تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: البعد بين مستقيمين متوازيين

أحمد مدحت

يوضح الفيديو مفهوم البُعْد بين مستقيمين متوازيين، وكيفية إيجاده من خلال مثال توضيحي، ونظرية المستقيمين المتساويين في البُعْد عن مستقيم ثالث.

١٣:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن البُعد بين مستقيمين متوازيين. في الفيديو ده هنعرف مفهوم البُعد بين مستقيمين متوازيين. وكمان هنعرف نظرية المستقيمين المتساويين في البُعد عن مستقيم تالت. وكمان هنشوف مثال نعرف بيه إزَّاي نقدر نجيب البُعد بين مستقيمين متوازيين.

هنبدأ أول حاجة بالبُعد بين مستقيمين متوازيين. بالنسبة للمستقيمين المتوازيين، فتعريفهم إن هم عبارة عن مستقيمين بيكونوا واقعين في نفس المستوى، ومش بيتقاطعوا. وفيه تعريف تاني ليهم، هو إن هم عبارة عن مستقيمين بيكونوا واقعين في نفس المستوى؛ بحيث يكون البُعد بينهم ثابت.

هيظهر لنا شكل. الشكل اللي عندنا عبارة عن سلم، فيه المستقيم س بيوازي المستقيم ص. معنى كده إن البُعد بينهم هيكون ثابت. وده من خلال التعريف التاني للمستقيمين المتوازيين. وبالتالي هيبقى البُعد بين أيّ نقطة على أي مستقيم منهم والمستقيم التاني، هيبقى ثابت. يعني هيبقى طول القطعة المستقيمة أ ب، بيساوي طول القطعة المستقيمة ج د. يساوي طول القطعة المستقيمة هـ و. يساوي طول القطعة المستقيمة ز ح. يساوي طول القطعة المستقيمة ط ي. يساوي طول القطعة المستقيمة ك ل. وده يقدر يوصّلنا لتعريف البُعد بين مستقيمين متوازيين، اللي هيكون في الصفحة اللي جايّة.

هنقلب الصفحة. بالنسبة لمفهوم البُعد بين مستقيمين متوازيين، فهو عبارة عن البُعد بين أحد المستقيمين، وأيّ نقطة عَ المستقيم الآخر. يعني بيبقى البُعد بين مستقيم من المستقيمين المتوازيين دول، وأيّ نقطة موجود عَ المستقيم التاني. بالنسبة لمجموعة النقط اللي بتحقّق شرط معيّن، فبنسميها محلّ هندسي. ونقدر نوصف المستقيم الموازي لمستقيم معلوم، بالمحل الهندسي لكل النقط المتساوية في البُعد عن المستقيم، في المستوى نفسه.

ومن هنا نقدر نقول إن المحلّ الهندسي للنقط المتساوية في البُعد عن مستقيمين متوازيين، في نفس المستوى … هيبقى عبارة عن مستقيم تالت موازي للمستقيمين دول، وبيكون موجود في منتصف المسافة اللي بينهم. هيظهر لنا شكل.

في الشكل اللي عندنا، المستقيم ل بيوازي المستقيم ن. أمّا بالنسبة للمستقيم م، فهو عبارة عن محل هندسي للنقط، المتساوية في البُعد عن المستقيمين ل وَ ن. ومعنى كده هيبقى المستقيم م موازي للمستقيمين ل وَ ن، وكمان موجود في نص المسافة بينهم. ومن هنا بقى هنبدأ نشوف نظرية المستقيمين المتساويين في البُعد، عن مستقيم تالت، بس في الصفحة اللي جاية.

هنقلب الصفحة. بالنسبة لنظرية المستقيمين المتساويين في البُعد عن مستقيم تالت. فنَص النظرية هو: إذا كان المستقيمان في المستوى، متساويان في البُعد عن مستقيم تالت، فانهما متوازيان. معنى الكلام إن لمّا يبقى فيه مستقيمين موجودين في مستوى، ويكونوا على نفس البُعد من مستقيم تالت؛ هيبقى المستقيمين دول متوازيين. فبالنسبة للشكل اللي عندنا، هنلاقي إن المستقيم ل، والمستقيم ن، موجودين على نفس البُعد من المستقيم م. وبالتالي نقدر نقول إن المستقيم ل يوازي المستقيم ن. فيبقى المستقيم ل يوازي المستقيم ن. وده لأنهم متساويين في البُعد عن المستقيم م.

بعد كده هنشوف مثال، نعرف بيه إزَّاي نقدر نجيب البُعد بين مستقيمين متوازيين. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا، هنلاقي إن المستقيم ل بيوازي المستقيم م. وإن معادلة المستقيم ل هي: ص تساوي اتنين س زائد واحد. وإن معادلة المستقيم م هي: ص تساوي اتنين س ناقص تلاتة. وعايزين نجيب البُعد بين المستقيمين ل وَ م.

