فيديو الدرس: التقارب الشرطي والتقارب المطلق الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية تحديد إذا ما كانت المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا، أو متقاربة تقاربًا شرطيًا، أو متباعدة.

٢٢:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية تحديد إذا ما كانت المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا، أو متقاربة تقاربًا شرطيًا، أو متباعدة.

نعلم أننا عندما نطلق على متسلسلة أنها متقاربة، فهذا يعني أن المجاميع الجزئية تقترب من نهاية معينة. ولكن ما معنى أن تكون المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا؟ نحن نطلق على متسلسلة أنها متقاربة تقاربًا مطلقًا عندما تكون متسلسلة القيم المطلقة متقاربة. وثمة أمر ينبغي علينا ملاحظته وهو أنه إذا كانت ‪𝑎𝑛‬‏ متسلسلة حدودها موجبة، فإن القيمة المطلقة لـ ‪𝑎𝑛‬‏ تساوي ‪𝑎𝑛‬‏. ومن ثم، فإن التقارب المطلق يقتضي وجود تقارب بالأساس.

لنتناول أولًا مثالًا مطلوب فيه تحديد إذا ما كانت المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا أو لا.

المتسلسلة، المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑛‬‏ تربيع، متقاربة تقاربًا مطلقًا؟

تذكر أنه لاختبار التقارب المطلق، علينا أن نتحقق مما إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متقاربة أو لا، أو بعبارة أخرى، هل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑛‬‏ تربيع متقارب أو لا. أولًا، لاحظ أن سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد يساوي دائمًا إما واحدًا وإما سالب واحد، بناء على إذا ما كان الأس زوجيًا أو فرديًا. ومن ثم، إذا حسبنا القيمة المطلقة لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد، فسيكون ذلك واحدًا دائمًا. ونعلم من المعطيات أن ‪𝑛‬‏ يبدأ من واحد إلى ‪∞‬‏. إذن، ‪𝑛‬‏ تربيع يساوي دائمًا قيمة موجبة. ولذا، يمكننا بالفعل إعادة كتابة هذا على الصورة واحد على ‪𝑛‬‏ تربيع.

تذكر أننا نحاول تحديد إذا ما كانت هذه المتسلسلة متقاربة أو متباعدة. ولكننا نعرف أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑛‬‏ تربيع هو متسلسلة معروفة لنا. إنها متسلسلة مقلوب القوى ‪𝑃‬‏. إذن، يمكننا استخدام حقيقة أن متسلسلة ‪𝑃‬‏ تتقارب إذا كان ‪𝑃‬‏ أكبر من واحد وتتباعد إذا كان ‪𝑃‬‏ أقل من أو يساوي واحدًا. ومن ثم، فإننا نلاحظ في هذه المسألة أن هذه متسلسلة ‪𝑃‬‏، و‪𝑃‬‏ يساوي اثنين. ولأن هذا أكبر من واحد، يمكن أن نقول إن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑛‬‏ تربيع متقارب. وبما أننا وجدنا أن متسلسلة القيم المطلقة متقاربة، فالمتسلسلة إذن متقاربة تقاربًا مطلقًا.

من المثير للاهتمام أن أي متسلسلة ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا، ربما لا تزال متقاربة. ونطلق على هذا «التقارب الشرطي». تكون المتسلسلة متقاربة تقاربًا شرطيًا إذا كانت متقاربة ولكنها ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا. بعبارة أخرى، فإن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎𝑛‬‏ يتباعد. ولكن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎𝑛‬‏ يتقارب. وإذا كانت المتسلسلة ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا ولا شرطيًا، فإنها تكون متباعدة.

لنر الآن مثالًا على التقارب الشرطي.

هل المتسلسلة التوافقية التناوبية، المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في واحد على ‪𝑛‬‏، متقاربة تقاربًا مطلقًا، أم متقاربة تقاربًا شرطيًا، أم متباعدة؟

لنتذكر أولًا أن المتسلسلة تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متقاربة. وتكون المتسلسلة متقاربة تقاربًا شرطيًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متباعدة، ولكن المتسلسلة نفسها متقاربة. وبخلاف ذلك، تكون المتسلسلة متباعدة. إذن، لنبدأ باختبار التقارب المطلق. نلاحظ أن سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد يساوي دائمًا واحدًا، وذلك عند حساب القيمة المطلقة. وهذا يساوي فعليًا المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑛‬‏. ولكن هذه متسلسلة معروفة لنا. إنها المتسلسلة التوافقية. ونعرف أن المتسلسلة التوافقية تتباعد. ومن ثم، المتسلسلة التوافقية التناوبية ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا. ولكن، هل هي متقاربة تقاربًا شرطيًا أو متباعدة؟

