فيديو الدرس: معامل ارتباط الرتب لسبيرمان الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان. لا بد أنك تعرف مفهوم الارتباط بالفعل. وتعرف أن معامل ارتباط جداء عزم بيرسون (معامل ارتباط بيرسون) يشير إلى وجود علاقة خطية بين متغيرين كميين، أي عدديين، وكذلك يشير إلى قوة هذه العلاقة واتجاهها. لكن لا يمكن حساب معامل بيرسون إلا للبيانات الكمية. أما إذا كانت البيانات التي لدينا غير عددية، أي وصفية أو نوعية، ولها ترتيب أو رتبة، فلن يكون بإمكاننا استخدام معامل ارتباط بيرسون، ولكن يمكننا استخدام معامل ارتباط الرتب لسبيرمان.

في هذا الفيديو، سوف نرى كيف يمكننا حساب معامل ارتباط سبيرمان باستخدام الصيغة، وكيف نحدد ما إذا كان هناك ارتباط بين مجموعات أزواج البيانات ونوع هذا الارتباط. وتكون هذه البيانات ثنائية المتغيرات. يمكننا أيضًا حساب معامل ارتباط سبيرمان للبيانات العددية. وسيفيدنا ذلك تحديدًا إذا كان هناك مثلًا بعض القيم المتطرفة في مجموعة البيانات لدينا.

تذكر أنه عند تمثيل أزواج البيانات العددية على مخطط الانتشار، فإننا نبحث عن العلاقة بين المتغيرين. إذا كانت لدينا علاقة خطية، يمكننا استخدام معامل ارتباط جداء عزم بيرسون لتحديد قوة العلاقة واتجاهها. إننا نعلم أنه إذا كان معامل الارتباط قريبًا من موجب واحد، يكون لدينا ارتباط طردي قوي أو موجب بين المتغيرين. وإذا كان ﺭ قريبًا من سالب واحد، فسيكون لدينا ارتباط عكسي قوي أو سالب. وإذا كان ﺭ يساوي صفرًا، فلن يكون لدينا ارتباط. وإذا كانت العلاقة غير خطية، فلا يمكننا استخدام معامل ارتباط بيرسون. تذكر أن معامل ارتباط بيرسون يأخذ القيم من سالب واحد إلى موجب واحد.

كما ذكرنا بالنسبة للبيانات ذات الرتبة أو المرتبة، يقع معامل الارتباط بين موجب واحد وسالب واحد. لكن تفسير هذا مختلف قليلًا. إذا كان معامل ارتباط سبيرمان قريبًا من واحد أو إذا كان واحدًا بالضبط، فسيكون لدينا توافق أو ارتباط تام بين الرتب. وإذا كان ﺭ يساوي صفرًا، فإن هذا يعني عدم وجود توافق أو ارتباط بين رتب البيانات الثنائية المتغيرات. وإذا كان ﺭ يساوي سالب واحد، فسيكون لدينا ارتباط متضاد أو عكسي تام بين رتب البيانات الثنائية المتغيرات.

لاحظ أيضًا أنه في بعض الأحيان يشار إلى معامل ارتباط الرتب لسبيرمان باستخدام 𝜌. وهو الحرف اليوناني 𝜌. عند حساب معامل سبيرمان، إذا لم تكن البيانات مرتبة بالفعل، فستكون الخطوة الأولى هي ترتيبها. وبعد ذلك نوجد الفرق بين رتب المتغيرين، أي ﻑ، لكل زوج بيانات. بعد ذلك، علينا تربيع هذه الفروق، وحساب مجموعها. وإذا كان ﻥ هو عدد قيم البيانات الثنائية المتغيرات، فسيصبح لدينا بالتالي عدد ﻥ من الفروق المربعة.

استعن بهذه الصيغة وما تعرفه عن القيم المحتملة لمعامل الرتب لسبيرمان، وهو أن سالب واحد أصغر من أو يساوي ﺭ الأصغر من أو يساوي واحدًا لحل هذا السؤال؛ صواب أم خطأ: عندما تكون رتبة كل عنصرين متناظرين في مجموعتي البيانات ﺱ وﺹ متطابقة، فإن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان يساوي واحدًا؟ حسنًا، نحن نعلم أننا نستخدم معامل ارتباط الرتب لسبيرمان لتحديد العلاقة بين ترتيب البيانات الثنائية المتغيرات أو رتبتها، فإذا كان معامل الارتباط يساوي واحدًا، فسيكون لدينا ارتباط تام أو توافق تام. لذا دعونا نفكر في ذلك من خلال هذا المثال.

