فيديو الدرس: معادلة الكرة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معادلة كرة بمعلومية مركزها، وكيف نوجد المركز ونصف القطر بمعلومية معادلة الكرة.

٢٩:٣٧

‏نسخة الفيديو النصية

معادلة الكرة

في هذا الدرس، سوف نتعرف على الصورة القياسية لمعادلة كرة. وسنتعرف على كيفية إيجاد الصورة القياسية لمعادلة كرة بمعلومية مركز الكرة ونصف قطرها. كما سنتعرف على كيفية إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها بمعلومية معادلة الكرة في الصورة القياسية.

إذن لإيجاد معادلة كرة، علينا أولًا أن نتذكر ما نعنيه بالكرة. إننا نتذكر أن الكرة التي يقع مركزها عند النقطة ﻡ ونصف قطرها نق سوف تتكون من جميع النقاط التي تبعد مسافة نق من الوحدات عن النقطة ﻡ. وهناك أشياء كثيرة نشير إليها في هذا التعريف. أولًا: أن الكرات تكون في ثلاثة أبعاد. على وجه التحديد، تعطى جميع النقاط على الكرة بإحداثيات ثلاثية الأبعاد، كما تعطى النقطة ﻡ أيضًا بإحداثيات ثلاثية الأبعاد. ومن المهم أن نتذكر ذلك؛ لأننا إذا استخدمنا بعدين بدلًا من ذلك، فسيكون هذا هو تعريف الدائرة، بالضبط.

ثانيًا: بما أن نصف القطر نق يمثل طولًا أو مسافة، إذن، نقول إن نق لا بد أن يكون قيمة موجبة. إذا كان نصف القطر نق يساوي صفرًا، فإن الكرة ستكون عبارة عن جميع النقاط التي تبعد مسافة صفر عن ﻡ. وهو ما سيكون النقطة ﻡ نفسها. وإذا كان نق قيمة سالبة، فلن يكون التعريف منطقيًا. لذلك قلنا إن نق يجب أن يكون قيمة موجبة. والآن، بما أن لدينا تعريف الكرة، فإننا نريد إيجاد معادلة الكرة. وهناك بعض الخطوات للقيام بذلك. تذكر أنه لكي تكون معادلة الكرة صحيحة، يجب أن تحقق كل نقطة على الكرة المعادلة، وكل نقطة تحقق المعادلة يجب أن تقع على الكرة.

نحن نريد إيجاد المعادلة العامة للكرة. ومن ثم، سنفترض أن مركز الكرة هو النقطة ﺃ، ﺏ‏، ﺟ وسنفترض أن ﻥ؛ أي النقطة ﺱ، ﺹ‏، ﻉ، تقع على الكرة التي نصف قطرها نق، والتي يقع مركزها عند النقطة ﻡ. وهذه هي الكرة التي سنحاول إيجاد معادلتها العامة. إحدى طرق إيجاد معادلة هذه الكرة هي أن نستعين بالطريقة التي نستخدمها لإيجاد معادلة دائرة ما. في هذه الحالة نرسم صورة للدائرة، ثم نستخدم ما نعرفه عن نظرية فيثاغورس لإيجاد معادلة للدائرة. في الواقع، ستكون هذه الطريقة تقريبًا مماثلة لما سنقوم به. فقط سيكون الأمر أكثر تعقيدًا قليلًا؛ لأننا سنعمل في ثلاثة أبعاد. لكن هذا سيعطينا المعادلة الصحيحة للكرة. ومع ذلك، لدينا بالفعل أدوات أقوى للتعامل مع ذلك، وهو ما يعطينا طريقة أسهل لإيجاد معادلة الكرة.

