فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين نقطتين بمعلومية إحداثياتهما في الفضاء الثلاثي الأبعاد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المسافة بين النقطتين ﺃ وإحداثياتها سالب سبعة، ١٢، ثلاثة، وﺏ التي إحداثياتها سالب أربعة، سالب واحد، سالب ثمانية. لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام صيغة حساب المسافة بين نقطتين اختياريتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد.

‏ﻡ التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد؛ وﻥ التي إحداثياتها ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، ﻉ اثنان؛ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين تربيع زائد ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين تربيع. وهذا يشبه إلى حد كبير صيغة حساب المسافة في الفضاء الثنائي الأبعاد. الفرق الوحيد أنه في الفضاء الثلاثي الأبعاد يكون لدينا أيضًا الإحداثي ﻉ؛ أي لدينا حد يتضمن قيمًا للإحداثي ﻉ في هذه الصيغة.

بالتعويض بقيم الإحداثيات، نحصل على سالب سبعة ناقص سالب أربعة تربيع زائد ١٢ ناقص سالب واحد تربيع زائد ثلاثة ناقص سالب ثمانية تربيع. نجد أن سالب سبعة ناقص سالب أربعة يساوي سالب ثلاثة، و١٢ ناقص سالب واحد يساوي ١٣، وثلاثة ناقص سالب ثمانية يساوي ١١.

إذن، المسافة تساوي الجذر التربيعي لتسعة زائد ١٦٩ زائد ١٢١، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٩٩ وحدة طول. وبالنظر إلى تحليل العوامل الأولية للعدد ٢٩٩، نجد أنه يساوي ١٣ في ٢٣. نلاحظ أنه لا يمكننا تبسيط هذا الجذر أكثر من ذلك، ومن ثم فهذه هي إجابتنا النهائية. إذن، كل ما فعلناه هو مجرد تطبيق الصيغة، لكن من أين أتت هذه الصيغة؟ لن أستنتج الصيغة العامة؛ بل سأحل المسألة دون استخدام الصيغة العامة.

لكن اتضح أنه يمكن تعميم الحل بسهولة لإيجاد الصيغة العامة للمسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد. لقد رسمت شكلًا يشبه إلى حد كبير المستوى الإحداثي الثنائي الأبعاد، ولكنه في الواقع فضاء ثلاثي الأبعاد فيه المحور ﻉ عمودي على الشاشة باتجاهك من نقطة الأصل.

في هذا التمثيل للفضاء الثلاثي الأبعاد، لا يمكنك رؤية المحور ﻉ، لكن ثق أنه موجود هنا. لقد حددت النقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب سبعة، ١٢، ثلاثة؛ وحددت أيضًا النقطة المساعدة ﻡ وإحداثياتها سالب أربعة، سالب واحد، ثلاثة.

لاحظ أن النقطة ﻡ ليست هي النقطة ﺏ؛ فعلى الرغم من أن قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ متساويتان في كل منهما، فإن قيمة الإحداثي ﻉ هنا تساوي ثلاثة وليست سالب ثمانية. لكن لها نفس قيمة الإحداثي ﻉ مثل النقطة ﺃ؛ إذن، تقع كلتا النقطتين في المستوى الذي معادلته ﻉ يساوي ثلاثة.

يمكننا إضافة نقطة مساعدة أخرى، ﻥ، إحداثياتها سالب سبعة، سالب واحد، ثلاثة. وتقع في نفس المستوى كالنقطتين الأخريين، وهو ﻉ يساوي ثلاثة. كما أن لها نفس قيمة الإحداثي ﺱ مثل النقطة ﺃ. الفرق الوحيد بين النقطتين ﺃ وﻥ هو إحداثيا ﺹ: قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة ﺃ تساوي ١٢، بينما قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة ﻥ تساوي سالب واحد. ومن ثم، للانتقال من ﺃ إلى ﻥ، عليك التحرك ١٣ وحدة في الاتجاه المعاكس للمحور ﺹ؛ إذن، المسافة بين ﺃ وﻥ تساوي ١٣ وحدة طول.

وبالمثل، نلاحظ أن الانتقال من ﻥ إلى ﻡ يتطلب التحرك ثلاث وحدات في اتجاه المحور ﺱ. وبالطبع فإن الزاوية التي تتكون عند ﻥ هي زاوية قائمة؛ تذكر أننا نتعامل في المستوى الذي معادلته ﻉ يساوي ثلاثة؛ إذن، هذه الزاوية قائمة فعلًا وليس مجرد أنها تبدو كزاوية قائمة، وهذا يرجع إلى الطريقة التي رسمنا بها الفضاء الثلاثي الأبعاد. وباستخدام نظرية فيثاغورس، نلاحظ أن المسافة من ﺃ إلى ﻡ تساوي الجذر التربيعي لـ ١٧٨ وحدة طول.

