فيديو الدرس: مشتقات الدوال ذات القيم المتجهة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مشتقات الدوال ذات القيم المتجهة، ونوجد متجهات الوحدة المماسية.

١٥:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول كيف يمكننا استخدام فهمنا لحساب التفاضل والتكامل لإيجاد مشتقة دالة متجهة في بعدين أو ثلاثة أبعاد. وأيضًا سنلقي نظرة على كيفية إيجاد مشتقة حاصل الضرب القياسي والاتجاهي لدالتين متجهتين، وإيجاد متجهات الوحدة المماسية، كما سنتناول المشتقات ذات الرتب العليا لهذه الدوال.

نوجد المشتقة ‪𝑟‬‏ شرطة لدالة متجهة، ‪𝑟‬‏، بالطريقة نفسها تقريبًا التي نستخدمها لإيجاد الدوال ذات القيم الحقيقية. فهي النهاية عندما يقترب ‪ℎ‬‏ من الصفر لـ ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ زائد ‪ℎ‬‏ ناقص ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ على ‪ℎ‬‏، بافتراض أن النهاية موجودة. ولكن ماذا يعني هذا فعليًا؟ نعلم أنه بإمكاننا إيجاد الفرق بين متجهين ببساطة من خلال إيجاد الفرق بين مركباتهما. فإذا كان المتجه ‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ و‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، فإن ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ زائد ‪ℎ‬‏ ناقص ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ زائد ‪ℎ‬‏ ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ زائد ‪ℎ‬‏ ناقص ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، و‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ زائد ‪ℎ‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏.

نعلم أيضًا أنه بإمكاننا قسمة متجه على مقدار ثابت بقسمة كل مركبة على هذا الثابت. وبالطبع، ‪ℎ‬‏ هو نفسه ثابت. وهذا أمر جيد لأنه يعني أنه بإمكاننا إيجاد مشتقة دالة متجهة باشتقاق كل مركبة من مركباتها.

بعبارة أخرى، إذا كانت ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ دالة متجهة وتساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ و‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ حيث ‪𝑓‬‏ و‪𝑔‬‏ و‪ℎ‬‏ دوال قابلة للاشتقاق، فإن ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ و‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ و‪ℎ‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏. نلاحظ أيضًا أنه إذا كانت ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ مساوية للصفر، فإن ‪ℎ‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ تساوي صفرًا. وتنطبق هذه الطريقة تمامًا على الدوال المتجهة في فضاء ثنائي الأبعاد أيضًا. لنلق نظرة على مثال.

أوجد مشتقة الدالة ذات القيمة المتجهة ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ تساوي واحدًا زائد ‪𝑡‬‏ تكعيب ‪𝑖‬‏ زائد خمسة ‪𝑡‬‏ تربيع زائد واحد ‪𝑗‬‏ زائد ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد اثنين ‪𝑘‬‏.

تذكر، يمكننا إيجاد مشتقة الدالة ذات القيم المتجهة باشتقاق كل مركبة من مركباتها. هذا يعني أننا سنشتق واحدًا زائد ‪𝑡‬‏ تكعيب وخمسة ‪𝑡‬‏ تربيع زائد واحد و‪𝑡‬‏ تكعيب زائد اثنين كل على حدة بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. لنتذكر أيضًا أنه لاشتقاق حدود دالة كثيرة الحدود، نضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. مشتقة واحد هي صفر، ومشتقة ‪𝑡‬‏ تكعيب هي ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع. وباشتقاق مركبة ‪𝑖‬‏ نحصل على ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع.

بعد ذلك، نشتق مركبة ‪𝑗‬‏. هذا يعطينا ‪10𝑡‬‏ زائد صفر، أي ببساطة ‪10𝑡‬‏. وأخيرًا، نشتق ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد اثنين بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. بالطبع، مشتقة هذا الثابت هي صفر، ومن ثم نجد أن مشتقة ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد اثنين هي ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع زائد صفر، أو ببساطة ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع. إذن، مشتقة ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ هي ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع ‪𝑖‬‏ زائد ‪10𝑡 𝑗‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع ‪𝑘‬‏.