تذكر أن كل نقطة في الكرة يجب أن تكون على مسافة نق من النقطة ﻡ. في هذه الحالة، لا بد أن تكون النقطة ﻥ على مسافة نق من مركز الكرة ﻡ. ونحن نعرف صيغة لحساب المسافة بين نقطتين في ثلاثة أبعاد. إننا نعرف أنه لحساب المسافة بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد والنقطة ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين، علينا حساب الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد الكل تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد الكل تربيع زائد ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد الكل تربيع. لنستخدم إذن هذه الصيغة لحساب المسافة بين النقطة ﻡ والنقطة ﻥ. تذكر أننا نعلم بالفعل أن هذه المسافة ستساوي نق. هذا يعطينا المسافة بين النقطة ﻡ والنقطة ﻥ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع. ونعلم أن هذا سيساوي نصف قطر الكرة نق.

فلنفكر إذن فيما أوضحنا بالضبط. لقد ذكرنا أن أي نقطة ﻥ تقع على الكرة التي نصف قطرها نق ويقع مركزها عند النقطة ﻡ، يجب أن تحقق هذه المعادلة. وفي الواقع، يمكننا إثبات أن العكس صحيح أيضًا. بإمكاننا التفكير فيما سيحدث إذا حققت النقطة ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر هذه المعادلة. هذا يعني أننا نعوض بـ ﺱ يساوي ﺱ صفر، وﺹ يساوي ﺹ صفر، وﻉ يساوي ﻉ صفر في هذه المعادلة. وسيساوي الطرف الأيسر في هذه المعادلة نق. لكن، يمكننا أن نرى في الطرف الأيمن من هذه المعادلة أيضًا أننا نحسب فقط المسافة بين النقطة ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر ومركز الكرة ﻡ. وبالتالي، إذا كانت النقطة تحقق هذه المعادلة، فيجب أن تكون على مسافة نق من مركز الكرة ﻡ، وهو ما يعني أنها تقع على الكرة.

وبذلك، نكون قد تمكنا من إيجاد معادلة كرة مركزها عند النقطة ﺃ، ﺏ‏، ﺟ ‏ونصف قطرها نق. لقد أوضحنا أن كل نقطة تقع على هذه الكرة يجب أن تحقق هذه المعادلة، وكل نقطة تحقق هذه المعادلة يجب أن تقع على الكرة. لكن هناك شيئًا واحدًا ربما تكون لاحظته. هذا التعبير يبدو معقدًا جدًا. في الواقع، يمكننا تبسيط ذلك بتربيع الطرفين. ثمة شيء واحد جدير بالذكر هنا. يمكننا القول إننا لن نحصل على حلول إضافية في هذه الحالة؛ لأننا نعلم أن قيمة نق موجبة. وكل ما بداخل رمز الجذر التربيعي في الطرف الأيمن من المعادلة أكبر من أو يساوي صفرًا؛ لأننا نقوم بتربيع كل حد. هذا يعني أنه يمكننا التأكد من أن تربيع الطرفين لن يعطينا حلولًا إضافية.

وهذا يعطينا المعادلة التالية للكرة. ونطلق عليها الصورة القياسية لمعادلة الكرة، مثلما يمكننا أن نقول إن هذه المعادلة هي الصورة القياسية لمعادلة الدائرة إذا لم يكن لدينا الحد الثالث في الطرف الأيمن. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونفكر فيما أوضحنا بالضبط. لقد ذكرنا أن الصورة القياسية لمعادلة كرة مركزها عند النقطة ﺃ، ﺏ‏، ﺟ ونصف قطرها نق، هي ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع. إذن، بمعلومية مركز الكرة ونصف قطرها، يمكننا إيجاد معادلة الكرة. وبالمثل، إذا أعطيت لنا الصورة القياسية لمعادلة الكرة، فسيكون بإمكاننا إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة على كيفية تطبيق ذلك.

أوجد معادلة الكرة التي مركزها ١١، ثمانية، سالب خمسة، ونصف قطرها ثلاث وحدات، على الصورة القياسية.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد معادلة الكرة. وبالإضافة إلى ذلك، مطلوب منا إيجاد هذه المعادلة على الصورة القياسية. لدينا أيضًا بعض المعطيات عن الكرة. نحن نعلم أن مركز الكرة هو ١١، ثمانية، سالب خمسة، ونصف قطرها يساوي ثلاثة. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالصورة القياسية لمعادلة الكرة. إننا نعلم أن الكرة التي مركزها عند النقطة ﺃ، ﺏ‏، ﺟ ونصف قطرها نق، تكون معادلتها في الصورة القياسية هي: ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع.

في هذا السؤال، نعلم أن مركز الكرة هو النقطة ١١، ثمانية، سالب خمسة، ونعلم أن نصف قطر الكرة يساوي ثلاثة. إذن، كل ما علينا فعله للإجابة عن هذا السؤال هو التعويض بهذه القيم في الصورة القياسية لمعادلة الكرة. بالتعويض بـ ﺃ يساوي ١١، وﺏ يساوي ثمانية، وﺟ يساوي سالب خمسة، ونق يساوي ثلاثة في معادلة الكرة، نحصل على ﺱ ناقص ١١ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ﻉ ناقص سالب خمسة الكل تربيع يساوي ثلاثة تربيع.

وبالطبع يمكننا تبسيط ذلك. ‏‏ﻉ ناقص سالب خمسة الكل تربيع يساوي ﻉ زائد خمسة الكل تربيع، وثلاثة تربيع يساوي تسعة. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. الصورة القياسية لمعادلة الكرة التي يقع مركزها عند النقطة ١١، ثمانية، سالب خمسة، ونصف قطرها ثلاثة هي ﺱ ناقص ١١ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ﻉ زائد خمسة الكل تربيع يساوي تسعة.

دعونا الآن نستعرض مثالًا لدينا فيه معادلة الكرة، ويتعين علينا إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها.

كرة معادلتها ﺱ زائد خمسة الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ١٢ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص اثنين الكل تربيع ناقص ٢٨٩ يساوي صفرًا، أوجد مركزها ونصف قطرها.

في هذا السؤال، لدينا معادلة، وقيل لنا إنها تمثل معادلة كرة. ويتعين علينا تحديد مركز هذه الكرة ونصف قطرها. للقيام بذلك، يمكننا النظر إلى المعادلة المعطاة لنا، ويمكننا هنا ملاحظة أنها تشبه إلى حد كبير الصورة القياسية لمعادلة الكرة. فلنبدأ إذن بتذكر الصورة القياسية لمعادلة الكرة. إننا نعرف أن الكرة التي نصف قطرها نق ويقع مركزها عند النقطة ﺃ، ﺏ‏، ﺟ تكون معادلتها بالصورة القياسية على النحو الآتي. ‏‏ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع. ومن ثم، إذا استطعنا إعادة كتابة المعادلة المعطاة في السؤال على الصورة القياسية، فسنستطيع إيجاد مركز الكرة، وسنتمكن من إيجاد نصف قطرها.

حسنًا، دعونا نبدأ بمعادلة الكرة المعطاة في السؤال. يمكننا أن نرى في الصورة القياسية لمعادلة الكرة أن الحد الثابت موجود في الطرف الأيسر من المعادلة. لكن في المعادلة التي لدينا، نلاحظ أنه موجود في الطرف الأيمن. إذن، أول ما علينا فعله هو إضافة ٢٨٩ إلى طرفي المعادلة. هذا يعطينا ﺱ زائد خمسة الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ١٢ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص اثنين الكل تربيع يساوي ٢٨٩. والآن يمكننا أن نرى أن المعادلة مكتوبة بالصورة الصحيحة تقريبًا. لكن، نظرًا لأننا نريد إيجاد نصف قطر هذه الكرة، فسنكتب الثابت على الطرف الأيسر كعدد مربع. وبحساب الجذر التربيعي لـ ٢٨٩، نجد أن ٢٨٩ يساوي ١٧ تربيع. إذن، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر للمعادلة على الصورة: ١٧ تربيع.

والآن أصبحت المعادلة مكتوبة تمامًا على الصورة القياسية. لكن كما نلاحظ في الصورة القياسية، علينا طرح الثوابت الموجودة داخل الأقواس. لكن في الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا داخل القوس ﺱ زائد خمسة. ويمكننا تعديل ذلك بمعرفة أن ﺱ زائد خمسة يساوي ﺱ ناقص سالب خمسة. لذا، سنعيد كتابة هذا الحد ليكون على الصورة: ﺱ ناقص سالب خمسة الكل تربيع. الآن وقد كتبنا هذه المعادلة على الصورة القياسية لمعادلة الكرة، يمكننا إيجاد مركزها ونصف قطرها. مركز الكرة سيكون النقطة سالب خمسة، ١٢، اثنان؛ لأن هذه هي قيم ﺃ وﺏ وﺟ بالصورة القياسية لمعادلة الكرة. وهناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي قيم ﺱ وﺹ وﻉ، التي ستجعل كل حد في الطرف الأيمن من المعادلة يساوي صفرًا. ويمكننا أيضًا إيجاد نصف قطر هذه الكرة. نصف قطر هذه الكرة يساوي ١٧.

تذكر أن نصف قطر الكرة يمثل طولًا؛ ومن ثم يمكننا كتابته بالوحدات. سنقول إنه يساوي ١٧ وحدة طول. من ثم، إذا كانت معادلة الكرة هي ﺱ زائد خمسة الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ١٢ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص اثنين الكل تربيع ناقص ٢٨٩ يساوي صفرًا، فبإعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة القياسية لمعادلة الكرة، تمكنا من إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها. حيث أوضحنا أن مركز الكرة هو النقطة سالب خمسة، ١٢، اثنان، وأن نصف قطر هذه الكرة هو ١٧ وحدة طول.

هيا الآن نتناول مثالًا نتحقق فيه مما إذا كانت المعادلة المعطاة هي معادلة كرة.

حدد ما إذا كانت المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص ثمانية ﻉ زائد ١٩ يساوي صفرًا تمثل كرة أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد نصف قطرها ومركزها.

في هذا السؤال، لدينا معادلة. علينا تحديد ما إذا كانت هذه المعادلة تمثل كرة أم لا. وإذا كانت تمثل كرة، فعلينا تحديد مركز هذه الكرة ونصف قطرها. أسهل طريقة لفعل ذلك هي محاولة كتابة المعادلة على الصورة القياسية لمعادلة الكرة. فلنبدأ بتذكر ما يعنيه هذا. إننا نعرف أن الكرة التي مركزها النقطة ﺃ، ﺏ‏، ﺟ والتي يبلغ نصف قطرها نق، تكون معادلتها بالصورة القياسية على النحو الآتي. ‏‏ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع.

ما نريد فعله هو إعادة كتابة المعادلة المعطاة لنا في السؤال بحيث تكون معادلة كرة على الصورة القياسية. وإذا تمكنا من فعل ذلك، فسيكون بإمكاننا تحديد مركز الكرة ونصف قطرها. للقيام بذلك، سنبدأ بإعادة ترتيب المعادلة المعطاة لنا. سنكتب حدود ﺱ أولًا، ثم نكتب حدود ﺹ، ثم نكتب حدود ﻉ. في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، نلاحظ أننا نبدأ بـ ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع. لكن لدينا في المعادلة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. ولكتابة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ بهذه الصورة، علينا إكمال المربع.

إننا نتذكر أنه لإكمال المربع، علينا كتابة هذين الحدين على الصورة: ﺱ زائد عدد ثابت الكل تربيع. ولإيجاد الثابت، علينا أن نقسم معامل ﺱ على اثنين. وهذا لأن ﺱ زائد واحد الكل تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد. إذا أردنا أن يساوي ذلك ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ، فعلينا طرح واحد من طرفي المعادلة. وبإكمال المربع، نكون قد أوضحنا أن ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ يساوي ﺱ زائد واحد الكل تربيع ناقص واحد. علينا بعد ذلك أن نفعل الشيء نفسه مع الحدين التاليين. هذه المرة، نقسم معامل ﺹ على اثنين، لنحصل على سالب واحد. وإذا وزعنا التربيع على القوس، نحصل على ﺹ ناقص واحد الكل تربيع يساوي ﺹ تربيع ناقص اثنين ﺹ زائد واحد.

ومرة أخرى، بما أننا نريد أن يكون هذا مساويًا لـ ﺹ تربيع ناقص اثنين ﺹ، علينا طرح واحد من طرفي المعادلة، فيصبح لدينا ﺹ تربيع ناقص اثنين ﺹ يساوي ﺹ ناقص واحد الكل تربيع ناقص واحد. وهكذا، بإكمال المربع، تمكنا من إعادة كتابة الحدين ﺹ تربيع ناقص اثنين ﺹ على الصورة ﺹ ناقص واحد الكل تربيع ناقص واحد. وأخيرًا، علينا إكمال المربع على حدود ﻉ. مرة أخرى، داخل القوس، علينا أن نقسم معامل ﻉ على اثنين، وهو سالب ثمانية. وهذا يعطينا ﻉ ناقص أربعة الكل تربيع. إذا وزعنا التربيع على القوس، فسنحصل على ﻉ تربيع ناقص ثمانية ﻉ زائد ١٦. إذن، لكي نجعل ذلك يساوي ﻉ تربيع ناقص ثمانية ﻉ، علينا طرح ١٦ من طرفي المعادلة. وهذا يعطينا ﻉ تربيع ناقص ثمانية ﻉ يساوي ﻉ ناقص أربعة الكل تربيع ناقص ١٦.

وهكذا، بإكمال المربع، تمكنا من إعادة كتابة الحد ﻉ تربيع ناقص ثمانية ﻉ على الصورة: ﻉ ناقص أربعة الكل تربيع ناقص ١٦. وفي المعادلة، ما زال يتعين علينا أن نضيف ١٩ ونساوي هذا بالصفر. وبإكمال المربع ثلاث مرات، تمكنا من إعادة كتابة المعادلة المعطاة في السؤال على الصورة: ﺱ زائد واحد الكل تربيع ناقص واحد زائد ﺹ ناقص واحد الكل تربيع ناقص واحد زائد ﻉ ناقص أربعة الكل تربيع ناقص ١٦ زائد ١٩ يساوي صفرًا.

وبالطبع يمكننا تبسيط ذلك. لدينا سالب واحد ناقص واحد ناقص ١٦ زائد ١٩. إذا أوجدنا قيمة ذلك، نجد أنه يساوي واحدًا. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة المعطاة في السؤال على الصورة الآتية. لكن، تذكر أنه في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، يكون الحد الثابت في الطرف الآخر من المعادلة. لذا نطرح واحدًا من طرفي المعادلة. هذا يعطينا: ﺱ زائد واحد الكل تربيع زائد ﺹ ناقص واحد الكل تربيع زائد ﻉ ناقص أربعة الكل تربيع يساوي سالب واحد.

لكن إذا قلنا الآن إن هذه هي معادلة الكرة، فستواجهنا مشكلة. ففي هذه الحالة، سيكون نصف القطر هو العدد الذي ينتج عن تربيعه سالب واحد. لكن، يجب أن يكون نصف القطر قيمة موجبة؛ إذن، هذا غير منطقي. إذن، لا يبدو أن هذه معادلة كرة. في الواقع، يمكننا إثبات ذلك. في الطرف الأيسر من المعادلة، نلاحظ أن لدينا عددًا سالبًا. لكن، في الطرف الأيمن من المعادلة، نلاحظ أن الحدود الثلاثة مربعة. هذا يعني أن الحدود الثلاثة أكبر من أو تساوي صفرًا. لذا، فإن الطرف الأيمن من المعادلة أكبر من أو يساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ وﺹ وﻉ. إلا أن الطرف الأيسر من المعادلة سالب.

