فيديو السؤال: استخدام الصيغ المثلثية لمساحة المثلث لإيجاد مساحة شكل مكون من مثلث قائم الزاوية ومثلث متساوي الأضلاع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة الشكل التالي لأقرب ثلاث منازل عشرية.

في هذا الفيديو، لدينا مثلث متساوي الأضلاع، يمكننا تمييزه بالنظر لهذه العلامات، إذن فطول كل ضلع من أضلاعه يساوي ٣٤ مترًا. ولدينا أيضًا هذا المثلث القائم الزاوية. وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، ولدينا زاوية قياسها ٩٠ درجة، وزاوية قياسها ٦٠ درجة، فهذا يعني أن قياس الزاوية الثالثة يساوي ٣٠ درجة.

وهذا مثلث قائم الزاوية من نوع خاص؛ إنه مثلث ثلاثيني ستيني. في مثلث قياسات زواياه ٣٠ درجة، و٦٠ درجة، و٩٠ درجة؛ هناك علاقة بين أضلاعه. الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٣٠ درجة يساوي ﺱ، والضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة يساوي ﺱ في الجذر التربيعي لاثنين، وأطول ضلع، أي الوتر، الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٩٠ درجة، يساوي اثنين في ﺱ.

في المثلث القائم الزاوية الذي لدينا، نعرف أن الوتر يساوي ٣٤. لذا يمكننا مساواة ٣٤ باثنين ﺱ ثم نحل لإيجاد قيمة ﺱ. سنحل بقسمة كلا الطرفين على اثنين، لنحصل على ﺱ يساوي ١٧. وإذا كان ﺱ يساوي ١٧، فسيكون طول هذا الضلع ١٧، وهو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. يمكننا كتابة ذلك على الشكل. ولإيجاد الضلع الآخر المجهول، نعوض عن ﺱبـ ١٧ ونضرب في الجذر التربيعي لاثنين، لنحصل على ٢٩٫٤٤٤٩ تقريبًا.

والآن بما أننا أصبحنا نعرف أطوال أضلاع المثلثين كلها، يمكننا البدء في إيجاد المساحة. يمكننا إيجاد مساحة هذا الشكل عن طريق إيجاد مساحتي المثلثين، كلتيهما، ثم جمعهما معًا. لنبدأ بالمثلث القائم الزاوية. مساحة المثلث تساوي نصفًا في طول القاعدة في الارتفاع.

ولحسن الحظ، في المثلث القائم الزاوية، يمكننا استخدام الساقين، أي الضلعين اللذين بخلاف الوتر، باعتبارهما القاعدة والارتفاع. لذا نضرب نصفًا في ١٧؛ باعتباره طول القاعدة، ثم نضرب في الارتفاع البالغ ٢٩٫٤٤٤٩. إذن مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي ٢٥٠٫٢٨١٦٥ مترًا مربعًا.

الآن وقد أوجدنا مساحة هذا المثلث، علينا إيجاد مساحة المثلث الآخر. لكن المشكلة هي أننا لا نعرف ارتفاعه، لأنه إذا اعتبرنا أن أي ضلع هو القاعدة، فيجب أن يكون الارتفاع عموديًّا عليها، وهذا ليس معلومًا لدينا.

لكن هناك صيغة تسمى صيغة هيرون يمكننا استخدامها. إنها الجذر التربيعي لـ ﺣ في ﺣ ناقص ﺃ شرطة في ﺣ ناقص ﺏ شرطة في ﺣ ناقص ﺟ شرطة؛ حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة هي أطوال الأضلاع، وﺣ يساوي نصف المحيط. لنوجد قيمة ﺣ أولًا. إنها نصف المحيط، والمحيط يساوي ٣٤ زائد ٣٤ زائد ٣٤؛ لأن المحيط هو مجموع أطوال أضلاع المثلث. إذن المحيط يساوي ١٠٢.

لإيجاد قيمة ﺣ، علينا أخذ نصف المحيط. إذن نصف المحيط يساوي ٥١ مترًا، ويمكننا التعويض عن ﺣ بـ ٥١. وبما أن أطوال أضلاع المثلث الثلاثة متساوية — كل منها يساوي ٣٤ — إذن يمكننا التعويض عن ﺃ شرطة بـ ٣٤، وعن ﺏ شرطةبـ ٣٤، وعن ﺟ شرطةبـ ٣٤. ولتبسيط ما لدينا، ٥١ ناقص ٣٤ يساوي ١٧. أصبح لدينا ٥١ في ١٧ في ١٧ في ١٧، أي الجذر التربيعي لـ ٢٥٠٥٦٣، وهو ما يساوي ٥٠٠٫٥٦٢٧ متر مربع.

إذن مساحة المثلث المتساوي الأضلاع تساوي ٥٠٠٫٥٦٢٧ متر مربع، ومساحة المثلث الآخر، أي المثلث القائم الزاوية، تساوي ٢٥٠٫٢٨١٦٥ مترًا مربعًا. بالتالي، المساحة الكلية للشكل تساوي مساحة المثلث المتساوي الأضلاع زائد مساحة المثلث القائم الزاوية، أي ٥٠٠٫٥٦٢٧ متر مربع زائد ٢٥٠٫٢٨١٦٥ مترًا مربعًا، أي ٧٥٠٫٨٤٤ مترًا مربعًا بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية.