فيديو السؤال: إيجاد تعبير يدل على قوة تؤثر على جسم ذي كتلة متغيرة بمعلومية تعبير كل من الكتلة والإزاحة باعتبارهما دوال في الزمن الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

تحرك جسم في خط مستقيم. عند اللحظة ﻥ ثانية، كانت إزاحة الجسم من نقطة ثابتة تعطى بالعلاقة ﻑ تساوي ستة ﻥ تربيع زائد تسعة ﻥ متر. وكانت كتلة الجسم تتغير مع الزمن؛ حيث ﻙ تساوي ثمانية ﻥ زائد تسعة كيلوجرامات. اكتب تعبيرًا يدل على القوة المؤثرة على الجسم عند اللحظة ﻥ.

لدينا هنا تعبير يدل على إزاحة الجسم من نقطة ثابتة وكتلته. قد نفكر عادة في استخدام الصيغة: القوة تساوي الكتلة في العجلة، لإيجاد تعبير يدل على القوة. لكن المشكلة هنا أن كتلة الجسم تتغير مع الزمن. وبالتالي، لا يمكننا استخدام تلك الصيغة. وبما أن الكتلة تعتمد على الزمن؛ أي إنها دالة في المتغير ﻥ، فعلينا استخدام صيغة مختلفة. بدلًا من ذلك، سنعيد ترتيب قانون نيوتن الثاني ونضيف حدًا لمراعاة كمية الحركة التي تدخل النظام أو تخرج منه. ومن ثم، سنجد أن ﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻙ على ﺩﻥ؛ أي مشتقة الكتلة بالنسبة إلى الزمن، زائد ﻙ في ﺩﻉ على ﺩﻥ؛ أي مشتقة ﻉ بالنسبة إلى الزمن.

كيف يمكننا إذن إيجاد تعبيرين يدلان على ﻉ وﺩﻉ على ﺩﻥ؟ حسنًا، لدينا في المعطيات الإزاحة ﻑ تساوي ستة ﻥ تربيع زائد تسعة ﻥ. ويمكننا الحصول على معلومتين من هذا المعطى. فإننا نعلم أن السرعة هي معدل تغير الإزاحة بالنسبة إلى الزمن. بعبارة أخرى، إنها مشتقة ﻑ بالنسبة إلى ﻥ. يمكننا بعد ذلك اشتقاق دالة السرعة بالنسبة إلى الزمن. وفي الواقع، سيساعدنا ذلك في الحصول على دالة تعبر عن العجلة. دعونا إذن نشتق ستة ﻥ تربيع زائد تسعة ﻥ بالنسبة إلى الزمن، ونتذكر أنه يمكننا بالطبع اشتقاق كل حد على حدة.

عند اشتقاق ستة ﻥ تربيع، نضرب الحد بأكمله في الأس ونطرح واحدًا من هذا الأس. وعليه، نحصل على اثنين في ستة ﻥ، وهو ما يساوي ١٢ﻥ. ثم عند اشتقاق تسعة ﻥ، نحصل على تسعة. يمكننا تكرار هذه العملية لإيجاد ﺩﻉ على ﺩﻥ، وهو بالطبع ما يساوي العجلة. هنا مشتقة ١٢ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ١٢ فقط. بينما مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا. إذن، ﺩﻉ على ﺩﻥ؛ أي ﺟ، يساوي ١٢.

حسنًا، نعلم أيضًا أن الكتلة موضحة بالعلاقة ثمانية ﻥ زائد تسعة كيلوجرامات، وعلينا إيجاد ﺩﻙ على ﺩﻥ. وكما فعلنا من قبل، سنشتق كل حد على حدة. مشتقة ثمانية ﻥ تساوي ثمانية، بينما مشتقة تسعة تساوي صفرًا. ومن ثم، نجد أن ﺩﻙ على ﺩﻥ يساوي ثمانية. والآن، القوة تساوي ﻉ في ﺩﻙ على ﺩﻥ. هذا يساوي ١٢ﻥ زائد تسعة في ثمانية. نضيف بعد ذلك حاصل ضرب ﻙ؛ أي ثمانية ﻥ زائد تسعة، في ﺩﻉ على ﺩﻥ؛ أي ١٢. وبذلك، نجد أن ﻕ تساوي ١٢ﻥ زائد تسعة في ثمانية زائد ثمانية ﻥ زائد تسعة في ١٢.

مهمتنا التالية هي توزيع القوسين. ‏‏١٢ﻥ في ثمانية يساوي ٩٦ﻥ ، وتسعة في ثمانية يساوي ٧٢. وبتوزيع القوس الثاني، سنحصل مرة أخرى على ٩٦ﻥ زائد ١٠٨. يمكننا تبسيط ذلك إلى ١٩٢ﻥ زائد ١٨٠. وفي الواقع، إننا نستخدم وحدات المتر والكيلوجرام والثانية. إذن، وحدة قياس القوة هي النيوتن. وبذلك، نجد أن ﻕ تساوي ١٩٢ﻥ زائد ١٨٠ نيوتن.