نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مجال دالة متعددة التعريف ومداها. دعونا نبدأ بتذكر المقصود بمصطلحي «المجال» و«المدى». مجال الدالة هو مجموعة كل قيم مدخلات الدالة. يمكننا اعتبار ذلك مجموعة كل القيم التي تأخذها الدالة. ومدى الدالة هو مجموعة كل المخرجات الممكنة للدالة، بمعلومية مجالها. يمكننا اعتبار ذلك مجموعة كل القيم التي تنتجها الدالة.
في التمثيل البياني للدالة، المجال والمدى يناظران جزأي المحورين ﺱ وﺹ اللذين يمثلان قيم الدالة الممثلة بيانيًّا. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع، فيمكننا أن نلاحظ أن كل قيمة مفردة لـ ﺱ في الأعداد الحقيقية تكون مدخلة في الدالة. وبالتالي، المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. لكن إذا تناولنا مدى هذه الدالة، فسنجد أن هناك قيمًا معينة لـ ﺹ، وهي قيم ﺹ أسفل المحور ﺱ، لا يصل إليها المنحنى. لا يصل المنحنى إلا إلى قيم ﺹ التي تقع أعلى المحور ﺱ أو عليه فقط. إذن يمكننا القول إن مدى هذه الدالة هو مجموعة جميع قيم ﺹ أو ﺩﺱ الأكبر من أو تساوي صفرًا.
في هذا الفيديو، نتناول تحديدًا مجال الدوال المتعددة التعريف ومداها. لذا دعونا نتذكر ما نعنيه بذلك. الدالة المتعددة التعريف هي دالة معرفة بشكل مختلف على الأجزاء الفرعية المختلفة لمجالها. على سبيل المثال، قد تكون لدينا الدالة ﺩﺱ، التي تعرف بأنها تساوي واحدًا عندما يكون ﺱ أصغر من صفر، وتساوي اثنين عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. هذه دالة متعددة التعريف بسيطة للغاية. فهي تحتوي على مجالين جزئيين فقط: ﺱ أصغر من صفر، وﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. كما أن الدوال الجزئية نفسها مباشرة للغاية. إنها مجرد ثوابت.
ولكن، لا يوجد تحديد لعدد المجالات الجزئية التي يمكن أن تتضمنها الدالة المتعددة التعريف. ويمكن أيضًا أن تكون الدوال الجزئية نفسها أكثر تعقيدًا. حيث يمكن أن تكون الدوال الجزئية كثيرات حدود أو حتى أكثر تعقيدًا من ذلك. بشكل منهجي، يمكننا القول إن الدالة المتعددة التعريف هي دالة تتكون من عدة دوال جزئية، حيث تكون كل دالة جزئية معرفة على مجموعة جزئية من مجال الدالة الأساسية، والتي نسميها بالمجال الجزئي.
دعونا نتناول أولًا كيفية إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها من تمثيلها البياني. لدينا هنا دالة متعددة التعريف. ليس لدينا تعريف الدالة، لكن يمكننا استنتاجه من التمثيل البياني إذا أردنا ذلك. لإيجاد مجال هذه الدالة أولًا، علينا النظر إلى جميع قيم ﺱ للدالة الممثلة بيانيًّا. يمكننا ملاحظة أن التمثيل البياني يتكون من جزأين: الجزء الأفقي هنا، ثم الجزء القطري. علينا تحديد قيم ﺱ لكل من هذين الجزأين، كي نحصل منها على المجالين الجزئيين للدالة.
تشير الدائرة المفرغة هنا إلى أن قيمة ﺱ عند هذه النقطة، وهي سالب اثنين، لا تنتمي إلى هذا المجال الجزئي لأن هذه النقطة لا تقع على هذا الجزء من التمثيل البياني. مع ذلك، يمكننا ملاحظة أن هذا الخط الأزرق به سهم في الطرف يشير نحو قيم ﺱ السالبة، وهو ما يوضح أن الخط المستقيم يستمر إلى ما لا نهاية في هذا الاتجاه. إذن، المجال الجزئي لهذا الجزء من التمثيل البياني هو جميع قيم ﺱ الأقل من سالب اثنين بشكل تام.