إذن، هذه المعادلة ليست معادلة كرة فحسب، بل لا توجد حلول لهذه المعادلة على الإطلاق. ومن ثم، للإجابة عن السؤال حول ما إذا كانت المعادلة: ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص ثمانية ﻉ زائد ١٩ يساوي صفرًا تمثل كرة، استطعنا أن نوضح أن الإجابة هي: لا، هذه المعادلة لا تمثل كرة.

هيا نتناول الآن مثالًا نستخدم فيه معادلة الكرة لإيجاد بعض المعلومات الهندسية حول الكرة.

إذا كانت ﺃ هي النقطة صفر، أربعة، أربعة، والقطعة المستقيمة ﺃﺏ تمثل قطر كرة معادلتها: ﺱ زائد اثنين الكل تربيع زائد ﺹ زائد واحد الكل تربيع زائد ﻉ ناقص واحد الكل تربيع يساوي ٣٨، فما إحداثيات النقطة ﺏ؟

في هذا السؤال، لدينا بعض المعطيات عن الكرة. أولًا، علمنا المعادلة القياسية للكرة. ومعلوم لدينا أيضًا أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تمثل قطر الكرة، ونعلم إحداثيات النقطة ﺃ. علينا استخدام هذه المعطيات لتحديد إحداثيات النقطة ﺏ. هناك عدة طرق مختلفة لفعل ذلك. ومع ذلك، في مثل هذه المسائل، أسهل طريقة للحل تتضمن البدء بكتابة جميع المعطيات. لفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر الصورة القياسية لمعادلة الكرة. إننا نعرف أن الكرة التي نصف قطرها نق ويكون مركزها عند النقطة ﺃ، ﺏ‏، ﺟ تكون معادلتها بالصورة القياسية على النحو الآتي. ‏‏ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع.

وهذا يعني أنه إذا كانت لدينا معادلة الكرة بالصورة القياسية، فيمكننا إيجاد نقطة مركزها ﺃ، ﺏ‏، ﺟ ويمكننا أيضًا إيجاد نصف قطرها نق. نلاحظ هنا أن المعادلة المعطاة في السؤال مكتوبة على الصورة القياسية؛ لذا يمكننا استخدامها لإيجاد مركز الكرة ونصف قطرها. هناك طريقتان مختلفتان لإيجاد نقطة المركز. يمكننا إعادة كتابة المقادير الموجودة داخل الأقواس في صورة المتغير ناقص عدد ثابت. لكن، يمكننا أيضًا إيجاد قيمة المتغير الذي يجعل هذا الحد يساوي صفرًا. لذا، على سبيل المثال: قيمة ﺃ ستكون سالب اثنين، وقيمة ﺏ ستكون سالب واحد، وقيمة ﺟ ستكون واحدًا. كلتا الطريقتين تصلح للحل، إنه التفضيل الشخصي الذي يحدد أي الطريقتين تختار. في كلتا الحالتين، لقد أوضحنا أن مركز الكرة المعطاة لنا في المسألة هو النقطة سالب اثنين، سالب واحد، واحد.

بالمثل، يمكننا إيجاد نصف قطر هذه الكرة عن طريق أخذ الجذر التربيعي لـ ٣٨. آخر ما علينا فعله هو الاستعانة بحقيقة أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تمثل قطرًا في الكرة، وأن إحداثيات النقطة ﺃ هي صفر، أربعة، أربعة. قد نرغب في رسم هذه المعطيات على كرة. لكن هذا ليس ضروريًا. يمكننا فعل ذلك على دائرة؛ لأن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تمثل قطرًا في الكرة، ومن ثم فهي أيضًا تمثل قطرًا في الدائرة التي لها نصف القطر نفسه. في كلتا الحالتين، المعطى الوحيد الذي نحتاج إليه هو أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تمثل قطرًا في الكرة؛ أي إنها خط مستقيم يمر بمركز الكرة. ونحن نعلم أن إحداثيات النقطة ﺃ هي صفر، أربعة، أربعة، وإحداثيات المركز ﺟ هي سالب اثنين، سالب واحد، واحد.