الخطوة التالية إذن هي اختبار تقارب المتسلسلة التوافقية التناوبية. ولأن هذه متسلسلة تناوبية، يمكننا إجراء اختبار المتسلسلة التناوبية. ينص هذا الاختبار على أنه في حالة المتسلسلة التناوبية، المجموع لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في ‪𝑏𝑛‬‏، إذا كان ‪𝑏𝑛‬‏ يتناقص والنهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لـ ‪𝑏𝑛‬‏ تساوي صفرًا، فإن ‪𝑎𝑛‬‏ يكون متقاربًا. ومن ثم، في المتسلسلة التوافقية التناوبية، يمكننا أن نقول إن ‪𝑏𝑛‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑛‬‏. إذن، هل ‪𝑏𝑛‬‏ يتناقص؟ حسنًا، بما أن ‪𝑛‬‏ يزداد، فإن واحدًا على ‪𝑛‬‏ يتناقص بالفعل. إذن، تحقق هذا الشرط. ولكن، هل قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لـ ‪𝑏𝑛‬‏ تساوي صفرًا؟ حسنًا، قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑛‬‏ تساوي واحدًا على ‪∞‬‏، أي، كما نعلم، تساوي صفرًا. إذن، تحقق هذا الشرط أيضًا. وبما أننا وجدنا أن المتسلسلة التوافقية التناوبية ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا، بل متقاربة، نستنتج أن المتسلسلة التوافقية التناوبية متقاربة تقاربًا شرطيًا.

يمكننا تلخيص خطوات التحقق من التقارب المطلق والتقارب الشرطي والتباعد في رسم توضيحي مساعد. لنفترض أن علينا تحديد إذا ما كانت المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ متقاربة تقاربًا مطلقًا أو متقاربة تقاربًا شرطيًا أو متباعدة. سنبدأ باختبار إذا ما كانت متسلسلة القيم المطلقة متقاربة أو متباعدة. لنفترض أننا وجدنا أن متسلسلة القيم المطلقة متقاربة. إذن، المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ متقاربة تقاربًا مطلقًا. أما إذا وجدنا أن متسلسلة القيم المطلقة متباعدة، فإن المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا. ولكنها ربما لا تزال متقاربة تقاربًا شرطيًا. وفي هذه الحالة، سنجري اختبارًا آخر على المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ للتحقق من تقاربها، وهو اختبار المتسلسلة التناوبية، على سبيل المثال.

إذا وجدنا أن المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ تتقارب، فيمكننا أن نقول إن المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ متقاربة تقاربًا شرطيًا. أما إذا وجدنا أن المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ تتباعد، فإننا نستنتج من ذلك أن المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ متباعدة. ومن ثم، هذه هي الاحتمالات الثلاثة التي يمكننا التوصل إليها.

لنتناول مزيدًا من الأمثلة.

انظر المتسلسلة، المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪sin 𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ تكعيب. حدد إذا ما كانت المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا، أو متقاربة تقاربًا شرطيًا، أو متباعدة.

تذكر أن المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متقاربة. وإذا وجدنا أن المتسلسلة ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا، فربما لا تزال متقاربة تقاربًا شرطيًا. ومن ثم، سنختبر المتسلسلة من حيث تقاربها أو تباعدها. لنبدأ باختبار التقارب المطلق لهذه المتسلسلة. علينا أن نعرف إذا ما كان المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪sin 𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ تكعيب متقاربًا أو متباعدًا.

حسنًا، بما أن ‪𝑛‬‏ يأخذ قيمًا موجبة فقط من واحد إلى ‪∞‬‏، فإن ‪𝑛‬‏ تكعيب سيكون موجبًا دائمًا. ومن ثم، هذا هو المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪sin 𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ تكعيب. نعرف الآن أن ‪sin 𝑛‬‏ سيكون دائمًا بين سالب واحد وواحد. إذن، يمكننا أن نقول إن القيمة المطلقة لـ ‪sin 𝑛‬‏ ستكون دائمًا أقل من أو تساوي واحدًا، ويعنى هذا أنه يمكننا كتابة القيمة المطلقة لـ ‪sin 𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ تكعيب أقل من أو تساوي واحدًا على ‪𝑛‬‏ تكعيب. وكتابتها على هذه الصورة يسمح لنا بإجراء مقارنة مباشرة. تذكر أن هذا يعني أنه إذا كان ‪𝑎𝑛‬‏ أقل من ‪𝑏𝑛‬‏ والمجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑏𝑛‬‏ يتقارب، فإن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎𝑛‬‏ يتقارب أيضًا.