هذه عملية مباشرة تمامًا. وبالطبع، تنطبق عليها القواعد القياسية للاشتقاق. يمكننا كذلك استخدام قاعدة السلسلة وقاعدة حاصل الضرب وقاعدة خارج القسمة إلى جانب النتائج القياسية لاشتقاق الدوال الخاصة، مثل الدوال المثلثية والدوال اللوغاريتمية. وبناء عليه، فمن خلال هذه المعلومات سنكون قادرين على إيجاد معادلات الخطوط المماسية لمنحنيات هذه الدوال. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

أوجد قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑠‬‏ وأوجد الصيغة المتجهة لمعادلة خط المماس عند ‪𝑓‬‏ لصفر؛ حيث ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑠‬‏ يساوي ‪𝑠‬‏ زائد واحد و‪𝑠‬‏ تربيع زائد واحد و‪𝑠‬‏ تكعيب زائد واحد.

في هذا السؤال، معطى لدينا قاعدة لـ ‪𝑓‬‏ بدلالة الإحداثيات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏. يمكننا بدلًا من ذلك أن نعتبرها دالة ذات قيم متجهة بحيث يكون المتجه ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑠‬‏ مساويًا لـ ‪𝑠‬‏ زائد واحد، ‪𝑠‬‏ تربيع زائد واحد، ‪𝑠‬‏ تكعيب زائد واحد، حيث ‪𝑠‬‏ زائد واحد هي المركبة ‪𝑖‬‏ و‪𝑠‬‏ تربيع زائد واحد هي المركبة ‪𝑗‬‏ و‪𝑠‬‏ تكعيب زائد واحد هي المركبة ‪𝑘‬‏.

تذكر أنه لإيجاد مشتقة دالة ذات قيم متجهة، نشتق كل مركبة من مركباتها. هذا يعني أننا سنشتق كلًا من ‪𝑠‬‏ زائد واحد و‪𝑠‬‏ تربيع زائد واحد و‪𝑠‬‏ تكعيب زائد واحد، على حدة بالنسبة لـ ‪𝑠‬‏. وهذا يعطينا واحدًا واثنين ‪𝑠‬‏ وثلاثة ‪𝑠‬‏ تربيع على الترتيب. بكتابة ذلك في صورة قاعدة بدلالة الإحداثيات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏، نجد أن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑠‬‏ تساوي واحدًا واثنين ‪𝑠‬‏ وثلاثة ‪𝑠‬‏ تربيع.

ما زال علينا إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة خط المماس عند ‪𝑓‬‏ لصفر. لنتذكر أن الخط الذي يمر بالنقطة ‪𝑥‬‏ صفر، ‪𝑦‬‏ صفر، ‪𝑧‬‏ صفر ومتجه اتجاهه ‪𝑣‬‏ يعطى بالمعادلة ‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑟‬‏ صفر زائد ‪𝑡‬‏ في ‪𝑣‬‏. إذن سنحتاج إلى أمرين، نقطة يمر بها الخط واتجاه امتداد هذا الخط. يمكننا إيجاد اتجاه امتداده بحساب قيمة المشتقة عندما تكون قيمة المتغير، ‪𝑠‬‏، مساوية للصفر. لنعوض بقيمة ‪𝑠‬‏ تساوي صفرًا في المشتقة. هذا يعطينا واحدًا، صفرًا، صفرًا أو واحدًا ‪𝑖‬‏ زائد صفر ‪𝑗‬‏ زائد صفر ‪𝑘‬‏.

يمكننا أيضًا إيجاد النقطة التي يمر بها خط المماس بالتعويض بـ ‪𝑠‬‏ يساوي صفرًا في الدالة الأصلية. وهذا يساوي ‪𝑓‬‏ لصفر. بذلك، نجد أن ‪𝑓‬‏ لصفر تساوي صفرًا زائد واحد، صفر زائد واحد، صفر زائد واحد. وهذا يساوي واحدًا، واحدًا، واحدًا. وبذلك، فإن الصورة المتجهة لمعادلة خط المماس عند ‪𝑓‬‏ لـ صفر، ولنطلق عليه ‪𝐿‬‏، هي واحد، واحد، واحد، زائد ‪𝑡‬‏ في واحد، صفر، صفر.

قد يطلب منا في بعض الحالات إيجاد متجه الوحدة المماسي لخط. لنعد إلى المثال السابق. سوف نبدأ بالطريقة نفسها.

