فيديو الدرس: المستقيمات المتوازية والقواطع: الأجزاء المتناسبة

في هذا الفيديو، سوف نستخدم خواص المستقيمات المتوازية والقواطع لإيجاد الطول الناقص لقطعة مستقيمة في مستقيم قاطع مقطوع بخطوط متوازية.

١٨:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنستخدم خواص المستقيمات المتوازية لإيجاد الطول الناقص لقطعة مستقيمة في قاطع مقطوع بخطوط متوازية. لفعل ذلك، دعونا نتعرف على الأجزاء المتناسبة في المستقيمات المتوازية. إنها إحدى خواص المستقيمات المتوازية التي تنص على أنه إذا قطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعين، فإنها تقسم هذين القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. دعونا نر كيف يبدو ذلك. هذه ثلاثة مستقيمات متوازية، وهذان قاطعان. تذكر أن القاطع ما هو إلا مستقيم يقطع مستقيمين آخرين على الأقل.

في هذا الشكل، هذان المستقيمان قاطعان. نلاحظ هنا أن المستقيمات المتوازية الثلاثة التي تقاطعت مع القاطعين تكون أربع قطع مستقيمة مختلفة. وإذا حاولنا إيجاد أطوال هذه القطع المستقيمة، التي أسميناها ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة وﺩ شرطة، فوفقًا لهذه الخاصية يوجد تناسب بين قيم هذه الأطوال. وبذلك، يمكننا القول إن ﺃ شرطة على ﺏ شرطة يساوي ﺟ شرطة على ﺩ شرطة. ويوجد طريقة أخرى لكتابة هذه النسبة. وهي ﺃ شرطة على ﺟ شرطة يساوي ﺏ شرطة على ﺩ شرطة. في كلتا الحالتين، عند إجراء الضرب التبادلي، سنحصل على أن ﺃ شرطة في ﺩ شرطة يساوي ﺏ شرطة في ﺟ شرطة أو ﺟ شرطة في ﺏ شرطة.

علينا أن نعرف هنا أن هذه الخاصية تنطبق أيضًا على المستقيمات في المضلعات. ولكي نرى ذلك، يمكننا تعديل هذا الشكل. لقد عدلنا هذا الشكل ليصبح الآن شبه المنحرف ﺃﺏﺟﺩ . وشبه المنحرف هذا تقطعه القطعة المستقيمة ﻫﻭ. والقطعة المستقيمة ﻫﻭ توازي القطعتين المستقيمتين ﺃﺩ وﺏﺟ في شبه المنحرف. وبذلك، يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﻫﻭ تقسم شبه المنحرف هذا إلى قطع مستقيمة متناسبة، حيث تكون ﺃﻫ متناسبة مع ﻫﺏ، وﺩﻭ متناسبة مع ﻭﺟ.

لنتناول مضلعًا آخر. إذا كان لدينا المثلث الأكبر ﺃﺏﺟ الذي يقطعه مستقيمان متوازيان ﻫﻭ وﺯﺣ، بحيث يوازي المستقيمان المتوازيان الضلع الموجود في المثلث الأكبر ﺟﺏ، فيمكننا أن نقول إن ﺃ شرطة على ﺏ شرطة يساوي ﺟ شرطة على ﺩ شرطة، وهو ما يساوي بدوره ﻫ شرطة على ﻭ شرطة. لدينا أضلاع أطوالها متناسبة ناشئة عن هذين المستقيمين المتوازيين.

وامتدادًا لهذا، توجد خاصية أخرى علينا وضعها في الاعتبار. وهي خاصية القطع المستقيمة المتطابقة في القواطع. إذا قسمت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعًا واحدًا إلى قطع مستقيمة متطابقة، فستقسم هذه المستقيمات أي قاطع آخر إلى قطع مستقيمة متطابقة. ها هي المستقيمات المتوازية الثلاثة، وها هو القاطع. إذا عرفنا أن القطع المستقيمة التي قطعتها المستقيمات المتوازية الثلاثة متطابقة، فبالنسبة لأي قاطع آخر يقطع هذه المستقيمات المتوازية الثلاثة، تكون القطع المستقيمة، التي قطعتها المستقيمات المتوازية، متطابقة.