افترض أن الحكمين ﺱ وﺹ يرتبان خمس كعكات من الأفضل، وهو رقم واحد، إلى الأسوأ، وهو رقم خمسة. ولنفترض أن ترتيب الحكمين متطابق تمامًا. عند حساب الفروق بين الرتب نجد أن جميع الفروق تساوي صفرًا، وذلك لتطابق ترتيب الحكمين. وعليه، فإن مربع كل الفروق سيساوي صفرًا.

تذكر أن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان يساوي واحدًا ناقص ستة في مجموع الفروق المربعة على ﻥ في ﻥ تربيع ناقص واحد. في هذا المثال، مربع كل فرق يساوي صفرًا. وعليه، فإن مجموع الفروق المربعة يساوي صفرًا أيضًا. أي إن البسط في هذه الصيغة سيكون صفرًا. لدينا هنا خمس كعكات، إذن ﻥ يساوي خمسة. وعليه، فإن معامل الارتباط يساوي واحدًا ناقص ستة في صفر على خمسة في خمسة تربيع ناقص واحد. وبما أن الحد الثاني يساوي صفرًا، لأن أي قيمة مضروبة في صفر تساوي صفرًا، فإن معامل الارتباط يساوي واحدًا.

في هذا المثال، حيث تتطابق رتب المجموعتين، فإن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان يساوي واحدًا. لكن إذا فكرنا بصورة عامة، فسنجد أن الفرق بين كل زوج من البيانات يساوي رتبته بالنسبة لـ ﺹ مطروحة من رتبته بالنسبة لـ ﺱ. وإذا تطابقت الرتبتان، فإن الفرق بينهما سيساوي صفرًا بالطبع. وإذا كان ﻑ تربيع يساوي صفرًا لكل رتبتين، فإن مجموع ﻑ تربيع سيساوي صفرًا أيضًا. وإذا كان مجموع ﻑ تربيع، أي مجموع الفروق المربعة يساوي صفرًا، فإن الحد الثاني سيكون دائمًا صفرًا.

عندما يكون الحد الثاني صفرًا، فإن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان لا بد أن يساوي واحدًا. إذن العبارة: «إذا كانت رتبة كل عنصرين متناظرين في مجموعتي البيانات ﺱ وﺹ متطابقة، فإن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان يساوي واحدًا» هي عبارة صحيحة. في هذا المثال، استخدمنا بيانات لها رتبة بالفعل. لكن في أغلب الأحيان، نبدأ بمجموعة بيانات ثنائية المتغيرات، ويكون علينا تحديد رتب البيانات بأنفسنا.

صواب أم خطأ: عندما يساوي معامل ارتباط الرتب لسبيرمان لمجموعتي بيانات واحدًا، فإن هذا يعني أن نقاط البيانات تقع بالضبط على خط مستقيم؟

إننا نعلم أنه عندما يساوي معامل ارتباط الرتب لسبيرمان واحدًا، يكون لدينا توافق تام بين رتب البيانات. وعندما يكون معامل ارتباط الرتب لسبيرمان مساويًا لواحد، فإن الحد الذي يتضمن مجموع الفروق المربعة يجب أن يساوي صفرًا. حسنًا، دعونا نلق نظرة على هذا المثال. لنفترض أن لدينا الوقت الذي استغرقه خمسة طلاب في إجراء اختبار بالدقائق، ولدينا أيضًا درجاتهم بالنسبة المئوية. سنرتب الوقت والدرجات وفق رتب معينة؛ بحيث تكون رتبة أقل وقت وأقل درجة واحدًا، ورتبة أعلى وقت وأعلى درجة خمسة. وإذا حسبنا الفروق بين الرتب، فإن كل فرق سيساوي صفرًا؛ لأن هناك توافقًا تامًّا بين الرتب.

والآن، عند تربيع كل فرق، سنجد أنه يساوي صفرًا؛ وذلك لأن صفرًا تربيع يساوي صفرًا. وعليه، فإن مجموع الفروق المربعة يساوي صفرًا أيضًا. بالتعويض بذلك في الصيغة لدينا، نجد أن مجموع ﻑ تربيع يساوي صفرًا، أي إن الحد الثاني يساوي صفرًا كما هو متوقع. والآن، لنفترض أننا سنمثل البيانات الأصلية على مخطط الانتشار. يمكننا أن نلاحظ من مخطط الانتشار أنه على الرغم من أن معامل ارتباط سبيرمان يساوي واحدًا، فإن نقاط البيانات نفسها لا تقع على خط مستقيم تمامًا. وهذا يعني أن العبارة خطأ. بشكل عام، حقيقة أن رتب البيانات متساوية تعني أنها ستقع على خط مستقيم تمامًا عند تمثيلها. ولكن ليس بالضرورة أن ينطبق هذا على البيانات الأصلية.