واحد على ‪𝑛‬‏ تكعيب هو متسلسلة تعرفنا عليها من قبل. إنها متسلسلة مقلوب القوى ‪𝑃‬‏، وهي متسلسلة على الصورة: المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑛‬‏ أس ‪𝑃‬‏. تتقارب هذه المتسلسلة إذا كان ‪𝑃‬‏ أكبر من واحد، وتتباعد إذا كان ‪𝑃‬‏ أقل من أو يساوي واحدًا. إذن، واحد على ‪𝑛‬‏ تكعيب هي متسلسلة مقلوب قوى ‪𝑃‬‏، حيث ‪𝑃‬‏ يساوي ثلاثة. ومن ثم، واحد على ‪𝑛‬‏ تكعيب يتقارب. وبالمقارنة المباشرة، نجد أن القيمة المطلقة لـ ‪sin 𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ تكعيب تتقارب أيضًا. وبما أننا وجدنا أن متسلسلة القيم المطلقة متقاربة، فإن المتسلسلة التي هي عبارة عن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪sin 𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ تكعيب متقاربة تقاربًا مطلقًا.

حدد إذا ما كانت المتسلسلة، المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في اثنين على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد، متقاربة تقاربًا مطلقًا، أو متقاربة تقاربًا شرطيًا، أو غير متقاربة على الإطلاق.

أولًا، تذكر أن المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متقاربة. وتكون متقاربة تقاربًا شرطيًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متباعدة. ولكن المتسلسلة نفسها تكون متقاربة. لنحدد أولًا إذا ما كانت هذه المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا أو لا. وهذا يعني اختبار إذا ما كانت المتسلسلة من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في اثنين على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد متقاربة أو متباعدة.

حسنًا، سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد سيكون دائمًا واحدًا أو سالب واحد. ولكن عند حساب القيمة المطلقة، فهذا يساوي واحدًا دائمًا. اثنان على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد يساوي دائمًا قيمة موجبة؛ لأن ‪𝑛‬‏ يأخذ قيمًا موجبة. ومن ثم، نكتب هذا على الصورة: المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لاثنين على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد. إذن، يمكننا استخدام قاعدة الضرب في ثابت لوضع الاثنين أمام المجموع. ومن ثم، علينا تحديد إذا ما كانت هذه المتسلسلة متقاربة أو متباعدة. وإحدى الطرق التي يمكننا من خلالها تحديد هذا هي المقارنة المباشرة مع المتسلسلات التوافقية.

بما أن ‪𝑛‬‏ أكبر من اثنين، فإن واحدًا على ‪𝑛‬‏ أقل من واحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد. ونعرف أنه إذا كان ‪𝑎𝑛‬‏ أقل من ‪𝑏𝑛‬‏ حيث ‪𝑎𝑛‬‏ يتباعد، فإن ‪𝑏𝑛‬‏ يتباعد أيضًا. ونعرف أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑛‬‏ عبارة عن متسلسلة توافقية متباعدة. ومن ثم، فإن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لواحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد يتباعد أيضًا. إذن، وجدنا أن متسلسلة القيم المطلقة تتباعد، وهو ما يعني أن هذه المتسلسلة ليست متقاربة تقاربًا مطلقًا. ولكنها قد تكون متقاربة تقاربًا شرطيًا. علينا إذن اختبار تقارب هذه المتسلسلة نفسها. لنفسح بعض المساحة.

يمكننا أولًا وضع الثابت اثنين أمام المجموع. إذا نظرنا إلى سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد هذا، فهذا يمثل متسلسلة تناوبية حيث تتناوب إشارة الحدود ما بين الموجب والسالب. ومن ثم، يمكننا تحديد إذا ما كانت هذه المتسلسلة متقاربة أو متباعدة باستخدام اختبار المتسلسلة التناوبية. ينص هذا الاختبار على أنه بالنسبة إلى المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏، حيث ‪𝑎𝑛‬‏ يساوي سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في ‪𝑏𝑛‬‏، إذا كان ‪𝑏𝑛‬‏ يتناقص وكانت قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لـ ‪𝑏𝑛‬‏ تساوي صفرًا، فإن المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ تكون متقاربة. إذن في المتسلسلة لدينا، ‪𝑏𝑛‬‏ يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد. ولكن هل ‪𝑏𝑛‬‏ يتناقص؟ حسنًا، كي يتناقص ‪𝑏𝑛‬‏، لا بد أن يكون ‪𝑏𝑛‬‏ أكبر من ‪𝑏𝑛‬‏ زائد واحد.