إذ نبدأ بحساب المشتقة الأولى. ‏‏‪‏𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑠‬‏. وهي تساوي واحدًا، اثنين ‪𝑠‬‏، ثلاثة ‪𝑠‬‏ تربيع. ثم نوجد مقدار هذه المشتقة. وهو يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات. إذن، فهو الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد اثنين ‪𝑠‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑠‬‏ تربيع، الكل تربيع. وهو ما يساوي الجذر التربيعي لواحد زائد أربعة ‪𝑠‬‏ تربيع زائد تسعة ‪𝑠‬‏ أس أربعة. متجه الوحدة المماسي هو المشتقة الأولى مقسومة على مقدار هذه المشتقة. وهذا يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لواحد زائد أربعة ‪𝑠‬‏ تربيع زائد تسعة ‪𝑠‬‏ أس أربعة، واثنين ‪𝑠‬‏ على هذا الجذر، وثلاثة ‪𝑠‬‏ تربيع على هذا الجذر أيضًا.

حسنًا، كل شيء جيد حتى الآن. نحن نعرف كيف نوجد مشتقة دالة ذات قيمة متجهة، وكيف نوجد معادلة خط المماس ومتجه الوحدة المماسي. لكن ماذا لو كنا نتعامل مع حاصل ضرب قياسي أو اتجاهي لدالتين من الدوال ذات القيم المتجهة؟ صيغة الاشتقاق للدوال ذات القيم الحقيقية لها صيغ مناظرة للدوال ذات القيم المتجهة.

افترض أن ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ دالتان متجهتان قابلتان للاشتقاق. يمكننا القول بأن مشتقة حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ تساوي حاصل الضرب القياسي ‪𝑢‬‏ شرطة و‪𝑣‬‏ زائد حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ شرطة. وبالمثل، فإن مشتقة حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ تساوي حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝑢‬‏ شرطة و‪𝑣‬‏ زائد حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ شرطة. كذلك يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة ‪𝑢‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. وهي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ في ‪𝑢‬‏ شرطة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. لنلق نظرة على أحد الأمثلة العملية.

احسب مشتقة حاصل الضرب القياسي لـ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ و‪𝑠‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ للدالتين بالقيمتين المتجهتين ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ تساوي ‪sin 𝑡𝑖‬‏ زائد ‪cos 𝑡𝑗‬‏، و‪𝑠‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ تساوي ‪cos 𝑡𝑖‬‏ زائد ‪sin 𝑡𝑗‬‏. يمكننا الاستفادة من قاعدة حاصل الضرب التي نعرفها جيدًا في هذه الحالة، ونقول إنه للدالتين بالقيمتين المتجهتين ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ تكون مشتقة حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ مساوية لحاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑢‬‏ شرطة و‪𝑣‬‏ زائد حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ شرطة. في هذه الحالة، يمكننا القول بأن مشتقة حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑟‬‏ و‪𝑠‬‏ تساوي حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑟‬‏ شرطة و‪𝑠‬‏ زائد حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑟‬‏ و‪𝑠‬‏ شرطة.

إذن، لنبدأ بحساب ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ و‪𝑠‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏، مع الانتباه إلى أنه لاشتقاق دالة ذات قيمة متجهة، فإننا نشتق كل مركبة من مركباتها. في حالة ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏، سنشتق ‪sin 𝑡‬‏ و‪cos 𝑡‬‏. مشتقة ‪sin 𝑡‬‏ هي ‪cos 𝑡‬‏، ومشتقة ‪cos 𝑡‬‏ هي سالب ‪sin 𝑡‬‏. وهكذا نجد أن ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ تساوي ‪cos 𝑡𝑖‬‏ ناقص ‪sin 𝑡𝑗‬‏. لاشتقاق ‪𝑠‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، نشتق ‪cos 𝑡‬‏ و‪sin 𝑡‬‏. وهذا يعطينا سالب ‪sin 𝑡𝑖‬‏ زائد ‪cos 𝑡𝑗‬‏.