لنتناول الآن الجزء الآخر من التمثيل البياني. وهذا يبدأ عند قيمة ﺱ التي تساوي سالب اثنين. وهذه المرة، تشير الدائرة المظللة أو المصمتة إلى أن هذه النقطة تقع على التمثيل البياني لهذا الجزء. ومن ثم، يتضمن هذا المجال الجزئي القيمة سالب اثنين. وفي الطرف الآخر، يمتد الخط المستقيم إلى قيمة ﺱ التي تساوي اثنين. لكن الدائرة الصغيرة المفرغة هنا تشير إلى أن هذه النقطة، وبالتالي قيمة ﺱ هذه، غير متضمنة. إذن، لدينا جميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي سالب اثنين والأقل من موجب اثنين ولا تتضمن اثنين.
إليكم نقطة مهمة هنا. مجال الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد جميع مجالاتها الجزئية. وعليه، فإن أي قيمة لـ ﺱ في أحد المجالين الجزئيين تقع أيضًا في المجال الكلي للدالة. يمكننا استخدام رمز الفترة إذا أردنا القول إن مجال هذه الدالة هو اتحاد الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب اثنين، والفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب اثنين إلى موجب اثنين. وهذا يعطينا الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى اثنين. أو يمكننا كتابة ذلك باستخدام المتباينات على الصورة: ﺱ أصغر من اثنين ولا تتضمن اثنين.
هكذا أوجدنا مجال هذه الدالة، والآن لنتناول المدى. لنفعل ذلك، علينا التفكير في جميع قيم ﺹ التي يصل التمثيل البياني إليها. وعلى نحو مشابه للمجال، مدى الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مدى كل دالة جزئية على مجالها الجزئي. بالنظر إلى التمثيل البياني، نجد أن الدالة الجزئية الأولى قيمة ثابتة لأن المستقيم أفقي. وقيمة ﺹ تساوي سالب خمسة دائمًا. إذن، هذا هو مدى الدالة الجزئية الأولى.
الدالة الجزئية الثانية عبارة عن خط مستقيم متصل يمتد من قيمة ﺹ التي تساوي سالب ثلاثة إلى قيمة ﺹ التي تساوي موجب خمسة، بالرغم من أن الدائرة المفرغة هنا تشير إلى أنه يمكننا تضمين جميع القيم حتى موجب خمسة، ولكن لا تتضمن موجب خمسة. إذن، مدى هذه الدالة المتعددة التعريف يساوي اتحاد القيمة سالب خمسة والفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب ثلاثة إلى موجب خمسة.
في حالة الدوال المتعددة التعريف الأكثر تعقيدًا، يمكننا إيجاد المجال والمدى من خلال تحديد مواضع تقاطع المستقيمين الرأسي والأفقي مع المنحنى. على سبيل المثال، إذا رسمنا الخط المستقيم الرأسي ﺱ يساوي واحدًا الذي يتقاطع مع المنحنى بالفعل، فهذا يعني أن ﺱ أو القيمة المدخلة واحدًا تقع في مجال الدالة. وإذا رسمنا مستقيمًا أفقيًّا، على سبيل المثال، عند ﺹ يساوي ثلاثة، وكان هذا المستقيم يتقاطع مع المنحنى، فهذا يعني أن قيمة ﺹ هذه تقع في مدى الدالة. ولكن إذا رسمنا مستقيمًا عند ﺹ يساوي سالب أربعة، على سبيل المثال، فإن هذا المستقيم الأفقي لا يتقاطع مع المنحنى. وهذا يعني أن القيمة سالب أربعة لا تقع في مدى الدالة.
