تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: نقطة تقاطع خطين مستقيمين على المستوى الإحداثي الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد نقطة التقاطع بين خطين مستقيمين على النظام الإحداثي.

١٣:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد نقطة التقاطع بين خطين مستقيمين على النظام الإحداثي. وسنستخدم هذا المفهوم لإيجاد معادلتين لمستقيمين.

دعونا نبدأ بالتفكير فيما نعنيه بنقطة تقاطع مستقيمين. نعرف نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين غير متوازيين بأنها النقطة الوحيدة التي يلتقيان أو يتقاطعان عندها. على سبيل المثال، قد يكون لدينا القطعة المستقيمة ﺃﺏ وقطعة مستقيمة أخرى، ﻡﻥ. يمكننا تسمية الموضع الذي تتقاطع عنده هاتان القطعتان المستقيمتان بالنقطة ﻭ. ومن ثم، فإن النقطة ﻭ هي نقطة تقاطع القطعة المستقيمة ﺃﺏ والقطعة المستقيمة ﻡﻥ. نلاحظ هنا استخدام مصطلح «غير متوازيين» في تعريف نقطة تقاطع مستقيمين. وذلك لأنه إذا كان لدينا مستقيمان مختلفان متوازيان، فإنهما سيظلان دائمًا على مسافة ثابتة أحدهما من الآخر، ولن يتقاطعا أبدًا.

ومن ثم، عندما يتعلق الأمر بإيجاد نقطة تقاطع مستقيمين على مستوى إحداثي، فإننا نطبق المبدأ نفسه. نحاول إيجاد النقطة التي يلتقي عندها المستقيمان أو يتقاطعان. وتعطى لنا عادة معادلتا المستقيمين بهذا الشكل. ومن ثم، فإن نقطة التقاطع هي الزوج المرتب لقيمتي ﺱ وﺹ التي يلتقي عندها المستقيمان على التمثيل البياني وتحقق معادلتي المستقيمين. يمكننا إيجاد هذا الزوج المرتب بيانيًّا بالرسم أو جبريًّا بإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. لاحظ أنه نظرًا لأننا نتعامل عادة مع معادلتين تحتويان على المجهولين ﺱ وﺹ، فسنحتاج غالبًا إلى حلهما آنيًّا أو باستخدام طريقة التعويض.

في هذا الفيديو، سوف نتناول عددًا من الطرق المختلفة للحل جبريًّا. لكن دعونا أولًا نتناول مثالًا نستخدم فيه طريقة بيانية لإيجاد نقطة تقاطع مستقيمين.

عند أي نقطة يتقاطع المستقيمان ﺱ يساوي سبعة، وسدس ﺹ يساوي سالب واحد؟

في هذا السؤال، لدينا معادلتان لمستقيمين، والمطلوب منا هو إيجاد موضع تقاطع هذين المستقيمين؛ أي النقطة التي يلتقيان أو يتقاطعان عندها. قد يكون من المفيد أن نبدأ بتصور شكل هذين المستقيمين على المستوى الإحداثي. يشير المستقيم ﺱ‬‏ يساوي سبعة إلى جميع الأزواج المرتبة التي لها قيمة ﺱ‬‏ تساوي سبعة. ومن ثم، سنحصل على مستقيم رأسي يمر بسبعة على المحور ﺱ.

فيما يخص المعادلة الثانية، سدس ﺹ‬‏ يساوي سالب واحد، يكون تصورها أسهل أحيانًا إذا جعلنا ﺹ‬‏ المتغير التابع. بإعادة ترتيب المعادلة بضرب الطرفين في ستة، نحصل على المعادلة ﺹ‬‏ يساوي سالب ستة. ومن ثم، فإن معادلة المستقيم ﺹ‬‏ يساوي سالب ستة، أو سدس ﺹ‬‏ يساوي سالب واحد، ستمثل بمستقيم أفقي يمر بسالب ستة على المحور ﺹ‬‏.

ونقطة التقاطع هي الزوج المرتب حيث يتقاطع هذان المستقيمان. باستخدام التمثيل البياني، نلاحظ أن هذا يحدث عند النقطة سبعة، سالب ستة. إذن، هذه إجابة السؤال عن نقطة تقاطع المستقيمين.

إذا أردنا استخدام طريقة جبرية في الحل بدلًا من رسم المستقيمين، فعادة عند إيجاد نقطة تقاطع مستقيمين، يمكننا جعل المعادلتين متساويتين. لكن بما أن لدينا مستقيمًا أفقيًّا وآخر رأسيًّا هنا، فالنقطة الوحيدة التي تتساوى عندها قيمتا ﺱ‬‏ وقيمتا ﺹ هي عند ﺱ‬‏ يساوي سبعة وﺹ‬‏ يساوي سالب ستة، وهو ما يعطينا الإحداثيات سبعة، سالب ستة.

في المثالين الآتيين، سنستخدم طريقة جبرية لإيجاد نقطة تقاطع مستقيمين.

