول الضلع الأفقي في هذا المثلث يساوي 2500 متر، كما هو الحال مع المثلث الأول. والضلع الرأسي لهذا المثلث هو الارتفاع ℎ واحد الذي تبلغه هذه الطائرة ذات زاوية الصعود الأصغر. إذن، في هذه الحالة، قيمة 𝜃 تساوي 20 درجة، والضلع المجاور 𝑎 يساوي 2500 متر، والضلع المقابل 𝑜 هو ℎ واحد.
بالتعويض بهاتين القيمين في المعادلة، نجد أن ℎ واحد يساوي 2500 متر مضروبًا في tan 20 درجة. بحساب قيمة هذا المقدار، نجد أن ℎ واحدًا يساوي 909.9256 متر مع توالي الأرقام.
والآن بعد أن حسبنا قيمتي ℎ اثنين وℎ واحد، يمكننا طرح ℎ واحد من ℎ اثنين؛ لإيجاد قيمة هذا الارتفاع هنا. ℎ اثنان ناقص ℎ واحد يساوي 2500 متر ناقص 909.9256 متر، وهو ما يساوي 1590.074 مترًا. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب متر. بتقريب الناتج، نحصل على الإجابة النهائية. لأقرب متر، يبعد ℎ اثنان رأسيًّا عن ℎ واحد 1590 مترًا.