هيا نتناول الآن مثالًا حول كيفية حساب معامل ارتباط سبيرمان لبعض البيانات الكمية الثنائية المتغيرات.

أوجد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بين سعر المنتج وعمره الافتراضي باستخدام البيانات المعطاة. قرب إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.

لدينا جدول به العمر الافتراضي بالسنوات، والسعر بالجنيه. ومطلوب منا إيجاد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بين أزواج البيانات. إننا نستخدم كلمة «أزواج»؛ لأن كل زوج من البيانات يشير منفردًا إلى منتج واحد، فعلى سبيل المثال يبلغ سعر المنتج الذي عمره الافتراضي عام واحد ٧٩ جنيهًا. لكي نتمكن من استخدام الصيغة التي نعرفها لحساب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان، علينا معرفة عدد أزواج البيانات ﻥ. وعلينا أيضًا معرفة الفروق بين رتب كل أزواج البيانات، ثم حساب مجموع الفروق المربعة.

وبما أن بيانات العمر الافتراضي مرتبة تتابعيًّا بالفعل، أي إنها تبدأ من واحد إلى ستة دون حذف، فهذا يعني أن بيانات العمر الافتراضي لها رتب. ومن ثم، يمكننا ببساطة استخدام البيانات نفسها كرتبة. لكن دعونا نكتب ذلك مرة أخرى في صف جديد ليكون واضحًا. بعد ذلك، علينا تحديد رتب بيانات السعر. علمًا بأن السعر المنخفض تناظره رتبة منخفضة للعمر الافتراضي، يمكننا أن نبدأ تحديد رتب السعر من واحد أيضًا؛ بحيث تكون رتبة السعر ٧٩ هي الرتبة الأولى. ويأتي بعد ذلك السعر ١٠٣ جنيهات في الرتبة الثانية. السعر الثالث هو ١٠٥، ويأتي في الرتبة الثالثة، وهكذا بحيث يأتي ١٢٥ في الرتبة الرابعة، و١٦٠ جنيها في الرتبة الخامسة، و٢١٤ جنيها في الرتبة السادسة.

الخطوة التالية هي إيجاد الفرق بين رتبتي كل زوج من البيانات. سنطرح رتبة السعر من رتبة العمر الافتراضي، ليصبح لدينا في العمود الأول واحد ناقص واحد يساوي صفرًا. وبالنسبة للعمر الافتراضي خمس سنوات والسعر ١٦٠ جنيهًا، لدينا خمسة ناقص خمسة يساوي صفرًا. بعد ذلك، أربعة ناقص أربعة يساوي صفرًا، واثنان ناقص ثلاثة يساوي سالب واحد، وستة ناقص ستة يساوي صفرًا، وثلاثة ناقص اثنين يساوي موجب واحد. العملية الحسابية التالية هي حساب مربعات الفروق بين الرتب، لدينا هنا صفر تربيع يساوي صفرًا، ونكمل هكذا بالنسبة لباقي الفروق. سنستخدم الآن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان، لذا علينا أن نعرف مجموع مربعات الفروق، أي صفر زائد صفر زائد صفر زائد واحد زائد صفر زائد واحد، وهو ما يساوي اثنين.

تجدر الإشارة هنا إلى أن مجموع الفروق بين الرتب يساوي صفرًا، ويجب أن يكون هذا هو الحال دائمًا. في هذه المسألة، لدينا صفر زائد صفر زائد صفر زائد سالب واحد زائد صفر زائد موجب واحد، وهو ما يساوي صفرًا. لاستخدام صيغة معامل ارتباط الرتب، علينا أيضًا معرفة عدد أزواج البيانات؛ حيث لدينا هنا ستة أزواج من البيانات، إذن ﻥ يساوي ستة.

دعونا نفرغ بعض المساحة هنا، فنحن لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لاستخدام هذه الصيغة، إذن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان لهذه البيانات يساوي واحدًا ناقص ستة في اثنين الكل على ستة في ستة تربيع ناقص واحد. وهذا يساوي واحدًا ناقص ١٢ على ستة في ٣٥، ستة في ٣٥ يساوي ٢١٠، وهو ما يساوي تقريبًا واحدًا ناقص ٠٫٠٥٧١٤. يوضح هذا أن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان يساوي تقريبًا ٠٫٩٤٢٨٦. إذن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان لهذه البيانات هو ٠٫٩٤٢٩ لأقرب أربع منازل عشرية. وبما أن هذه القيمة قريبة جدًّا من موجب واحد، يمكننا تفسير ذلك على أنه ارتباط طردي قوي بين العمر الافتراضي للمنتج بالسنوات وسعره بالجنيهات. وهذا يعني أنه كلما ارتفع سعر المنتج، زاد عمره الافتراضي.