علينا أن نكون قادرين على تحديد مجال ومدى الدالة المتعددة التعريف بيانيًّا وبمعلومية تعريفها أيضًا. في المثال الأول، سنتدرب على إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها بمعلومية تمثيلها البياني.
عين مجال ومدى الدالة: ﺩﺱ تساوي ستة عندما يكون ﺱ أصغر من صفر، وسالب أربعة عندما يكون ﺱ أكبر من صفر.
نتذكر أولًا أن مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة للدالة. في حالة الدالة المتعددة التعريف التي لدينا هنا، سيكون المجال هو اتحاد جميع مجالاتها الجزئية. يمكننا تحديد ذلك إما من خلال تعريف الدالة وإما من التمثيل البياني. بالنظر إلى الدالة نفسها أولًا، نلاحظ أن ﺩﺱ معرفة بأنها تساوي ستة عندما يكون ﺱ أقل من صفر، وتساوي سالب أربعة عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. بعبارة أخرى، تأخذ الدالة جميع قيم ﺱ السالبة لتنتج القيمة المخرجة ستة، وتأخذ جميع قيم ﺱ الموجبة لتنتج القيمة المخرجة سالب أربعة. إذن، المجال الجزئي الأول للدالة هو ﺱ أصغر من صفر، والمجال الجزئي الثاني هو ﺱ أكبر من صفر.
مجال ﺩﺱ هو اتحاد هذين المجالين الجزئيين، وهو ما يمكننا كتابته باستخدام رمز الفترة على صورة اتحاد الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر والفترة المفتوحة من صفر إلى ∞. هذه هي مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها مع استبعاد القيمة صفر فقط. لذا، يمكننا كتابة ذلك على صورة مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص القيمة صفر.
هناك طريقة أخرى لمعرفة ذلك، وهي باستخدام التمثيل البياني. لتحديد إذا ما كانت قيمة ما لـ ﺱ تقع في مجال هذه الدالة، يمكننا أن نرسم مستقيمًا رأسيًّا عند قيمة ﺱ هذه. وإذا تقاطع هذا المستقيم مع منحنى الدالة، فسيخبرنا ذلك أن قيمة ﺱ تقع في مجال الدالة. المستقيم الرأسي الوحيد الذي يمكننا رسمه، والذي لا يتقاطع مع التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ، هو المستقيم ﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، هذه هي القيمة الوحيدة لـ ﺱ المستبعدة من المجال.
بعد ذلك، دعونا نتناول المدى، وهو مجموعة كل القيم المخرجة التي تنتجها الدالة. من خلال تعريف الدالة، نلاحظ أن الدالة لا تأخذ سوى القيمتين ستة وسالب أربعة. ومن ثم، هاتان القيمتان هما القيمتان المخرجتان الوحيدتان للدالة، ولذا فهما القيمتان الوحيدتان في المدى. ويمكننا أيضًا ملاحظة ذلك من خلال التمثيل البياني إذا رسمنا مستقيمات أفقية عند قيم ﺹ المختلفة. المستقيمان الأفقيان الوحيدان اللذان يتقاطعان مع التمثيل البياني للدالة هما المستقيمان ﺹ يساوي ستة وﺹ يساوي سالب أربعة. إذن، مدى ﺩﺱ هو المجموعة التي تحتوي على القيمتين سالب أربعة، وستة.
إذن وجدنا أن مجال هذه الدالة المتعددة التعريف هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ناقص القيمة صفر، ومداها هو المجموعة التي تحتوي على القيمتين سالب أربعة وستة. لنتناول الآن مثالًا آخر نوجد فيه مدى دالة أخرى متعددة التعريف.
أوجد مدى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد خمسة لـ ﺱ في الفترة المغلقة من سالب خمسة إلى سالب واحد، وﺩﺱ تساوي سالب ﺱ زائد ثلاثة لـ ﺱ في الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب واحد إلى ثلاثة.