بالطبع، هذه هي الإجابة نفسها التي سنحصل عليها إذا استخدمنا صيغة حساب المسافة في الفضاء الثنائي الأبعاد وتجاهلنا الإحداثي الثالث، الإحداثي ﻉ. هذا رائع، لكننا لا نبحث عن المسافة من ﺃ إلى ﻡ؛ وإنما نريد إيجاد المسافة من ﺃ إلى ﺏ. إذا كنت تذكر، فإن المحور ﻉ عمودي على الشاشة باتجاهنا مباشرة. ومن ثم، فإن النقطة ﺏ التي لها نفس قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ للنقطة ﻡ، لكن قيمة الإحداثي ﻉ لها مختلفة، ستشغل الموضع نفسه للنقطة ﻡ في تمثيلنا الثنائي الأبعاد للفضاء الثلاثي الأبعاد.

وبالطبع كما ذكرنا سابقًا، فهي لا تقع في نفس موضع ﻡ. في الواقع، هي تبعد مسافة ثلاثة ناقص سالب ثمانية من الوحدات في اتجاه المحور ﻉ. إذا رسمنا الآن تمثيلًا آخر للفضاء الثلاثي الأبعاد — في هذا التمثيل لا يمكنك رؤية المحور ﺱ، لأنه يسقط عموديًّا إلى داخل الشاشة مبتعدًا عنا، محددًا النقاط ﺃ وﻡ وﺏ‏ في هذا الشكل — يمكننا أن نلاحظ أن ﺏ وﻡ ليستا متماثلتين بالتأكيد. وفي الواقع، بسبب أن النقطتين ﻥ وﻡ لهما نفس قيمتي الإحداثيين ﺹ وﻉ، إذا حددنا النقطة ﻥ في هذا الشكل، فسيبدو أن ﻥ تقع في نفس موضع ﻡ.

للانتقال من ﺏ إلى ﻡ، عليك التحرك ١١ وحدة في اتجاه ﻉ، لذا فالمسافة من ﺏ إلى ﻡ تساوي ١١. يمكننا أيضًا كتابة طول الضلع الذي أوجدناه باستخدام الشكل الأيمن؛ ويساوي الجذر التربيعي لـ ١٧٨ وحدة طول. علينا أن ننتبه هنا، لأننا إذا نظرنا فقط إلى الشكل الأيسر، فقد نعتقد أن الفرق الوحيد بين ﺃ وﻡ هو قيمة الإحداثي ﺹ، وعندئذ يكون طول الضلع ﺃﻡ يساوي ١٢ ناقص سالب واحد، ما يساوي ١٣.

لكن بالطبع قيمتي الإحداثي ﺱ مختلفتان أيضًا. لكن بسبب أن المحور ﺱ يسقط عموديًّا على الشاشة، لا يمكننا رؤية ذلك بسهولة. ما يصعب ملاحظته هنا هو أن الزاوية عند ﻡ زاوية قائمة. هذه الأشكال الثنائية الأبعاد في بعض الأحيان قد تمثل الزوايا الثلاثية الأبعاد تمثيلًا غير صحيح، لكن في هذه الحالة الزاوية هنا قائمة فعلًا، ويمكننا إثبات ذلك باستخدام المتجهات، على سبيل المثال.

لكن بعد أن اقتنعنا بهذه الحقيقة، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس. طول الضلع ﺃﺏ، وهو المسافة بين ﺃ وﺏ، يساوي الجذر التربيعي لـ ١١ تربيع زائد الجذر التربيعي لـ ١٧٨ تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١٢١ زائد ١٧٨، ويساوي الجذر التربيعي لـ ٢٩٩ وحدة طول، كما توصلنا من قبل.

من الشائع أن نوجد المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد. فالفضاء الثلاثي الأبعاد هو الفضاء الذي نعيش فيه. ومن ثم، بدلًا من إجراء هذه العملية في كل مرة تريد فيها إيجاد المسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد، من المنطقي أن نفعل ذلك مرة واحدة فقط في الحالة العامة، وأن نستنتج صيغة يمكننا التعويض فيها بالقيم بعد ذلك عند الحاجة.