ومن الجدير بالملاحظة أنه إذا كان المعامل سالب ٠٫٩٤٢٩، فسيكون تفسيرنا العكس تمامًا. ففي تلك الحالة، يمكننا القول إنه كلما زاد سعر المنتج، قل عمره الافتراضي. وستظل العلاقة قوية؛ لأن سالب ٠٫٩٤٢٩ قريب جدًّا من سالب واحد. لكن في هذه الحالة، سيكون الارتباط عكسيًّا. في كثير من الأحيان عندما تكون لدينا بيانات ثنائية المتغيرات نرغب في إيجاد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان لها، نجد أن لدينا رتبًا مرتبطة.

هذا يحدث عند تحديد رتب البيانات. فإذا تطابقت نقطتا بيانات أو أكثر، فإن رتبها عندئذ تساوي متوسط ترتيبها في القائمة المرتبة. لنفترض على سبيل المثال أن لدينا مجموعة بيانات للمتغير ﺱ، وبها القيم ٢٠ و٣٠ و٢٠ و١٠ وخمسة. بترتيب البيانات من الأصغر إلى الأكبر، نلاحظ أن العدد خمسة هو أصغر قيمة، ومن ثم يأخذ الرتبة واحد. الأكبر منه مباشرة هو العدد ١٠، ولذلك رتبته هي اثنان.

نجد بعد ذلك أن لدينا قيمتين تساويان ٢٠، فإن القيمة ٢٠ تحتل المكانين الثالث والرابع في القائمة المرتبة. لذلك نأخذ متوسط ترتيب المكانين اللذين تحتلهما القيمتان ٢٠. وهذا يساوي ثلاثة زائد أربعة مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي ٣٫٥، وبذلك يحتل العددان ٢٠ الرتبة ٣٫٥. وبما أن المكانين الثالث والرابع قد شغلا الآن، فإن آخر عنصر في البيانات لدينا سوف يحتل المكان الخامس.

دعونا نر كيفية تطبيق ذلك من خلال مثال.

يمثل الجدول قدرة الخرج وقطر الدوار لعدة مروحيات. أوجد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان، وقرب الناتج لأقرب أربع منازل عشرية.

لدينا هنا مجموعة من أزواج البيانات حول قدرة الخرج وقطر الدوار لبعض المروحيات. ونستخدم مصطلح «أزواج البيانات» لأن كل زوج من البيانات خاص بمروحية واحدة. على سبيل المثال، المروحية التي تبلغ قدرة خرجها ١٢١٨ كيلووات يبلغ قطر دوارها ١٠٫٢ أمتار. ولحساب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان، سنستخدم الصيغة التي نعرفها. في هذه الصيغة، ﻥ هو عدد أزواج البيانات. وﻑ هو الفرق بين رتبتي كل زوج؛ حيث نوجد مربع كل فرق ثم نحسب مجموع هذه الفروق المربعة.

أول ما علينا فعله هو تحديد رتب لعناصر مجموعتي البيانات. ولفعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة. عند ترتيب قدرات الخرج، يمكننا أن نبدأ من أقل قدرة خرج أو أعلاها. فهذا لن يحدث فرقًا في معامل ارتباط سبيرمان، بشرط أن نلتزم بالطريقة نفسها عند تحديد رتب أقطار الدوارات. حسنًا، دعونا نبدأ بأقل قدرة خرج، وهي ٩٤٤، وستحتل الرتبة رقم واحد. ولتجنب الخلط فيما بعد، سنشطب على هذا العدد. قدرة الخرج التالية هي ١٢١٨، لذا يمكننا شطب هذا العدد ومنحه الرتبة الثانية. العدد التالي هو ١٨٦٤، وهو ما يمكننا منحه الرتبة الثالثة. ويأتي العدد ٣٣٢٤ في الرتبة الرابعة، و٣٥٥٢ في الرتبة الخامسة، و٣٧٥٨ في الرتبة السادسة، وأكبر قدرة خرج هي ٤٦٦٩، وستكون في الرتبة السابعة.

