فيديو: إيجاد مقدار المتجه واتجاهه

تعلم كيفية حساب مقدار المتجه واتجاهه باستخدام الصيغة المناسبة لتمثيلهما، مع توخي الحذر في حالة الاتجاهات خارج الربع الأول.

١١:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على صيغة لتمثيل مقدار المتجه واتجاهه. كما سنتعلم كيفية إيجاد مقدار المتجه واتجاهه.

آمل أن تكون على علم بالفعل بأن المتجه هو مجموعة من الأعداد التي يمكن تمثيلها في فضاء مناسب من خلال قطعة مستقيمة ذات طول واتجاه محددين. نستخدم هذه الأعداد لتمثيل أشياء مثل السرعة والقوى والانتقالات التي لها مقدار واتجاه. وكما قلنا، ففي هذا الفيديو، سنستخدم صيغة المتجه وسنحسب المقدار والاتجاه لبعض المتجهات.

لنبدأ بالنقطة ‪𝐴‬‏ عند واحد، اثنين والنقطة ‪𝐵‬‏ عند خمسة، خمسة. يشير المتجه الممثل بالقطعة المستقيمة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ إلى انتقال قدره موجب أربعة في اتجاه ‪𝑥‬‏ وموجب ثلاثة في اتجاه ‪𝑦‬‏. يمكننا كتابة ذلك بالصورة ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي أربعة، ثلاثة بين قوسين. يمكننا أيضًا تسمية المتجه، لنقل ‪𝑉‬‏ مثلًا. إذن ‪𝑉‬‏ يساوي أربعة، ثلاثة بين قوسين. يكون الحرف ‪𝑉‬‏ عادة بخط عريض أو مائل بناء على المرجع الذي تطالعه.

ولأن كلًا من المحورين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ عمودي على الآخر، فإننا نشكل مثلثًا قائم الزاوية عند إيجاد مركبات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. إذن يمكننا استخدام بعض العمليات الرياضية الخاصة بالمثلث القائم الزاوية وحساب المثلثات ونظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار المتجه واتجاهه. يمكن كتابة مقدار ‪𝑉‬‏ بالصورة ‪𝑉‬‏ بين خطين رأسيين، وهما رمز لمقدار ‪𝑉‬‏. وتنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. في هذه الحالة، طول الوتر هو طول المتجه أو مقداره. إذن لنستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد هذا الطول. طول ‪𝑉‬‏ تربيع أو مقدار ‪𝑉‬‏ تربيع يساوي أربعة تربيع زائد ثلاثة تربيع لأنهما طولي الضلعين الآخرين في المثلث. أربعة تربيع يساوي ‪16‬‏، وثلاثة تربيع يساوي تسعة. بجمع هذين معًا، نحصل على ‪25‬‏. وبحساب الجذر التربيعي للطرفين، ‪𝑉‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪25‬‏. إذن مقدار ‪𝑉‬‏ يساوي خمسة. ولو لم نرمز للمتجه بالحرف ‪𝑉‬‏، وتركناه ‪𝐴𝐵‬‏، كما فعلنا هنا، لكانت هذه هي طريقة كتابة ذلك. إذ إن مقدار المتجه ‪𝐴𝐵‬‏ يعني الشيء نفسه ولكن باسم مختلف.

ولإيجاد الاتجاه، نبحث عن الزاوية التي يكونها المتجه مع الجزء الموجب من المحور ‪𝑥‬‏ إذا بدأ، أي كانت نقطة بدايته، عند صفر، صفر. كما نوجد قياس زاوية الدوران اللازم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ‪𝑥‬‏ للحصول على المتجه. إذن نبحث هنا في الأساس عن قياس هذه الزاوية. بالتفكير في هذا الاتجاه، ما قياس الزاوية التي يكونها مع المتجه عكس اتجاه دوران عقارب الساعة؟ يمكننا الآن استخدام حساب المثلثات، وبالتحديد نسبة ظل الزاوية، لإيجاد قياس الزاوية ‪𝜃‬‏. ولكن للقيام بذلك، سأرسم شكلًا جديدًا. نعلم أن للمتجهات طولًا واتجاهًا، ولكن يمكننا تحديدها ووضعها في أي مكان نريده، شريطة الحفاظ على الاتجاه والطول كما هما. وهذا ما فعلناه هنا. حددنا المتجه ‪𝑣‬‏ وحددنا نقطة بدايته التي تقع عند نقطة الأصل هنا. وما نريد قياسه هو هذه الزاوية هنا.

نعلم أن مركبة ‪𝑥‬‏ في هذا المتجه هي أربعة. إذن، فإن المسافة على هذا الضلع هنا تساوي أربعة. كما نعلم أن مركبة ‪𝑦‬‏ تساوي ثلاثة. ومن ثم، فالمسافة على هذا الضلع هنا تساوي ثلاثة. سنحدد الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر. الضلع المجاور والضلع المقابل هما الضلعان اللذان نعرف طولهما وعلاقتهما بهذه الزاوية. إذن نستخدم نسبة ظل الزاوية. ظل الزاوية هو طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. إذن هذا يساوي ثلاثة على أربعة. إذا كان ‪tan 𝜃‬‏ يساوي ثلاثة على أربعة، فهذا يعني أن قياس ‪𝜃‬‏ يساوي ‪tan‬‏ سالب واحد لثلاثة على أربعة، أي ثلاثة أرباع. تذكر أن ثلاثة هي مركبة ‪𝑦‬‏ وأربعة هي مركبة ‪𝑥‬‏ في المقام. بإجراء بعض العمليات الحسابية على الآلة الحاسبة، نجد أن قياس ‪𝜃‬‏، في هذه الحالة، يساوي ‪36.9‬‏ درجة. إذن بالنسبة إلى المتجه ‪𝐴𝐵‬‏، أو في الواقع المتجه ‪𝑉‬‏، فإن مقدار ‪𝑉‬‏ يساوي خمسة، وقياس الاتجاه في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور ‪𝑥‬‏ يساوي ‪36.9‬‏ درجة.

حسنًا. لننظر مثالًا آخر، وهو مثال أصعب قليلًا لبضعة أسباب كما سنرى. تقع النقطة ‪𝐶‬‏ عند واحد، ستة وتقع النقطة ‪𝐷‬‏ عند خمسة، واحد. أوجد مقدار المتجه ‪𝐶𝐷‬‏ واتجاهه. كما قلنا، هذا المثال أصعب قليلًا لبضعة أسباب. أولًا، لأننا ليس لدينا شكل. ثانيًا، لأن استخدام نظرية فيثاغورس لن يكون مناسبًا على الإطلاق. ثالثًا، يزيد الاتجاه من صعوبة هذه المسألة بعض الشيء. لذا، أول ما أنصحك به هو أن ترسم شكلًا. ليس بالضرورة أن يكون شكلًا دقيقًا تمامًا، ولكنه مجرد محاولة للتعبير بالرسم عن هذه الحالة.

لدينا هنا رسم. ولدينا النقطتان ‪𝐶‬‏ و‪𝐷‬‏ على الرسم. لا داعي لرسم المحورين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ بالنظام الإحداثي. من المحتمل ألا تكون النقطتان دقيقتين تمام الدقة، ولكن يكفي أن نعلم أن النقطة ‪𝐶‬‏ تقع عند واحد، ستة يسار النقطة ‪𝐷‬‏ قليلًا وأعلاها. رسمت كذلك المثلث القائم الزاوية الذي يتضمن الزاوية القائمة التي تشكلها المركبتان. إذن لإيجاد مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐶𝐷‬‏، نتحرك من إحداثي ‪𝑥‬‏ عند الواحد، إلى إحداثي ‪𝑥‬‏ عند الخمسة. الفرق بينهما، أي خمسة ناقص واحد، يساوي موجب أربعة. هذا يعني موجب أربعة في اتجاه ‪𝑥‬‏. وبالنسبة إلى إحداثيات ‪𝑦‬‏، نتحرك من ستة للأسفل إلى الواحد. واحد ناقص ستة يساوي سالب خمسة. إذن لدينا سالب خمسة في اتجاه ‪𝑦‬‏. يمكننا كتابة المتجه ‪𝐶𝐷‬‏ على الصورة أربعة، سالب خمسة بين قوسين.

يمكننا الآن البدء في تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار ذلك المتجه. بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية لدينا، نجد أن هذا هو الطول الذي نحاول إيجاده وهو طول الوتر. إذن مقدار ‪𝐶𝐷‬‏ تربيع يساوي أربعة تربيع زائد سالب خمسة تربيع. أربعة تربيع يساوي ‪16‬‏ وسالب خمسة تربيع يساوي ‪25‬‏. بجمع هذين معًا، نحصل على ‪41‬‏. نحسب الجذر التربيعي للطرفين. الجذر التربيعي لـ ‪41‬‏ ليس عددًا يسهل إيجاده. إذن نترك هذا على صورة الجذر التربيعي لـ ‪41‬‏. ولكن في بعض الحالات، يمكنك حساب ذلك على الآلة الحاسبة ويكون الناتج ‪6.4‬‏ مقربًا لمنزلة عشرية واحدة.

تذكر أن الاتجاه يقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ‪𝑥‬‏ إلى المتجه، بافتراض أنه يبدأ عند صفر، صفر. وهذا أصعب نوعًا ما في هذه الحالة. لذا، سأرسم شكلًا آخر. بتذكر أن المتجه ‪𝐶𝐷‬‏ يساوي أربعة، سالب خمسة، سنحدد المتجه ونجعل نقطة البدء عند صفر، صفر هنا عند نقطة الأصل. عندما نقوم بذلك، يكون المتجه بهذا الشكل. لدينا مركبة ‪𝑥‬‏ تساوي أربعة ومركبة ‪𝑦‬‏ تساوي سالب خمسة. وبذلك، يتكون لدينا مثلث صغير قائم الزاوية.

إذا كنت تتذكر المثال الأول، فقد قلنا إن الاتجاه يساوي ‪tan‬‏ سالب واحد لمركبة ‪𝑦‬‏ على مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الذي نريد إيجاده. هذا يساوي ‪tan‬‏ سالب واحد لسالب خمسة على أربعة. هذا بدوره يعطينا قياس الزاوية سالب ‪51.3‬‏ درجة مقربًا لمنزلة عشرية واحدة. وبذلك، نكون قد توصلنا إلى قياس هذه الزاوية. إذن إذا بدأنا القياس من المحور ‪𝑥‬‏ وتحركنا في اتجاه دوران عقارب الساعة وعددنا في الاتجاه السالب، فسنحصل على سالب ‪51.3‬‏ درجة. إذن قياس هذه الزاوية هنا يساوي ‪51.3‬‏ درجة. ما نريده هو قياس الزاوية عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بداية من المحور ‪𝑥‬‏ إلى المتجه. إنها هذه الزاوية حول الجزء الخارجي، وهي الزاوية المنعكسة.

إذن، هذه ليست الزاوية التي نبحث عنها. يخبرنا هذا أن لدينا ‪51.3‬‏ درجة من دورة كاملة قياسها ‪360‬‏ درجة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن الاتجاه الذي نبحث عنه يساوي ‪360‬‏ درجة ناقص ‪51.3‬‏ درجة. يمكنك القول إنه سالب ‪51.3‬‏ زائد ‪360‬‏ درجة، ولكن هذه مجرد طريقة أخرى لقول الشيء نفسه. إذن الاتجاه الذي نريده يساوي ‪308.7‬‏ درجات مقربًا لمنزلة عشرية واحدة.

لنلخص إذن العملية بأكملها. لإيجاد اتجاه المتجه ‪𝐴𝐵‬‏ ومقداره، علينا أولًا تحديد المتجه ونوصله بنقطة أصل المحورين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. يمكننا بعد ذلك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ذلك المتجه أو مقداره. لذا، إذا كانت ‪𝐴‬‏ نقطة البداية و‪𝐵‬‏ نقطة النهاية، والنقطة ‪𝐴‬‏ بالإحداثيين ‪𝑥‬‏ واحد، ‪𝑦‬‏ واحد، والنقطة ‪𝐵‬‏ بالإحداثيين ‪𝑥‬‏ اثنين، ‪𝑦‬‏ اثنين، فإن مقدار المتجه ‪𝐴𝐵‬‏ ما هو إلا الفرق بين إحداثيات ‪𝑥‬‏ تربيع زائد الفرق بين إحداثيات ‪𝑦‬‏ الكل تربيع. بعد ذلك، نحسب الجذر التربيعي لكل هذا.

ولإيجاد الاتجاه، فهو قياس الزاوية هنا من هذا الجزء من المحور ‪𝑥‬‏ إلى المتجه عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن بالنسبة إلى ‪𝐴𝐵‬‏، فإن مركبة ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ واحد، أي مركبة ‪𝑥‬‏ لنقطة النهاية ناقص مركبة ‪𝑥‬‏ لنقطة البداية. وبالمثل أيضًا بالنسبة إلى مركبة ‪𝑦‬‏. الاتجاه ‪𝜃‬‏ هو دالة الظل العكسية لمركبة ‪𝑦‬‏ على مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐴𝐵‬‏. لكن انتبه، فإذا كان قياس هذه الزاوية بالسالب، فعلينا التأكد من أننا نحصل على هذا القياس بالموجب في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من المحور ‪𝑥‬‏.

لذا، سواء تذكرت هاتين الصيغتين أو الطرق التي تناولناها كما أوضحناها في الفيديو أيًا كانت، آمل أن تساعدك في إيجاد مقادير المتجهات واتجاهاتها في المستقبل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.