لكن علينا الانتباه هنا. نقول إن ﺃ شرطة يطابق ﺏ شرطة، وﺟ شرطة يطابق ﺩ شرطة. لكن ذلك لا يعني أن هذه القطعة المستقيمة التي طولها ﺃ شرطة تساوي القطعة المستقيمة التي طولها ﺟ شرطة. بل نقول إن القطع المستقيمة التي تنتمي إلى القاطع نفسه ستكون متطابقة في هذا القاطع، لا متطابقة فيما بين القواطع. والآن، أصبحنا على استعداد لتناول بعض الأمثلة لنرى كيف نستخدم هاتين الخاصيتين.

باستخدام المعلومات التي في الشكل، أوجد طول القطعة المستقيمة ﻫﻑ.

في البداية، يمكننا تحديد القطعة المستقيمة ﻫﻑ. ثم علينا التفكير في المعلومات التي نعرفها بناء من الشكل. في الشكل، لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية. المستقيم ﺃﺩ يوازي المستقيم ﻫﺏ الذي يوازي المستقيم ﻑﺟ. يمكننا أيضًا أن نقول إن المستقيمين ﺩﻑ وﺃﺟ قاطعان للمستقيمات المتوازية الثلاثة. وبناء على ذلك، نعلم أن المستقيمات المتوازية تقسم القاطعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. وذلك يعني أن القطعة المستقيمة ﺩ ﻫ على القطعة المستقيمة ﺃﺏ تساوي القطعة المستقيمة ﻫﻑ على القطعة المستقيمة ﺏﺟ، وفقًا لخواص المستقيمات المتوازية والقواطع. بعد أن توصلنا إلى هذه العبارة، ما علينا سوى التعويض بأطوال القطع المستقيمة الثلاثة التي نعرفها واستخدام هذه المعلومات لإيجاد طول القطعة المستقيمة الرابعة، وهو ما سيبدو هكذا. ‏‏٤٨ على ٤٧ يساوي ﻫﻑ على ١٤١.

نجري بعد ذلك عملية الضرب التبادلي. ‏‏١٤١ في ٤٨ لا بد أن يساوي ٤٧ في ﻫﻑ. ‏‏٦٧٦٨ يساوي ٤٧ﻫﻑ. ثم نقسم كلا طرفي هذه المعادلة على ٤٧، ما يعني أن ١٤٤ يساوي ﻫﻑ. وبذلك، يمكننا أن نقول إن طول القطعة المستقيمة ﻫﻑ لا بد أن يساوي ١٤٤ سنتيمترًا.

في المثال التالي سنتعامل مع قاطعين، لكنهما هذه المرة يتقاطعان مع أربعة مستقيمات متوازية.

في الشكل الآتي، المستقيمات ﻝ واحد، وﻝ اثنان، وﻝ ثلاثة، وﻝ أربعة جميعها متوازية. إذا كان ﺱﻉ يساوي ١٢، وﻉﻥ يساوي ثمانية، وﺃﺏ يساوي ١٠، وﺏﺟ يساوي خمسة، فما طول القطعة المستقيمة ﺟﺩ ؟

أول ما يمكننا فعله هنا هو أخذ المعطيات الواردة في السؤال ووضعها على الشكل. في البداية، نعلم أن المستقيمات من ﻝ واحد إلى ﻝ أربعة جميعها مستقيمات متوازية. وطول القطعة المستقيمة ﺱﻉ يساوي ١٢، وطول القطعة المستقيمة ﻉﻥ يساوي ثمانية، وطول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي ١٠، وطول القطعة المستقيمة ﺏﺟ يساوي خمسة. ‏‏ﺟﺩ هي القطعة المستقيمة التي نريد إيجاد طولها. لكن ثمة أمرًا آخر يجب أن نقوله عن الشكل. وهو أن ﻡ شرطة وﻡ قاطعان. فهما مستقيمان يقطعان كل المستقيمات المتوازية. ونظرًا لأننا نتعامل مع أربعة مستقيمات متوازية ولدينا قاطعان، فإننا نعلم أن القطع المستقيمة في القاطعين ستكون أطوالها متناسبة.

باستخدام خواص المستقيمات المتوازية والقواطع، يمكننا أن نقول إن القطعة المستقيمة ﻉﻥ على القطعة المستقيمة ﺟﺩ تساوي طول القطعة المستقيمة ﺱﻉ. وهنا علينا أن ننتبه. نكتب نسبة للقاطع ﻡ شرطة بين ﻝ واحد وﻝ ثلاثة. وهذا يعني أن القيم المناظرة لهما على المستقيم القاطع ﻡ لا بد أن تكون أيضًا من المستقيم واحد إلى المستقيم ثلاثة. إذن القطعة المستقيمة المتناسبة المناظرة هي من ﺃ إلى ﺟ. وهذا جيد لأنه يمكننا جمع المسافة من ﺃ إلى ﺏ مع المسافة من ﺏ إلى ﺟ لإيجاد المسافة من ﺃ إلى ﺟ، وهي تساوي ١٥.