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين الممثلين بالمعادلتين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص اثنين يساوي صفرًا، وسالب ﺹ زائد واحد يساوي صفرًا.

دعونا نفترض أنه للإجابة عن هذا السؤال، لن نرسم هذين المستقيمين للحصول على حل بياني. وبدلًا من ذلك، سنحل المعادلتين جبريًّا. عند نقطة التقاطع؛ أي الموضع الذي يلتقي أو يتقاطع المستقيمان عنده، تتساوى قيمتا ﺱ‬‏ وقيمتا ﺹ. وبما أن لدينا معادلتين تتضمنان المجهولين ﺱ‬‏ وﺹ‬‏، فيمكننا حلهما آنيًّا أو باستخدام طريقة التعويض. لكن، في المعادلة الثانية، نلاحظ أنه لا توجد قيمة لـ ﺱ‬‏. ومن ثم، ربما تكون الطريقة الأنسب لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ هي طريقة التعويض. إذا أخذنا هذه المعادلة الثانية، سالب ﺹ‬‏ زائد واحد يساوي صفرًا، وأعدنا ترتيبها لجعل ﺹ‬‏ المتغير التابع من خلال إضافة ﺹ‬‏ إلى طرفيها، فسنحصل على واحد يساوي ﺹ،‬‏ أو ﺹ‬‏ يساوي واحدًا.

الآن وقد عرفنا أن ﺹ‬‏ يساوي واحدًا، يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة الأولى. هذا يعطينا ﺱ‬‏ زائد ثلاثة في واحد ناقص اثنين يساوي صفرًا. وبإيجاد قيمة ذلك، نجد أن ﺱ‬‏ زائد واحد يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن ﺱ يساوي سالب واحد. أصبحنا نعلم الآن أنه عند نقطة تقاطع هذين المستقيمين، قيمة ﺱ‬‏ سالب واحد وقيمة ﺹ‬‏ واحد، ما يعني أنه يمكننا كتابة الإجابة في الصورة الإحداثية سالب واحد، واحد.

والآن دعونا نتناول كيفية كتابة معادلة عامة للمستقيمات التي تمر بنقطة تقاطع مستقيمين معطيين. سنفترض أن لدينا مستقيمين معطيين على الصورة: ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد يساوي صفرًا، وﺃ اثنان ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ زائد ﺟ اثنين يساوي صفرًا. يمكننا كتابة معادلة عامة لأي مستقيم يمر بنقطة تقاطع هذين المستقيمين. فنقول إنه في حالة المستقيمين المعطيين، يمكن كتابة معادلة لجميع الخطوط المستقيمة التي تمر بنقطة تقاطعهما على الصورة: ﻡ في ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد زائد ﻝ في ﺃ اثنين ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ زائد ﺟ اثنين يساوي صفرًا؛ حيث ﻡ وﻝ ينتميان إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

يمكننا أيضًا ملاحظة نقطتين مهمتين تتعلقان بقيمتي ﻡ وﻝ. إذا كان ﻡ يساوي صفرًا، فسنحصل على معادلة المستقيم الثاني. وإذا كان ﻝ يساوي صفرًا، فسنحصل على معادلة المستقيم الأول. وعليه، إذا كان ﻡ لا يساوي صفرًا وﻝ لا يساوي صفرًا، فسنحصل على معادلة خط مستقيم يمر بنقطة التقاطع، باستثناء المستقيمين الأصليين. ومن ثم، يمكننا كتابة المعادلة السابقة على الصورة: ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد زائد ﻙ في ﺃ اثنين ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ زائد ﺟ اثنين يساوي صفرًا؛ حيث ﻙ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. هذه الصورة من المعادلة هي ما سنتناول كيفية تطبيقها في المثال الآتي.

ما معادلة المستقيم المار بالنقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب واحد، ثلاثة، ونقطة تقاطع المستقيمين ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ زائد خمسة يساوي صفرًا، وخمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد ثلاثة يساوي صفرًا؟

يمكننا البدء بتذكر أن نقطة تقاطع مستقيمين هي النقطة التي يلتقي أو يتقاطع المستقيمان عندها. نتذكر أيضًا أن هناك معادلة عامة لأي مستقيم يمر بنقطة تقاطع مستقيمين. إذا كان للمستقيمين المعادلتان: ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد يساوي صفرًا، وﺃ اثنان ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ زائد ﺟ اثنين يساوي صفرًا، فسيمكننا كتابة المعادلة على الصورة: ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد زائد ﻙ في ﺃ اثنين ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ زائد ﺟ اثنين يساوي صفرًا؛ حيث ﻙ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

دعونا نتناول المعادلة ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ زائد خمسة يساوي صفرًا لنحصل على قيم كل من ﺃ واحد، وﺏ واحد، وﺟ واحد. هذا يعني أن ﺃ واحدًا يساوي ثلاثة، وﺏ واحدًا يساوي سالب واحد، وﺟ واحدًا يساوي خمسة. وبالمثل، يمكننا تناول المعادلة الثانية لإيجاد قيم ﺃ اثنين، وﺏ اثنين، وﺟ اثنين، التي ستساوي خمسة، واثنين، وثلاثة، على الترتيب. بعد ذلك، نعوض بهذه القيم في المعادلة العامة للمستقيم، وهو ما يعطينا ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ زائد خمسة زائد ﻙ في خمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد ثلاثة يساوي صفرًا.