والآن بالنسبة لأقطار الدوارات، أقل قيمة هي ١٠٫٢ أمتار. يتكرر هذا العدد مرتين، إذن لدينا رتب مرتبطة في المكان الأول. إحصائيًّا، هذا يعني أننا سنأخذ متوسط رتبتي المكانين اللذين تشغلهما نقطتا البيانات. إنهما تشغلان المكان الأول والمكان الثاني، إذن رتبتا نقطتي البيانات بالقيمة ١٠٫٢ تساويان واحدًا زائد اثنين على اثنين. أي رتبتي المكانين الأول والثاني على اثنين، وهو ما يساوي ١٫٥، إذن رتبة قطري الدوار البالغين ١٠٫٢ أمتار هي ١٫٥. ويمكننا الآن شطب هذين العددين.

القيمة الثالثة هي ١٤، لذا يمكننا شطبها. وبما أن القيمتين ١٠٫٢ تشغلان المكانين الأول والثاني، ستشغل هذه القيمة الرتبة الثالثة. القيمة التالية هي ١٦٫٢ وتشغل الرتبة الرابعة، تليها ١٦٫٣ في الرتبة الخامسة، ثم ١٧٫٧ في الرتبة السادسة، وأخيرًا ١٨٫٥٩ في الرتبة السابعة.

والآن، لاستخدام هذه الصيغة علينا حساب مربع الفرق بين رتبتي كل زوج بيانات. دعونا أولًا نوجد الفروق بين الرتب. لنفعل ذلك، سنطرح رتبة القطر من رتبة القدرة لكل زوج، ليصبح لدينا في عمود البيانات الأول اثنان ناقص ١٫٥ وهو ما يساوي ٠٫٥، أما في العمود التالي فيكون لدينا ثلاثة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا، ثم واحد ناقص ١٫٥ وهو ما يساوي سالب ٠٫٥. ولدينا أيضًا سبعة ناقص سبعة يساوي صفرًا، وخمسة ناقص أربعة يساوي واحدًا، وأربعة ناقص خمسة يساوي سالب واحد، وستة ناقص ستة يساوي صفرًا.

خطوتنا التالية هي حساب مربع هذه الفروق. في العمود الأول، ٠٫٥ تربيع يساوي ٠٫٢٥. وفي عمود البيانات الثاني، صفر تربيع يساوي صفرًا. في العمود الثالث، سالب ٠٫٥ تربيع يساوي ٠٫٢٥. وفي العمود الرابع، صفر تربيع يساوي صفرًا. أما في العمود الخامس، واحد تربيع يساوي واحدًا. ثم في العمود السادس، سالب واحد تربيع يساوي واحدًا. وفي العمود الأخير، صفر تربيع يساوي صفرًا.

بالنظر إلى الصيغة، نجد أن علينا حساب مجموع الفروق المربعة. وهذا يساوي ٠٫٢٥ زائد صفر زائد ٠٫٢٥ زائد صفر زائد واحد زائد واحد زائد صفر، وهو ما يساوي ٢٫٥. وقبل أن نستخدم الصيغة، دعونا نتأكد من أن مجموع الفروق يساوي صفرًا كما يجب. لدينا ٠٫٥ زائد صفر زائد سالب ٠٫٥ زائد صفر زائد واحد زائد سالب واحد زائد صفر، وهذا يساوي صفرًا بالفعل.

لدينا هنا سبعة أزواج من البيانات، أي إن ﻥ يساوي سبعة. إذن معامل ارتباط الرتب لسبيرمان يساوي واحدًا ناقص ستة في ٢٫٥ على سبعة في سبعة تربيع ناقص واحد. وهذا يساوي واحدًا ناقص ١٥ على ٣٣٦. إذا أجريت هذه العملية على الآلة الحاسبة، فمن المهم أن تفصل الواحد عن الكسر. ولفعل ذلك، نحسب ١٥ مقسومًا على ٣٣٦، وهذا يساوي ٠٫٠٤٤٦٤. إذن، معامل ارتباط الرتب لسبيرمان لهذه البيانات هو ٠٫٩٥٥٤ لأقرب أربع منازل عشرية.

سنختتم هذا الفيديو بالإشارة إلى بعض النقاط الأساسية. يمكن إيجاد معامل ارتباط الرتب لسبيرمان للبيانات المرتبة الثنائية المتغيرات. وهو يأخذ القيم من سالب واحد إلى موجب واحد. اقتراب ﺭ من موجب أو سالب واحد يعني وجود ارتباط طردي أو عكسي قوي، ويجب أن يكون مجموع الفروق بين الرتب صفرًا دائمًا.