عندما نعوض بالقيم التي نعرفها، يصبح لدينا ثمانية على القطعة المستقيمة ﺟﺩ يساوي ١٢ على ١٥. لإيجاد قيمة ﺟﺩ ، نجري ضربًا تبادليًا. ثمانية في ١٥ يساوي ١٢ في ﺟﺩ . ‏‏١٢٠ يساوي ١٢ في ﺟﺩ . وإذا قسمنا كلا الطرفين على ١٢، نجد أن ﺟﺩ لا بد أن يساوي ١٠. وبالنظر مرة أخرى إلى الشكل، نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام، وهو أن طول القطعة المستقيمة ﺃﺩ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺟﺩ . ونعلم أنه إذا قسمت مستقيمات متوازية قاطعًا واحدًا إلى قطع مستقيمة متطابقة، فإنها ستقسم جميع القواطع إلى قطع مستقيمة متطابقة. هذا يعني أنه يمكننا القول إن القطعة المستقيمة بين ﻝ ثلاثة وﻝ أربعة على القاطع ﻡ شرطة ستساوي القطعة المستقيمة الواقعة بين ﻝ واحد وﻝ اثنين.

وبذلك يمكننا أن نجد أن ﺱﺹ يساوي ثمانية. ومن ثم، فإن ﺹﻉ يساوي أربعة. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا توضيح أن المسافة بين الخط واحد والخط اثنين تساوي ضعف المسافة بين الخط اثنين والخط ثلاثة، وهو ما ينطبق أيضًا على الخطين ثلاثة وأربعة. لكن بالعودة إلى السؤال، فإن طول القطعة المستقيمة ﺟﺩ يساوي ١٠.

في المثال التالي، سنتناول المستقيمات المتوازية في مضلع، وتحديدًا في مثلث.

إذا كان ﺟﻫ يساوي ﺱ زائد اثنين سنتيمتر، فما قيمة ﺱ؟

في البداية، يمكننا كتابة ﺟﻫ على صورة ﺱ زائد اثنين سنتيمتر على الشكل. بعد ذلك، علينا التفكير فيما نعرفه أيضًا من الشكل. أولًا، نرى أن القطعة المستقيمة ﻫﺩ توازي القطعة المستقيمة ﺟﺏ. بعد ذلك، يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﺃﺏ والقطعة المستقيمة ﺃﺟ هما قاطعان لهذين المستقيمين المتوازيين. بناء على هاتين الحقيقتين، يمكننا أن نستخلص بعض الاستنتاجات. يمكننا أن نقول إن الضلعين المتوازيين ﻫﺩ وﺟﺏ يقسمان هذا المثلث إلى أجزاء متناسبة. ومن ثم، يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﺃﻫ على القطعة المستقيمة ﺃﺩ تساوي القطعة المستقيمة ﺟﻫ على القطعة المستقيمة ﺩ ﺏ، طبقًا لخواص المستقيمات المتوازية والقواطع.

لحل ذلك، يمكننا التعويض بالقيم المعلومة لهذه القطع المستقيمة. ستة على ﺱ زائد اثنين يساوي أربعة على ثمانية. الطريقة الأولى لحل هذه المعادلة هي استخدام الضرب التبادلي. فنقول إن ستة في ثمانية يساوي أربعة في ﺱ زائد اثنين. ومن ثم، فإن ٤٨ يساوي أربعة في ﺱ زائد اثنين. وإذا قسمنا طرفي المعادلة على أربعة، فسنجد أن ١٢ يساوي ﺱ زائد اثنين. ثم نطرح اثنين من طرفي المعادلة، ونجد أن ﺱ يساوي ١٠. لقد ذكرت أن هذه إحدى طرق الحل. وذلك لأننا إذا فكرنا في التناسب، مع العلم بأن المستقيمين المتوازيين يقسمان هذه القطع المستقيمة إلى أجزاء متناسبة، فإننا نلاحظ أن طول القطعة المستقيمة ﺩ ﺏ ضعف طول القطعة المستقيمة ﺃﺩ .