في هذه المرحلة، ما توصلنا إليه هو المعادلة العامة لأي مستقيم يمر بنقطة تقاطع المستقيمين ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ زائد خمسة يساوي صفرًا، وخمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. في الواقع، يوجد عدد لا نهائي من المستقيمات التي تمر بنقطة تقاطع هذين المستقيمين؛ وذلك بسبب القيم اللانهائية التي يمكن أن يأخذها ﻙ. ولكن علينا هنا إيجاد معادلة مستقيم معين. وهو المستقيم الذي يمر بنقطة التقاطع هذه والنقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب واحد، ثلاثة. ومن ثم، يمكننا التعويض بالقيمتين ﺱ يساوي سالب واحد وﺹ يساوي ثلاثة في هذه المعادلة. بعد التعويض والتبسيط، نحصل على سالب واحد زائد ﻙ في أربعة يساوي صفرًا. وبإعادة ترتيب المعادلة، يصبح لدينا أربعة ﻙ يساوي واحدًا، وعليه، فإن ﻙ يساوي ربعًا.

والآن بعد أن توصلنا إلى قيمة ﻙ، يمكننا التعويض بها في هذه المعادلة العامة. هذا يعطينا ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ زائد خمسة زائد ربع في خمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. وللتبسيط، نوزع الربع على ما بين القوسين، ثم نجمع الحدود المتشابهة. وبذلك تصبح هذه المعادلة، ١٧ على أربعة ﺱ ناقص ربعي ﺹ زائد ٢٣ على أربعة يساوي صفرًا، معادلة صحيحة للمستقيم. لكن من الأفضل كتابة هذه المعادلة بأعداد صحيحة لمعاملي ﺱ وﺹ. وعليه، بضرب طرفي المعادلة في أربعة، نحصل على ١٧ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد ٢٣ يساوي صفرًا. هذه إذن معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺃ ونقطة تقاطع المستقيمين المعطيين.

لاحظ أن ثمة طريقة أخرى كان بإمكاننا استخدامها في حل هذا المثال دون استخدام صيغة المعادلة العامة، وهي أن نحل أولًا معادلتي المستقيمين آنيًّا لإيجاد نقطة التقاطع. إذا استخدمنا هذه الطريقة، كنا سنحتاج إلى حساب ميل المستقيم بين النقطتين، ثم استخدام هذا الميل بالإضافة إلى صيغة الميل والنقطة للمستقيم للحصول على المعادلة التي أوجدناها.

والآن دعونا نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. نقطة التقاطع بين مستقيمين مختلفين غير متوازيين هي النقطة التي يلتقيان أو يتقاطعان عندها. وهذه النقطة هي الزوج المرتب لقيمتي ﺱ وﺹ التي يلتقي عندها المستقيمان على التمثيل البياني وتحقق معادلتي المستقيمين. ولكن لاحظ أن المستقيمات المختلفة المتوازية مستقيمات في مستوى تكون المسافة بينها ثابتة دائمًا. ولا يكون بينها أي نقاط تقاطع. يمكننا إيجاد نقطة تقاطع مستقيمين إما بيانيًّا أو جبريًّا. وتعطي الطريقة الجبرية دائمًا ناتجًا دقيقًا.

لإيجاد نقطة التقاطع بين مستقيمين غير متوازيين جبريًّا، نحل النظام المكون من معادلتين. ومن ثم، تكون قيمتا الحل لكل من ﺱ وﺹ نقطة التقاطع التي إحداثياتها ﺱ وﺹ. رأينا أيضًا كيف يمكننا كتابة معادلة عامة لأي مستقيم يمر بنقطة تقاطع مستقيمين؛ إذ يمكننا كتابتها على الصورة: ﻡ في ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد زائد ﻝ في ﺃ اثنين ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ زائد ﺟ اثنين يساوي صفرًا؛ حيث ﻡ وﻝ ينتميان إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

والجدير بالملاحظة أنه عندما لا يساوي ﻡ وﻝ صفرًا، نحصل على المعادلة: ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد زائد ﻙ في ﺃ اثنين ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ زائد ﺟ اثنين يساوي صفرًا؛ حيث ﻙ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. وبما أن ﻙ يمكن أن يأخذ مجموعة لا نهائية من القيم، فسيكون هناك عدد لا نهائي من المستقيمات التي تمر بنقطة تقاطع مستقيمين. ومثلما رأينا في المثال السابق، إذا طلب منا إيجاد معادلة مستقيم محدد يمر بنقطة تقاطع، فإننا ندخل أي معطيات إضافية، مثل نقطة على المستقيم، لتحديد المعادلة بالضبط.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.