ويمكننا تجميع كل هذه المعطيات لإيجاد إحداثيات النقطة ﺏ. أولًا: القطعة المستقيمة ﺃﺟ والقطعة المستقيمة ﺟﺏ كلتاهما نصفا قطر في الكرة. وكلتاهما سيكون لها الطول نق. بعد ذلك، بما أننا نعرف إحداثيات النقطة ﺃ وإحداثيات النقطة ﺟ، يمكننا إيجاد المتجه من ﺃ إلى ﺟ. ويمكننا أيضًا ملاحظة أمر مثير للاهتمام. هذا سيكون تمامًا المتجه نفسه من ﺟ إلى ﺏ؛ لأن كليهما له المعيار نق نفسه، ويشيران إلى الاتجاه نفسه. إذن، دعونا نستخدم هذا لإيجاد إحداثيات النقطة ﺏ. أولًا: علينا إيجاد المتجه ﺃﺟ. وللقيام بذلك، علينا طرح المتجه ﻭﺃ من المتجه ﻭﺟ. وهذا يعطينا المقدار الآتي، ويمكننا طرح كل مركبة من نظيرتها. لنجد أن المتجه ﺃﺟ يساوي سالب اثنين، سالب خمسة، سالب ثلاثة. يمكننا إضافة ذلك إلى الشكل. وتذكر أن المتجه من ﺟ إلى ﺏ يساوي أيضًا المتجه من ﺃ إلى ﺟ.

الآن يمكننا إيجاد إحداثيات النقطة ﺏ بإضافة المتجه ﻭﺟ إلى المتجه ﺃﺟ. وكل ما نقوله هنا هو أنه يمكننا الوصول إلى النقطة ﺏ من المركز بالتحرك على طول المتجه ﺃﺟ. هذا يعطينا أن المتجه ﻭﺏ يساوي المتجه سالب اثنين، سالب واحد، واحدًا زائد المتجه سالب اثنين، سالب خمسة، سالب ثلاثة. ثم نجمع كل مركبة مع نظيرتها للحصول على المتجه ﻭﺏ، وهو يساوي سالب أربعة، سالب ستة، سالب اثنين. لكن تذكر، ليس المطلوب في السؤال هو المتجه ﻭﺏ. المطلوب هو إحداثيات النقطة ﺏ. بالطبع، إحداثيات النقطة ﺏ هي مركبات المتجه ﺏ. وهذا يعطينا النقطة ﺏ، وهي سالب أربعة، سالب ستة، سالب اثنين.

وبذلك، استطعنا أن نوضح أنه إذا كانت ﺃ هي النقطة صفرًا، أربعة، أربعة، وأن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تمثل قطرًا في الكرة، ﺱ زائد اثنين الكل تربيع زائد ﺹ زائد واحد الكل تربيع زائد ﻉ ناقص واحد الكل تربيع يساوي ٣٨، فإن إحداثيات النقطة ﺏ تكون حتمًا سالب أربعة، سالب ستة، سالب اثنين.

دعونا الآن نلق نظرة على النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا: علمنا أن الكرة شكل ثلاثي الأبعاد؛ حيث تكون كل نقطة على الكرة على مسافة محددة مقدارها نق من المركز. ونسمي قيمة نق هذه نصف قطر الكرة. وكما هو الحال في الدائرة، تمكنا من إيجاد معادلة الكرة. تمكنا أيضًا من توضيح أن الكرة التي مركزها النقطة ﺃ، ﺏ‏، ﺟ ونصف قطرها نق، ستكون معادلتها كالآتي. ونسمي هذه المعادلة الصورة القياسية لمعادلة الكرة. المعادلة هي: ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع. وبالنظر إلى الصورة القياسية لمعادلة الكرة، يمكننا إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها.

ولإيجاد مركز الكرة، أسهل طريقة هي إيجاد قيم المتغيرات التي سنعوض بها لجعل كل حد يساوي صفرًا. ولإيجاد نصف قطر هذه الكرة، كل ما علينا فعله هو أخذ الجذر التربيعي للحد للثابت في الطرف الأيسر من المعادلة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.