فيديو السؤال: إيجاد معادلة الخط العمودي على منحنى دالة كثيرة الحدود عند نقطة بمعلومية الإحداثي ﺱ الرياضيات

أوجد معادلة العمودي على المنحنى ﺹ = −٢ﺱ^٣ − ٧ﺱ^٢ + ٢ عند ﺱ = −٢.

٠٧:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة العمودي على المنحنى ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ تكعيب ناقص سبعة ﺱ تربيع زائد اثنين عند ﺱ يساوي سالب اثنين.

لدينا هنا منحنى معرف بواسطة دالة كثيرة حدود مكعبة. وعلينا إيجاد معادلة العمودي على هذا المنحنى عند النقطة التي يكون عندها ﺱ يساوي سالب اثنين. للقيام بذلك، علينا أولًا أن نتذكر ما نعنيه بالعمودي على منحنى عند نقطة وكيفية إيجاد معادلته. سنبدأ باسترجاع معادلة الخط المستقيم. وهي تعطى بالصيغة ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد، حيث ﻡ هو ميل الخط المستقيم، ويمر الخط المستقيم بالنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد. ونحتاج هذه المعادلة لأن العمودي على منحنى عند نقطة ما يكون خطًّا مستقيمًا عموديًّا على المماس عند هذه النقطة.

إذن، لإيجاد معادلة العمودي على المنحنى عند هذه النقطة، علينا فقط إيجاد ميله والنقطة التي يمر بها. لنبدأ بإيجاد النقطة التي يمر بها الخط العمودي. علمنا من السؤال أن هذا هو الخط العمودي على المنحنى عند النقطة حيث ﺱ يساوي سالب اثنين على المنحنى. ومن ثم، لا بد أن يمر الخط العمودي بالنقطة على المنحنى التي يكون عندها ﺱ يساوي سالب اثنين. الإحداثي ﺱ لهذه النقطة هو بالطبع سالب اثنين. ويمكننا إيجاد الإحداثي ﺹ بالتعويض بسالب اثنين في معادلة المنحنى. وبذلك، نحصل على ﺹ واحد يساوي سالب اثنين مضروبًا في سالب اثنين تكعيب ناقص سبعة في سالب اثنين تربيع زائد اثنين. كل ما علينا فعله الآن هو حساب قيمة هذا التعبير. وهذا يعطينا ﺹ واحد يساوي ١٦ ناقص ٢٨ زائد اثنين، وبحساب ذلك، نحصل على سالب ١٠.

بهذا، نكون قد أوجدنا قيمتي ﺹ واحد وﺱ واحد. علينا الآن إيجاد قيمة الميل ﻡ. ولفعل ذلك، نتذكر أن الخط العمودي على المنحنى عند نقطة ما سيكون عموديًّا على مماس هذا المنحنى عند هذه النقطة. لذا، سنفترض أن المنحنى هو ﺹ يساوي دالة ما ﺩﺱ. وهنا، ﺩﺱ سيساوي سالب اثنين ﺱ تكعيب ناقص سبعة ﺱ تربيع زائد اثنين. نحن نعرف كيفية إيجاد ميل المماس عند هذه النقطة. ميل المماس سيكون هو نفس ميل المنحنى عند هذه النقطة. بعبارة أخرى، سيكون هو ﺩ شرطة لسالب اثنين. لكن الخط العمودي لا بد أن يكون عموديًّا على هذا الخط. بمعنى آخر، ﻡ سيساوي سالب واحد مقسومًا على ﺩ شرطة لسالب اثنين.