حسنًا، نلاحظ أنه كلما ازداد ‪𝑛‬‏ بمقدار واحد، ازدادت قيمة الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد. إذن، واحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد سيتناقص. أي إن ‪𝑏𝑛‬‏ يتناقص. ومن ثم، علينا التأكد مما إذا كانت قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لـ ‪𝑏𝑛‬‏ تساوي صفرًا. بعبارة أخرى، هل قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لواحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد تساوي صفرًا؟ حسنًا، الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد يزداد كلما ازدادت قيمة ‪𝑛‬‏. وهذا يساوي واحدًا على ‪∞‬‏. إذن، عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏، فإن واحدًا على الجذر التربيعي لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد يقترب من واحد على ‪∞‬‏. ومن ثم، فإن قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ تساوي صفرًا. إذن، تحقق هذان الشرطان. ومن ثم، تكون هذه المتسلسلة متقاربة.

تذكر أن المتسلسلة تكون متقاربة تقاربًا شرطيًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متباعدة، ولكن المتسلسلة نفسها متقاربة. وهذا بالضبط ما وجدناه في هذه المسألة. إذ إن متسلسلة القيم المطلقة متباعدة. ولكن المتسلسلة نفسها متقاربة. ونستنتج إذن أن هذه المتسلسلة متقاربة تقاربًا شرطيًا.

ولكن، لماذا يعد مهمًا أن نفرق بين المتسلسلات المتقاربة تقاربًا مطلقًا والمتقاربة تقاربًا شرطيًا؟ حسنًا، المتسلسلات غير المنتهية المتقاربة تقاربًا مطلقًا لها بعض الخصائص المماثلة للمجاميع المنتهية. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مجموع منته، فإن إعادة ترتيب الحدود سيعطينا المجموع نفسه دائمًا. وينطبق هذا أيضًا على المتسلسلة المتقاربة تقاربًا مطلقًا. أي إن إعادة الترتيب بأي شكل سيعطينا المجموع نفسه. ولكن هذا لا ينطبق على المتسلسلة المتقاربة تقاربًا شرطيًا. وذلك لأن إعادة ترتيب حدود المتسلسلة سيغير مجاميعها الجزئية. أي إن هذا قد يغير نهاية المجاميع الجزئية إذا كانت إشارة بعض الحدود سالبة. ومن ثم، هذه المشكلة لن تواجهنا مع المتسلسلة المتقاربة تقاربًا مطلقًا. ولكن هذا لا ينطبق بالتأكيد على المتسلسلة المتقاربة تقاربًا شرطيًا.

على سبيل المثال، المتسلسلة التوافقية التناوبية، التي وجدنا أنها متقاربة، قد يتضح أنها تقترب من اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. ولكن إذا أعدنا ترتيب حدود المتسلسلة بحيث يكون كل حد موجب متبوعًا بحدين سالبين، فإن هذا سيغير قيمة المجموع. إذن في المتسلسلات المتقاربة تقاربًا شرطيًا، تغير إعادة الترتيب القيمة النسبية بين الحدود الموجبة والسالبة، وهذا بدوره يغير مجموع المتسلسلة. وفي الحقيقة، يمكننا استخدام هذه الطريقة لإعادة ترتيب متسلسلة متقاربة تقاربًا شرطيًا كي تقترب من أي قيمة نريدها. ولكن، لن نتطرق إلى هذه البراهين بالتفصيل لأنه أمر يقع خارج نطاق الفيديو.

لنلخص بعض النقاط الأساسية. المتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متقاربة. والمتسلسلة ‪𝑎𝑛‬‏ تكون متقاربة تقاربًا شرطيًا إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة متباعدة، ولكن لا تزال المتسلسلة نفسها متقاربة. وأخيرًا، إذا كانت ‪𝑎𝑛‬‏ متسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا ومجموعها ‪𝑠‬‏، فإن إعادة ترتيب حدود ‪𝑎𝑛‬‏ بأي شكل سيعطينا المجموع ‪𝑠‬‏ نفسه.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.