ولكي تكون جميع القطع المستقيمة ذات أطوال متناسبة، فإن هذا يعني أن الأمر نفسه ينطبق على المستقيم الآخر. هذا يعني أن ﺱ زائد اثنين لا بد أن يساوي ستة في اثنين، وهو ما يوضح لنا مرة أخرى أن طول الضلع ﺟﻫ يجب أن يساوي ١٢، ومن ثم فإن ﺱ زائد اثنين يجب أن يساوي ١٢. إذن، مرة أخرى، ﺱ يساوي ١٠.

في المثال الأخير، لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية تتقاطع مع قاطعين، لكن لدينا متغيران علينا إيجاد قيمهما.

في الشكل المعطى، أوجد قيمتي ﺱ وﺹ.

أول ما علينا فعله هو تحديد ما يخبرنا به الشكل. أولًا، نلاحظ أن المستقيم ﻁﻡ يوازي المستقيم ﻙﺵ الذي يوازي المستقيم ﻝﻱ. ويمكننا القول إن المستقيم ﻁﻝ والمستقيم ﻡﻱ هما قاطعان لهذه المستقيمات الثلاثة المتوازية. كما نلاحظ أن طول القطعة المستقيمة ﻡﺵ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺵﻱ. يمكننا من هذه المعلومات أن نستخلص بعض الاستنتاجات. أولًا، بما أن هذين القاطعين قطعتهما مستقيمات متوازية، فإن أطوال القطع المستقيمة الناشئة على القاطعين متناسبة. وثانيًا، بما أننا نعلم أن القطع المستقيمة في أحد القاطعين متطابقة، فنقول إذن إن القطع المستقيمة في القاطع الآخر ستكون متطابقة أيضًا.

يمكننا أن نقول إن ﻁﻙ لا بد أن تساوي ﻙﻝ أيضًا لأنهما قطعتان مستقيمتان قطعتهما مستقيمات متوازية. هذا يعني أنه يمكننا تكوين معادلتين. فيمكننا كتابة المعادلة ﻁﻙ يساوي ﻙﻝ، والمعادلة الأخرى هي ﻡﺵ يساوي ﺵﻱ. فنقول إن ستة ﺱ ناقص ٢٠ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثمانية، وخمسة ﺹ ناقص ٢٥ يساوي ثلاثة ﺹ ناقص سبعة. في المعادلة الأولى، نطرح أربعة ﺱ من كلا الطرفين، فنحصل على اثنين ﺱ ناقص ٢٠ يساوي سالب ثمانية. نضيف ٢٠ إلى كلا الطرفين. ومن ثم، فإن اثنين ﺱ يساوي ١٢. نقسم كلا الطرفين على اثنين، لنجد أن ﺱ يساوي ستة.

يمكننا التعويض بهذه القيمة في التعبيرين. إذن، ستة ﺱ ناقص ٢٠ يساوي ١٦، وأربعة ﺱ ناقص ثمانية يساوي ١٦ أيضًا. باتباع الخطوات نفسها لإيجاد قيمة ﺹ، نطرح ثلاثة ﺹ من كلا طرفي المعادلة. إذن، اثنان ﺹ ناقص ٢٥ يساوي سالب سبعة. نضيف ٢٥ إلى كلا الطرفين، فنجد أن اثنين ﺹ يساوي ١٨. بقسمة كلا الطرفين على اثنين، نجد أن ﺹ يساوي تسعة. إذا عوضنا بهاتين القيمتين مرة أخرى في التعبيرين، نجد أن خمسة ﺹ ناقص ٢٥ يساوي ٢٠، وثلاثة ﺹ ناقص سبعة يساوي ٢٠، ويعني هذا أنه يمكننا القول إن القيمتين اللتين تجعلان هذين التعبيرين صحيحين هما ﺱ يساوي ستة وﺹ يساوي تسعة.

في النهاية، دعونا نلق نظرة على النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. الخاصية الأولى للمستقيمات المتوازية التي رأيناها هي أنه إذا تقاطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر مع قاطعين، فإنها تقسم المستقيمين القاطعين إلى أجزاء متناسبة. تنطبق هذه الخاصية أيضًا على المستقيمات المتوازية والقواطع في المضلعات. وأخيرًا، عرفنا خاصية القطع المستقيمة المتطابقة التي تنتمي للقواطع، وهي تنص على أنه إذا قسمت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعًا واحدًا إلى قطع مستقيمة متطابقة، فإنها ستقسم جميع القواطع الأخرى إلى قطع مستقيمة متطابقة أيضًا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.