بعد ذلك، سنوجد حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ و‪𝑠‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. وهو ‪cos 𝑡‬‏ في ‪cos 𝑡‬‏، أي ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد سالب ‪sin 𝑡‬‏ مضروبًا في ‪sin 𝑡‬‏. هذا يعطينا سالب ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏. يمكننا إعادة كتابة ذلك ببساطة على النحو ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. لنوجد حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ و‪𝑠‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏. وهو ‪sin 𝑡‬‏ في سالب ‪sin 𝑡‬‏، أي سالب ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد ‪cos 𝑡‬‏ في ‪cos 𝑡‬‏. وهذا يساوي ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ أيضًا. نلاحظ أن هذا المقدار يساوي سالب ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏، وهذا يساوي ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ كذلك.

مشتقة حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑟‬‏ و‪𝑠‬‏ هو مجموع هذه المقادير. إنه ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ زائد ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏، وهو ما يساوي اثنين ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. من المفيد أن نعرف أننا سنحصل على الإجابة نفسها بحساب حاصل الضرب القياسي ثم إيجاد مشتقة الناتج. لنتأكد من هذا. حاصل ضرب ‪𝑟‬‏ و‪𝑠‬‏ يساوي ‪sin 𝑡‬‏ في ‪cos 𝑡‬‏ زائد ‪cos 𝑡‬‏ في ‪sin 𝑡‬‏. سنوجد مشتقة ‪sin 𝑡 cos 𝑡‬‏ زائد ‪cos 𝑡 sin 𝑡‬‏.

بتطبيق قاعدة حاصل الضرب على ‪sin 𝑡 cos 𝑡‬‏ ثم ‪cos 𝑡 sin 𝑡‬‏، نحصل على سالب ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد سالب ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏. وكل من هذه المقادير يساوي ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. إذن، مرة أخرى، نجد أن مشتقة حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝑟‬‏ و‪𝑠‬‏ تساوي اثنين ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏.

في المثال الأخير، سنتناول كيفية إيجاد المشتقة الثانية لدالة ذات قيم متجهة.

أوجد مشتقة الدالة ذات القيمة المتجهة ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ تساوي ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡𝑖‬‏ ناقص ‪cos 𝑡𝑗‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑡𝑘‬‏.

تذكر أننا نوجد مشتقة الدوال ذات القيم المتجهة باشتقاق كل مركبة من مركباتها. هذا يعني أنه بإمكاننا إيجاد المشتقة الأولى، ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏، باشتقاق ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ وسالب ‪cos 𝑡‬‏ و‪𝑒‬‏ أس ‪𝑡‬‏ كل على حدة بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. مشتقة ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ هي اثنان ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. ومشتقة سالب ‪cos 𝑡‬‏ هي ‪sin 𝑡‬‏. ومشتقة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑡‬‏ بسيطة للغاية. فهي تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑡‬‏. إذن، فقد أوجدنا ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏، أو المشتقة الأولى.

نريد الآن إيجاد المشتقة الثانية. وهي مشتقة المشتقة. هذا يعني أنه بإمكاننا استخدام الطريقة نفسها لإيجادها، باشتقاق ‪𝑟‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏. وهذا يعني أنه بإمكاننا اشتقاق كل مركبة على حدة مرة أخرى. نشتق اثنين ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ و‪sin 𝑡‬‏ و‪𝑒‬‏ أس ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. ومشتقة اثنين ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ هي سالب أربعة ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. مشتقة ‪sin 𝑡‬‏ هي ‪cos 𝑡‬‏. ومشتقة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑡‬‏ هي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑡‬‏. إذن على الصورة المتجهة، تكون المشتقة الثانية للدالة ذات القيمة المتجهة هي سالب أربعة ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡𝑖‬‏ زائد ‪cos 𝑡𝑗‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس ‪‪𝑡𝑘‏‬‏‬‏.

في هذا الفيديو، تعلمنا كيفية إيجاد مشتقة دالة ذات قيمة متجهة باشتقاق كل مركبة من مركباتها. وعرفنا أنه بإمكاننا استخدام معادلة خط معطاة على الصورة المتجهة لإيجاد المعادلة المتجهة لخط المماس للدالة عند نقطة، وأنه بإمكاننا إيجاد متجه الوحدة المماسي بقسمة دالة المشتقة على مقدار المشتقة. وأخيرًا، رأينا أنه بإمكاننا تطبيق القواعد المعتادة لاشتقاق الدوال ذات القيم الحقيقية على الدوال ذات القيم المتجهة، كما أوضحنا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.