فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الخامس عشر أ

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الخامس عشر أ

٠٥:١٧

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد تكامل: س أُس تلاتة، مضروبة في س أُس اتنين زائد واحد الكل أُس ستة؛ بالنسبة لِـ س.

هنلاحظ إن عندنا س تربيع زائد واحد الكل أُس ستة. مشتقة س تربيع زائد واحد، هتكون بتساوي اتنين س. ولو كتبنا س أُس تلاتة في صورة س تربيع مضروبة في س، فنقدر نعتبر إن هيكون عندنا خارج القوس مشتقّة ما بداخل القوس. وبالتالي عشان نقدر نوجد ناتج التكامل، هنستخدم طريقة التكامل بالتعويض.

فالتكامل بالتعويض؛ لو كان عندنا مثلًا تكامل د ر س، في مشتقة الدالة ر س بالنسبة لِـ س. فباستخدام التعويض، هنعوّض عن الدالة ر س بِـ ع. ومشتقة ع اللي هي د ع؛ هتساوي مشتقة الدالة ر س، مضروبة في د س. يعني هنكتب التكامل على صورة تكامل د ع، بالنسبة لِـ ع. وعشان نقدر نستخدم التعويض، محتاجين ننفذ بعض الخطوات.

أول خطوة: محتاجين نختار التعويض ع. تاني خطوة: هنحسب مشتقة ع؛ يعني هنحسب د ع. تالت خطوة: التعويض والتبسيط. وهنشوف هل يمكن تكامل الدالة. لو كانت الإجابة نعم، هنحسب التكامل وهنكتب الناتج بدلالة المتغيّر الأصلي. ولو كانت الدالة لا يمكن تكاملها، هنكون محتاجين نختار تعويض آخَر، وهنعود للخطوة اللي بنحسب فيها مشتقة ع؛ يعني بنحسب د ع.

وبتنفيذ الخطوات. أول خطوة: محتاجين نختار التعويض ع. هنفرض إن ع هتساوي س تربيع زائد واحد. يبقى كده قدِرنا نختار التعويض ع. تاني خطوة: هنحسب مشتقّة ع؛ يعني هنحسب د ع. فمشتقة ع، اللي هي د ع، هتساوي … مشتقة س تربيع زائد واحد هتساوي اتنين س د س. بكده قدِرنا نحسب مشتقّة ع.

تالت خطوة: التعويض والتبسيط. فهيكون عندنا التكامل س تربيع [تكعيب]‎ الكل مضروب في؛ س أُس اتنين، زائد واحد، الكل أُس ستة، بالنسبة لِـ س. هيساوي تكامل … هنكتب س أُس تلاتة زيّ ما هي، مضروبة في … هنعوّض عن س تربيع زائد واحد بِـ ع، فهيكون عندنا ع أُس ستة، د س.

قدِرنا نوجد إن د ع بتساوي اتنين س مضروبة في د س. وبالتالي لو عايزين نوجد د س، فَـ د س هتساوي د ع مقسومة على اتنين س. فهنعوّض عن د س، وهنكتب مكانها د ع على اتنين س. وهنلاحظ إن عندنا س أُس تلاتة، وعندنا د ع على اتنين س. وبالتالي س أُس تلاتة على س هتساوي س أُس اتنين. يعني التكامل هيكون س أُس اتنين، مضروبة في ع أُس ستة، مضروبة في د ع على اتنين.

محتاجين نعوّض عن س أُس اتنين بدلالة ع. قدِرنا نوجد إن ع بتساوي س تربيع زائد واحد، وبالتالي لو طرحنا واحد من الطرفين هنقدر نوجد س تربيع. فهيكون عندنا س تربيع هتساوي ع ناقص واحد. يعني هنعوّض عن س تربيع وهنكتب مكانها ع ناقص واحد.

يعني هيكون عندنا التكامل بيساوي … هنضرب ع في ع أُس ستة، فهيكون عندنا تكامل ع أُس سبعة. وهنضرب سالب واحد في ع أُس ستة، فهيكون عندنا سالب ع أُس ستة. الكل مضروب في د ع على اتنين.

د ع على اتنين ممكن نكتبها في صورة: نُصّ في د ع. وهنضرب نُصّ مرة في ع أُس سبعة، ومرة في سالب ع أُس ستة. فهيكون عندنا التكامل بيساوي تكامل نُصّ في ع أُس سبعة، ناقص نُصّ في ع أُس ستة. يبقى كده قدِرنا ننفذ خطوة التعويض والتبسيط. هل يمكن تكامل الدالة؟

هنلاحظ إن الدالة يمكن تكاملها، وبالتالي الإجابة هتكون نعم. والخطوة القادمة محتاجين نحسب التكامل. يعني هيساوي … تكامل نُصّ في ع أُس سبعة بالنسبة لِـ ع، هنكتب نُصّ زيّ ما هي؛ في ع أُس تمنية، على تمنية. وتكامل سالب نُصّ في ع أُس ستة بالنسبة لِـ ع، هنكتب سالب نُصّ زيّ ما هي؛ في عين أُس سبعة، على سبعة. زائد ثابت التكامل.

نُصّ؛ في ع أُس تمنية، على تمنية، ممكن نكتبها في صورة واحد على ستاشر، في ع أُس تمنية. ونُصّ؛ في ع أُس سبعة، على سبعة، ممكن نكتبها في صورة واحد على أربعتاشر، في ع أُس سبعة. وبكده نكون قدِرنا نحسب التكامل.

آخِر خطوة محتاجين نكتب الناتج بدلالة المتغيّر الأصلي. وبما إننا فرضنا إن ع بتساوي س تربيع زائد واحد، فهنعوّض عن ع بِـ س تربيع زائد واحد. فناتج التكامل هيكون بيساوي واحد على ستاشر، في س تربيع زائد واحد الكل أُس تمنية. ناقص واحد على أربعتاشر، في س تربيع زائد واحد الكل أُس سبعة. زائد ثابت التكامل.

يبقى كده نكون قدِرنا نوجد ناتج التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.