لعلنا نتذكر أن مدى الدالة هو مجموعة كل القيم المخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها. لدينا هنا دالة متعددة التعريف. وهي معرفة بشكل مختلف على مجالين جزئيين مختلفين. لإيجاد مدى هذه الدالة، يمكننا استخدام التمثيل البياني لها. ويمكننا التفكير في المستقيمات الأفقية التي ستتقاطع مع التمثيل البياني. القيمة الصغرى لـ ﺹ التي يمكن عندها رسم مستقيم أفقي يتقاطع مع التمثيل البياني هي صفر. والقيمة العظمى لـ ﺹ، التي يمكن عندها رسم مستقيم أفقي يتقاطع مع التمثيل البياني، هي أربعة. وأي مستقيم أفقي سنرسمه بين قيمتي ﺹ هاتين سيتقاطع أيضًا مع التمثيل البياني، في حين أن أي مستقيم أفقي نرسمه خارج قيمتي ﺹ هاتين لن يتقاطع مع التمثيل البياني. وهذا يخبرنا بأن مدى هذه الدالة المتعددة التعريف، وهو مجموعة كل القيم المخرجة الممكنة أو قيم ﺹ في تمثيلها البياني، هو الفترة المغلقة من صفر إلى أربعة.
لنتناول الآن مثالًا آخر نوجد فيه مجال دالة متعددة التعريف، لكن هذه المرة دون أن يكون لدينا تمثيلها البياني.
أوجد مجال الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد أربعة عندما يكون ﺱ في الفترة المغلقة من سالب أربعة إلى ثمانية، وﺩﺱ تساوي سبعة ﺱ ناقص ٦٣ عندما يكون ﺱ في الفترة المفتوحة من اليمين، والمغلقة من اليسار من ثمانية إلى تسعة.
لعلنا نتذكر أن مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة لهذه الدالة. وبالنسبة إلى أي دالة متعددة التعريف، كما لدينا هنا، فهو اتحاد مجالاتها الجزئية. بالنسبة إلى هذه الدالة، المجالان الجزئيان هما الفترة المغلقة من سالب أربعة إلى ثمانية، والفترة المفتوحة من اليسار والمغلقة من اليمين من ثمانية إلى تسعة. إذن، مجال الدالة هو اتحاد هاتين الفترتين. لا يوجد فجوة بين هاتين الفترتين، والقيمة ثمانية متضمنة لأن الفترة الأولى مغلقة عند الطرف الأيسر لها. وعليه فإن مجال هذه الدالة المتعددة التعريف، الذي هو اتحاد مجالاتها الجزئية، هو الفترة المغلقة من سالب أربعة إلى تسعة.
هيا نتناول الآن مثالًا أخيرًا سنوجد فيه كلًّا من مجال ومدى دالة متعددة التعريف أكثر تعقيدًا.
أوجد مجال ومدى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ٣٦ على ﺱ ناقص ستة إذا كان ﺱ لا يساوي ستة، وﺩﺱ تساوي ١٢ إذا كان ﺱ يساوي ستة.
لعلنا نتذكر أن مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة لهذه الدالة. ولأي دالة متعددة التعريف، كما لدينا هنا، فالمجال هو اتحاد مجالاتها الجزئية. هنا لإيجاد اتحاد المجالين الجزئيين، نبدأ بكتابتهما بدلالة ترميز المجموعة. أولًا، ﺱ لا يساوي ستة يكافئ مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ناقص القيمة ستة. ثانيًا، ﺱ يساوي ستة يكافئ ببساطة المجموعة التي تحتوي على القيمة ستة. ومن ثم، فإن مجال الدالة هو اتحاد هاتين المجموعتين: الأعداد الحقيقية ناقص القيمة ستة اتحاد القيمة ستة، أي مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها.
لنتناول بعد ذلك مدى هذه الدالة. المدى هو مجموعة كل القيم المخرجة الممكنة بمعلومية مجال الدالة. في حالة الدالة المتعددة التعريف، يكون هذا هو مدى الدوال الجزئية على مجالاتها الجزئية. يمكننا إذن تحديد مدى هذه الدالة بتناول مدى كل دالة جزئية على حدة.