توجد ملاحظة بسيطة يجدر بنا توضيحها هنا. لن يكون هذا منطقيًّا إذا كان ﺩ شرطة لسالب اثنين يساوي صفرًا. لكن، إذا كان الأمر كذلك، يمكننا فعل شيء مختلف قليلًا. إذا كان ﺩ شرطة لسالب اثنين يساوي صفرًا، فإن هذا يعني أن المماس خط أفقي. ولكي يكون الخط العمودي لدينا عموديًّا على خط أفقي، فسيكون العمودي ببساطة خطًّا رأسيًّا. وفي هذه الحالة، سيكون علينا إيجاد معادلة على الصورة ﺱ يساوي ثابتًا ما ﺃ. لذا، سنحاول الآن إيجاد ميل الخط العمودي ﻡ. نلاحظ أنه علينا إيجاد ﺩ شرطة لسالب اثنين. وهذا يعني أنه علينا أولًا إيجاد تعبير يدل على ﺩ شرطة ﺱ.

لإيجاد ﺩ شرطة ﺱ، علينا أن نتذكر أنها مشتقة الدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهي مشتقة سالب اثنين ﺱ تكعيب ناقص سبعة ﺱ تربيع زائد اثنين بالنسبة إلى ﺱ. سنوجد الآن مشتقة دالة كثيرة الحدود. ويمكننا فعل ذلك حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. سنضرب في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وبذلك، نحصل على ﺩ شرطة ﺱ يساوي سالب ستة ﺱ تربيع ناقص ١٤ﺱ.

نحن الآن مستعدون لإيجاد قيمة ﺩ شرطة لسالب اثنين. تذكر أن هذا هو ميل مماس المنحنى عند النقطة التي يكون عندها ﺱ يساوي سالب اثنين. إذن، سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في تعبير ﺩ شرطة ﺱ. وهذا يعطينا ﺩ شرطة لسالب اثنين يساوي سالب ستة في سالب اثنين تربيع ناقص ١٤ في سالب اثنين. بعد ذلك، نحسب قيمة هذا التعبير. ونجد أن ﺩ شرطة لسالب اثنين يساوي أربعة. يمكننا التعويض بهذه القيمة في التعبير الذي يدل على ﻡ، أو التذكر أنه علينا فقط أخذ سالب مقلوبها. وفي كلتا الحالتين، نحصل على ﻡ يساوي سالب ربع.

والآن بعد أن أوجدنا نقطة على الخط العمودي وميله، علينا فقط التعويض بهاتين القيمتين في معادلة الخط المستقيم. بالتعويض بـ ﺱ واحد يساوي سالب اثنين، وﺹ واحد يساوي سالب ١٠، وﻡ يساوي سالب ربع في معادلة الخط المستقيم، نحصل على ﺹ ناقص سالب ١٠ يساوي سالب ربع مضروبًا في ﺱ ناقص سالب اثنين. ويمكننا تبسيط ذلك. أولًا، ﺹ ناقص سالب ١٠ هو نفسه ﺹ زائد ١٠. وبالمثل، ﺱ ناقص سالب اثنين هو نفسه ﺱ زائد اثنين. يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على ﺹ زائد ١٠ يساوي سالب ربع مضروبًا في ﺱ زائد اثنين.

يمكننا تبسيط ذلك أكثر بتوزيع سالب ربع على القوسين. لكن، بدلًا من ذلك، سنضرب طرفي المعادلة في أربعة. وهذا يعطينا أربعة ﺹ زائد ٤٠ يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺱ زائد اثنين. مرة أخرى، يمكننا توزيع الإشارة السالبة على الأقواس. لكننا سنضيف ﺱ زائد اثنين إلى طرفي المعادلة. وبذلك، نحصل على أربعة ﺹ زائد ٤٠ زائد ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. وأخيرًا، يمكننا تبسيط هذه المعادلة وإعادة ترتيبها لنحصل على أربعة ﺹ زائد ﺱ زائد ٤٢ يساوي صفرًا، وهذه هي الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن معادلة العمودي على المنحنى ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ تكعيب ناقص سبعة ﺱ تربيع زائد اثنين عند النقطة حيث ﺱ يساوي سالب اثنين، تعطى بالمعادلة أربعة ﺹ زائد ﺱ زائد ٤٢ يساوي صفرًا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.