فيديو السؤال: حل المتباينات التربيعية الرياضيات

حل المتباينة ﺱ^٢ − ﺱ − ١٢ < ٠.

٠٤:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

حل المتباينة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ١٢ أصغر من صفر.

هذه متباينة تربيعية لأننا نريد إيجاد متى يكون التعبير التربيعي أقل من الصفر. عند حل المتباينات التربيعية، أول ما علينا فعله هو تمثيل الدالة التربيعية بيانيًّا. للتمثيل البياني خاصيتان من شأنهما مساعدتنا في حل هذه المتباينة: أولًا، الجزءان المقطوعان من المحور ﺱ في التمثيل البياني، أي النقطتان اللتان يتقاطع عندهما منحنى الدالة مع المحور ﺱ، واتجاه المنحنى عندما يمر عند هذين الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ.

أولًا، دعونا نوجد الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ. الجزءان المقطوعان من المحور ﺱ في التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ هما قيم ﺱ التي يكون عندها ﺩﺱ يساوي صفرًا. في هذه المسألة، الدالة ﺩﺱ التي نمثلها بيانيًّا، تساوي ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ١٢. يمكننا تحليل الطرف الأيمن بمجرد النظر. وبذلك نجد أن الحلين هما ﺱ يساوي أربعة وﺱ يساوي سالب ثلاثة. وهذان هما الجزءان المقطوعان من المحور ﺱ في التمثيل البياني. من ثم، سنحددهما على المحور ﺱ.

نعرف أن المنحنى يمر بهاتين النقطتين. لكن في أي اتجاه يمر؟ المنحنى الذي لدينا هو منحنى تربيعي. لذا، فهو على صورة قطع مكافئ. ويوجد بالأساس احتمالان لكيفية مرور هذا القطع المكافئ بهاتين النقطتين. فهو قطع مكافئ مفتوح لأعلى أو مفتوح لأسفل.

كيف يمكننا تحديد أي الاحتمالين صحيح؟ ننظر إلى الحد ﺱ تربيع ونلاحظ أن معامله يساوي واحدًا، أي عدد موجب. ومن ثم، فإن القطع المكافئ يكون مفتوحًا لأعلى. هذا هو شكل المنحنى إذن. ويمكننا إضافة خصائص أخرى إليه، مثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ أو رأس المنحنى. لكننا لسنا بحاجة إلى ذلك، كما سيتضح.

دعونا نركز مرة أخرى على المتباينة. كيف سيساعدنا هذا التمثيل البياني في حل المتباينة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ١٢ أقل من صفر؟ حسنًا، ﺩﺱ أقل من صفر عند جميع قيم ﺱ التي يكون عندها التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ أسفل المحور ﺱ. ويمكننا الآن فهم سبب اختيارنا لهاتين الخاصيتين المهمتين. لأنهما الخاصيتان اللتان تتيحان لنا أن نحدد بدقة متى يقع منحنى الدالة أسفل المحور ﺱ.

سنميز الآن الجزء الذي يقع أسفل المحور ﺱ من المنحنى. ونفكر في قيم ﺱ التي يصبح عندها هذا المنحنى أسفل المحور ﺱ. ولأننا أوجدنا الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ على التمثيل البياني وحددناهما، يمكننا ببساطة تحديد ذلك. يقع منحنى ﺩﺱ أسفل المحور ﺱ عندما يقع ﺱ بين سالب ثلاثة وأربعة. ونستخدم علامة أقل من وليس علامة أقل من أو يساوي لأن طرفي الفترة سالب ثلاثة وأربعة ليسا حلًّا للمتباينة، ومن ثم يجب عدم تضمينهما.

بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا أن نرى أن ﺩ لسالب ثلاثة يساوي صفرًا وليس أقل من صفر. وينطبق الأمر نفسه على ﺩ لأربعة. وهذه هي الطريقة التي نكتب بها الحل باستخدام رموز المتباينة. لكن يمكننا أيضًا كتابة ذلك باستخدام رموز الفترة.

نكتب أن ﺱ هو أحد عناصر الفترة من سالب ثلاثة إلى أربعة. وفي هذه الحالة، نستخدم قوسًا مفتوحا وليس قوسًا مغلقا لنفس السبب الذي نستخدم من أجله علامات أقل من وليس علامات أقل من أو يساوي في ترميز المتباينة لتوضيح أن الطرفين سالب ثلاثة وأربعة غير متضمنين في هذه الفترة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.