نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين، 𝐀 و𝐁. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب 𝐀 مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في 𝐁.
يتمحور هذا السؤال حول حاصل الضرب الاتجاهي. لدينا شكل يوضح المتجهين المسميين 𝐀 و𝐁. ونعلم من المعطيات أن طول ضلع كل مربع في الشبكة يساوي واحدًا. ومطلوب منا بعد ذلك حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁 لهذين المتجهين.
دعونا نبدأ بكتابة المتجهين في الصورة المركبة. لإجراء ذلك، علينا إيجاد المركبتين 𝑥 و𝑦 لكل متجه من الشكل. هيا نضف المحور 𝑥 والمحور 𝑦 إلى الشكل لجعل هذه العملية أكثر وضوحًا. نلاحظ أن المتجه 𝐀 يمتد بمقدار أربع وحدات في الاتجاه الموجب لـ 𝑥 وبمقدار أربع وحدات في الاتجاه السالب لـ 𝑦. إذا تذكرنا أن 𝐢 هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑥، وأن 𝐣 هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑦، فيمكننا كتابة أن المتجه 𝐀 يساوي المركبة 𝑥 أربعة مضروبة في 𝐢 زائد المركبة 𝑦 سالب أربعة مضروبة في 𝐣. أو يمكننا ببساطة كتابة ذلك على صورة أربعة 𝐢 ناقص أربعة 𝐣.
بالنسبة للمتجه 𝐁، نلاحظ أنه يمتد بمقدار خمس وحدات في الاتجاه السالب لـ 𝑥، وبمقدار وحدة واحدة في الاتجاه السالب لـ 𝑦. لذا يمكننا كتابة أن 𝐁 يساوي المركبة 𝑥 سالب خمسة مضروبة في 𝐢 زائد المركبة 𝑦 سالب واحد مضروبة في 𝐣، وهو ما يمكننا كتابته أيضًا على صورة سالب خمسة 𝐢 ناقص 𝐣.
والآن أصبح لدينا تعبيران لكل من المتجهين 𝐀 و𝐁 في الصورة المركبة. يطلب منا السؤال حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁. لذا دعونا نسترجع تعريف الضرب الاتجاهي لمتجهين. لنعرف متجهين عامين يقعان في المستوى 𝑥𝑦 ونرمز لهما بحرف 𝐚 صغير وحرف 𝐛 صغير. وقد استخدمنا الأحرف الصغيرة لتمييز هذه الحالة العامة عن المتجهين المحددين المذكورين بالسؤال.
يمكننا كتابة هذين المتجهين العامين في الصورة المركبة، ونميز مركبتي 𝑥 بالرمز 𝑥، ومركبتي 𝑦 بالرمز 𝑦. بعد ذلك، يعرف حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐚 في 𝐛 بأنه يساوي المركبة 𝑥 للمتجه 𝐚 مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐛 ناقص المركبة 𝑦 للمتجه 𝐚 مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐛 الكل مضروب في 𝐤، وهو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑧.
يمكننا استخدام هذا التعريف لحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين من السؤال 𝐀 و𝐁 بحرفين كبيرين. سيكون من المهم هنا تتبع كل الإشارات السالبة في المركبات خلال حساباتنا. مطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁. إذن، الحد الأول هو المركبة 𝑥 للمتجه 𝐀، التي تساوي أربعة، مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐁، التي تساوي سالب واحد. ثم سنطرح من ذلك الحد الثاني. الحد الثاني هو المركبة 𝑦 للمتجه 𝐀، التي تساوي سالب أربعة، مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐁، التي تساوي سالب خمسة. بعد ذلك، سنضرب الكل في متجه الوحدة 𝐤.
هذا الحد الأول، أربعة في سالب واحد، يعطينا سالب أربعة. والحد الثاني، سالب أربعة في سالب خمسة، يعطينا موجب 20. لكن تذكر أننا نطرح هذا الحد الثاني من الحد الأول. إذن، لدينا سالب أربعة ناقص 20 الكل مضروب في 𝐤. بطرح 20 من سالب أربعة، نحصل على إجابة السؤال، وهي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁 يساوي سالب 24 𝐤.