أولًا، لنتناول تعريف الدالة ﺩﺱ عندما يكون ﺱ لا يساوي ستة. التعبير في البسط هو فرق بين مربعين. ومن ثم، يمكن تحليله إلى ﺱ ناقص ستة مضروبًا في ﺱ زائد ستة. يمكن حذف العامل المشترك ﺱ ناقص ستة في البسط والمقام. ولهذا السبب، من المهم ألا يكون ﺱ مساويًا لستة هنا؛ لأنه إذا كان كذلك، فإن ﺱ ناقص ستة سيساوي صفرًا، وسنقسم على صفر، وهو غير معرف. لكن بما أن الدالة معرفة بشكل مختلف عندما يكون ﺱ مساويًا لستة، فإننا واثقون من أننا لن نقسم على صفر هنا.
إذن، عند ﺩﺱ لا يساوي ستة، فيمكننا تبسيط الدالة إلى ﺱ زائد ستة. وإذا أردنا، يمكننا رسم هذه الدالة الجزئية. إنها المستقيم ﺹ يساوي ﺱ زائد ستة بعد حذف النقطة التي عندها ﺱ يساوي ستة. ومدى هذه الدالة الجزئية هو جميع المخرجات الممكنة. المستقيم الأفقي الوحيد الذي يمكننا رسمه ولا يتقاطع مع هذا التمثيل البياني هو المستقيم ﺹ يساوي ١٢. ومن ثم، فإن مدى هذه الدالة الجزئية يساوي مجموعة كل الأعداد الحقيقية ناقص القيمة ١٢.
لكن الدالة الجزئية الثانية هي الدالة الثابتة ﺩﺱ تساوي ١٢ على المجال ﺱ يساوي ستة. بما أن القيمة المخرجة ثابتة، فإن مدى الدالة الجزئية الثانية يساوي ١٢ ببساطة. بأخذ اتحاد مديي هاتين الدالتين الجزئيتين نحصل على مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص القيمة ١٢ اتحاد القيمة ١٢، أي ببساطة مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. وذلك لأننا أخرجنا القيمة ١٢ ثم أعدناها مرة أخرى.
يمكننا أيضًا رسم الدالة الجزئية الثانية على التمثيل البياني نفسه لتمثيل ﺩﺱ بالكامل. الدالة الجزئية الثانية معرفة فقط عندما يكون ﺱ يساوي ستة. ومن ثم، فهي تتكون من نقطة واحدة. ﺩ لستة يساوي ١٢، لذا يمكننا إضافة النقطة ستة، ١٢ للرسم. لقد أضفنا النقطة التي لم تكن موجودة على المستقيم من قبل. ومن ثم، يمكننا ملاحظة أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد ستة. إذن يمكننا استنتاج أن مجال هذه الدالة المتعددة التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها وكذلك المدى.
هيا نختتم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو. أولًا، لاحظنا أن مجال الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مجالاتها الجزئية. وبالطريقة نفسها، مدى الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مدى كل دالة جزئية على مجالها الجزئي. رأينا أنه لإيجاد مجال دالة من تمثيلها البياني، يمكننا النظر إلى تقاطعات المنحنى مع المستقيمات الرأسية. أي إنه إذا تقاطع مستقيم رأسي مع المنحنى، فستكون قيمة ﺱ هذه متضمنة في المجال، بينما إذا لم يتقاطع هذا المستقيم الرأسي مع المنحنى، فسيتم استبعاد قيمة ﺱ.
ولإيجاد مدى دالة من تمثيلها البياني، يمكننا النظر إلى تقاطعات المنحنى مع المستقيمات الأفقية وتطبيق المبادئ نفسها لتحديد إذا ما كانت قيم ﺹ متضمنة في مدى الدالة أم لا.