علشان نجيب البُعد بين المستقيمين، فإحنا عايزين نحلّ نظام من المعادلات. علشان نجيب نقطتين النهاية بتاعة القطعة المستقيمة، اللي هتبقى عمودي على المستقيم ل، وكمان عمودية على المستقيم م. فهنبدأ أول حاجة، إن إحنا نمثّل المستقيمين اللي عندنا بيانيًّا، في المستوى الإحداثي. وإحنا معانا معادلة المستقيم ل، وهي: ص تساوي اتنين س زائد واحد. وكمان معانا معادلة المستقيم م، وهي: ص تساوي اتنين س ناقص تلاتة. والاتنين في شكل الصورة العامة لصيغة الميل والمقطع. فهنمثل المستقيمين بيانيًّا، زيّ ما هيظهر لنا في الشكل.

بعد ما مثّلنا المستقيمين بيانيًّا، هنلاحظ إن ميل المستقيم ل، بيساوي ميل المستقيم م؛ بيساوي اتنين. بعد كده هنرسم مستقيم، هنسميه ن. بحيث إن هو يمرّ بنقطة مقطع محور الصادات للمستقيم م، واللي هي النقطة دي. واللي إحداثياتها هي صفر وسالب تلاتة. مش بس هيمُرّ بالنقطة دي، لأ ده كمان هيكون عمودي على المستقيم ل، وعلى المستقيم م. فهنرسم المستقيم، زيّ ما هيظهر لنا في الشكل.

بعد ما رسمنا المستقيم ن في المستوى الإحداثي، هنبدأ مع أول خطوة. وهي كتابة معادلة المستقيم ن. بالنسبة لميل المستقيم ن، فهيبقى عبارة عن معكوس مقلوب العدد اتنين، واللي بيمثّل ميل المستقيم ل، وميل المستقيم م. ود لأنه عمودي عليهم. وبالتالي هيبقى ميل المستقيم ن، هو سالب نص.

بعد ما جِبنا الميل اللي هنستخدمه عشان نكتب المعادلة، كمان هنستخدم النقطة بتاعة مقطع محور الصادات، مع المستقيم م. واللي هي صفر وسالب تلاتة. واللي بتمثّل نقطة من النقطتين بتوع النهاية، بتاعة القطعة المستقيمة العمودية على كلا المستقيمين. فهيبقى عندنا إن ميل المستقيم ن هو سالب نص، وبيمُرّ بالنقطة صفر وسالب تلاتة.

بعد كده هنستخدم صيغة الميل ونقطة، علشان نكتب معادلة المستقيم ن. والصورة العامة لصيغة الميل ونقطة هي: ص ناقص ص واحد، تساوي م في، س ناقص س واحد. بحيث إن م دي هتمثّل ميل المستقيم. أمّا بالنسبة للزوج المرتب س واحد وَ ص واحد، فهيمثّل إحداثيات أيّ نقطة موجودة على المستقيم. وإحنا معانا ميل المستقيم ن، وهو سالب نص. وكمان المستقيم ن بيمُرّ بالنقطة اللي إحداثياتها هي صفر وسالب تلاتة. معنى كده م تساوي سالب نص. وَ س واحد تساوي صفر. وَ ص واحد تساوي سالب تلاتة.

بعد كده هنعوّض في صيغة الميل ونقطة. فهيبقى عندنا: ص ناقص سالب تلاتة يساوي سالب نص في، س ناقص صفر. هنكتب المعادلة في أبسط صورة. فهيبقى: ص زائد تلاتة يساوي سالب نص س. بعد كده محتاجين نتخلّص من موجب تلاتة. فهنطرح من طرفَي المعادلة، تلاتة. فهنلاقي إن المعادلة هتبقى عبارة عن: ص تساوي سالب نص س ناقص تلاتة. وهي دي معادلة المستقيم ن.

بعد كده هنجيب نقطة تقاطُع المستقيم ل، مع المستقيم ن، واللي هي النقطة دي. من خلال إن إحنا هنحلّ نظام المعادلات المكوّن من معادلة المستقيم ل، ومعادلة المستقيم ن. والنقطة دي هتمثّل النقطة التانية، من النقطتين بتوع نهاية القطعة المستقيمة، اللي هتبقى عمودية على المستقيمين ل وَ م. هنحلّ نظام المعادلات في الصفحة اللي جاية.

هنقلب الصفحة. هيظهر لنا نظام المعادلات، واللي بيتكوّن من معادلة المستقيم ل، ومعادلة المستقيم ن. بالنسبة لمعادلة المستقيم ل، فهي: ص تساوي اتنين س زائد واحد. بالنسبة لمعادلة المستقيم ن، فهي: ص تساوي سالب نص س ناقص تلاتة. وعلشان نحلّ نظام المعادلات ده، فإحنا أول حاجة هنعوّض باتنين س زائد واحد، بدلًا من ص، في معادلة المستقيم ن. فهيبقى عندنا: اتنين س زائد واحد يساوي سالب نص س ناقص تلاتة.

بعد كده هنجمّع الحدود المتشابهة. يعني هنخلّي الحدود اللي بتحتوي على س، في طرف من الطرفين بتوع المعادلة، والأعداد الثابتة في الطرف التاني. فهتبقى المعادلة عبارة عن: خمسة على اتنين س يساوي سالب أربعة. بعد كده محتاجين نتخلّص من خمسة على اتنين، اللي مضروبة في الـ س. فهنضرب طرفَي المعادلة في اتنين على خمسة. هنلاقي إن س تساوي سالب تمنية على خمسة.

بعد ما جِبنا قيمة س، فهنستخدمها علشان نجيب قيمة ص. وده هيكون من خلال إن إحنا هنعوّض بقيمة س، في معادلة المستقيم ن. فهيبقى عندنا: ص تساوي سالب نص في، سالب تمنية على خمسة، ناقص تلاتة. يعني هنلاقي إن ص تساوي سالب حداشر على خمسة. وبكده بعد ما جِبنا قيمة س، وجِبنا قيمة ص … نقدر نقول إن نقطة التقاطع بين المستقيم ل، والمستقيم ن هي: سالب تمنية على خمسة، وسالب حداشر على خمسة. أو ممكن نقول إنها سالب واحد وستة من عشرة، وسالب اتنين واتنين من عشرة.

بكده يبقى إحنا معانا النقطتين بتوع نهاية القطعة المستقيمة العمودية على كلٍّ من المستقيم ل، والمستقيم م. فهنيجي للخطوه التالتة، واللي هنستخدم فيها صيغة المسافة بين نقطتين. علشان نجيب المسافة بين النقطة: صفر، وسالب تلاتة؛ والنقطة: سالب واحد وستة من عشرة، وسالب اتنين واتنين من عشرة.

بكده بعد ما جِبنا نقطة التقاطع بين المستقيم ل، والمستقيم ن. بقى معانا النقطتين بتوع نهاية القطعة المستقيمة العمودية على كلٍّ من المستقيمين ل وَ م. هنقلب الصفحة. وهنبدأ في الخطوة التالتة والأخيرة. واللي هنستخدم فيها صيغة المسافة بين نقطتين. علشان نجيب المسافة بين النقطة: صفر، وسالب تلاتة؛ والنقطة: سالب واحد وستة من عشرة، وسالب اتنين واتنين من عشرة.

بالنسبة للصورة العامة لصيغة المسافة بين نقطتين، فهي: ف، واللي بتمثّل المسافة بين نقطتين. تساوي الجذر التربيعي لِـ س اتنين ناقص س واحد الكل تربيع، زائد ص اتنين ناقص ص واحد الكل تربيع. وإحنا معانا النقطة الأولى هي: صفر، وسالب تلاتة. والنقطة التانية هي: سالب واحد وستة من عشرة، وسالب اتنين واتنين من عشرة. فهيبقى س واحد تساوي صفر. وَ ص واحد تساوي سالب تلاتة. وَ س اتنين تساوي سالب واحد وستة من عشرة. وَ ص اتنين تساوي سالب اتنين واتنين من عشرة.

بعد كده هنبدأ نعوّض في صيغة المسافة بين نقطتين. لما هنعوّض، هنلاقي … ف تساوي الجذر التربيعي لسالب واحد وستة من عشرة ناقص صفر الكل تربيع، زائد سالب اتنين واتنين من عشرة ناقص سالب تلاتة الكل تربيع. فهنلاقي إن ف تقريبًا هتساوي واحد وتمنية من عشرة. وبكده هيبقى البُعد بين المستقيمين ل وَ م، هو واحد وتمنية من عشرة وحدة تقريبًا. وبكده يبقى إحنا جِبنا البُعد بين المستقيمين.

بكده في الفيديو ده، يبقى إحنا عرفنا أول حاجة إيه هو البُعد بين مستقيمين متوازيين. وعرفنا إن هو البُعد بين مستقيم من المستقيمين دول، وأيّ نقطة عَ المستقيم التاني. وكمان عرفنا نظرية المستقيمين المتساويين في البُعد، عن مستقيم تالت. واللي عرفنا من خلالها، إن لما يبقى فيه مستقيمين موجودين في مستوى، ويكونوا على نفس البُعد من مستقيم تالت؛ فيكون المستقيمين دول متوازيين.

وكمان عرفنا من خلال مثال، إزَّاي نقدر نجيب البُعد ما بين مستقيمين متوازيين. وشُفنا في المثال إن إحنا بنحدّد نقطتين النهاية بتاعة القطعة المستقيمة العمودية على المستقيمين. وبعد كده بنستخدم صيغة المسافة بين نقطتين؛ علشان نجيب المسافة بين النقطتين دول. ويبقى إحنا كده جِبنا البُعد بين المستقيمين المتوازيين.