فيديو الدرس: الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياسات الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس أو لأقواس متطابقة. في البداية، سنسترجع ما تعنيه بعض هذه المصطلحات الأساسية قبل أن نتناول إحدى النظريات التي تساعدنا على حل مسائل تتضمن قياسات زوايا مجهولة. الزاوية المحيطية هي الزاوية الناتجة عن تقاطع وترين مع محيط الدائرة. في الشكل الموضح، الزاوية ﺃﺏﺟ هي زاوية محيطية. ويقابلها القوس ﺃﺟ.

هناك عدد من الخواص تنطبق على هذه الزوايا. وفي هذا الفيديو، سنتناول إحدى هذه الخواص. وهي أن الزوايا المقابلة للقوس نفسه تكون متساوية في القياس. في هذا الشكل، يعني ذلك أن قياس الزاوية ﺃﺩﺟ يساوي قياس الزاوية ﺃﺏﺟ؛ لأن كلتا الزاويتين مقابلتان للقوس ﺃﺟ. وبالمثل، قياس الزاوية ﺩﺃﺏ يساوي قياس الزاوية ﺩﺟﺏ. هذا لأنهما مقابلتان للقوس ﺏﺩ. يشار أحيانًا إلى هذه الخاصية باستخدام صيغة أخرى مكافئة، وهي أن الزوايا الموجودة في القطاع نفسه تكون متساوية في القياس. لكن في بعض الأحيان، يشار أيضًا إلى هذه الخاصية بشكل عام باسم تساوي الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس، حيث نلاحظ أن الزاويتين المحيطيتين المقابلتين للقوس نفسه تكونان شكلًا يشبه ربطة العنق الفراشية.

من المهم ملاحظة أن هذا المسمى غير منهجي، ويجب ألا يستخدم في الإثباتات الرياضية أو غيرها. إحدى نقاط القوة في هذه الخاصية هي أنه يمكننا رسم أي عدد من الزوايا المحيطية المقابلة للقوس ﺃﺟ، وستكون جميعها متساوية في القياس، كما هو موضح. وبالمثل، يمكن أن يكون أي عدد من الزوايا المحيطية مقابلًا للقوس ﺏﺩ أو ﺏﻫ. وستكون جميعها متساوية في القياس أيضًا. قبل أن نوضح كيفية تطبيق هذه الخاصية، دعونا نتناول برهانًا هندسيًّا موجزًا.

لتوضيح هذا البرهان، سنضيف مركز الدائرة. لنفترض أن المركز هو ﻡ. بعد ذلك، نرسم نصفي قطرين، وهما ﺃﻡ وﻡﺟ. ونطبق خاصية معروفة. وهي أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس نفسه. وبصيغة أكثر بساطة، قياس الزاوية عند المركز يساوي ضعف قياس الزاوية الواقعة على المحيط. ومن ثم، نعرف الزاوية عند المركز، أي الزاوية ﺃﻡﺟ، بأنها تساوي اثنين ﺱ.

كان بإمكاننا اختيار ﺱ درجة أو ﺏ أو ﺹ بدلًا من ذلك. لكن من المنطقي أن نختار مضاعفًا للاثنين؛ لأن هذا سوف يجعل العمليات الحسابية الأخرى أبسط قليلًا. إذن، قياس الزاوية ﺃﺩﺟ يساوي نصف هذا القياس. ما يعني أنه يساوي نصفًا في اثنين ﺱ، وهو ما يساوي ببساطة ﺱ درجة. يمكننا بعد ذلك تطبيق القاعدة نفسها لحساب قياس الزاوية ﺃﺏﺟ. مرة أخرى، قياس هذه الزاوية يساوي نصف قياس الزاوية عند المركز، أي نصفًا في اثنين ﺱ، وهو ما يساوي ﺱ درجة. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن هاتين الزاويتين متطابقتان. قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﺃﺩﺟ، كما هو مطلوب. والآن، بعد أن تناولنا الخاصية والبرهان، سوف نستعرض تطبيقًا بسيطًا لذلك.

إذا كان قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ٣٦ درجة وقياس الزاوية ﺟﺏﺃ يساوي ٣٧ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺏﺟﺩ وقياس الزاوية ﺟﺩﺃ.

لنبدأ بإضافة قياسي الزاويتين المعلومتين إلى الشكل. قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ٣٦ درجة، وقياس الزاوية ﺟﺏﺃ يساوي ٣٧ درجة. نحن نريد إيجاد قياس الزاوية ﺏﺟﺩ، أي هذه الزاوية؛ وقياس الزاوية ﺟﺩﺃ، أي هذه الزاوية. نلاحظ الآن أن الزاوية المجهولة الأولى، أي الزاوية ﺏﺟﺩ، مقابلة للقوس ﺏﺩ مثل الزاوية ﺏﺃﺩ أيضًا. ونعلم أن الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس تكون متساوية في القياس. وعليه، فإن قياس الزاوية ﺏﺃﺩ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺏﺟﺩ. ونعلم أنه يساوي ٣٦ درجة.

وبالمثل، لاحظنا أن الزاوية ﺃﺩﺟ مقابلة لنفس القوس مثل الزاوية ﺃﺏﺟ. إذن، هاتان الزاويتان متطابقتان. وعليه، فإن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺃﺩﺟ. وهو ٣٧ درجة. إذن، باستخدام خاصية الزوايا المحيطية المقابلة للقوس نفسه، نجد أن قياس الزاوية ﺏﺟﺩ يساوي ٣٦ درجة، وقياس الزاوية ﺟﺩﺃ يساوي ٣٧ درجة.

في هذا المثال، تناولنا كيفية حل مسائل تتضمن قيمًا عددية للزوايا. دعونا نتناول في المثال التالي كيفية تطبيق الخاصية نفسها، ولكن لحل مسائل تتضمن تعبيرات جبرية.

إذا كان قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين درجة، وقياس الزاوية ﺏﺟﺩ يساوي ﺱ زائد ١٨ درجة، فأوجد قيمة ﺱ.

دعونا نبدأ بإضافة قياس الزاوية ﺏﺃﺩ وقياس الزاوية ﺏﺟﺩ إلى الشكل. وعندما نفعل ذلك، نجد أن كل زاوية من هاتين الزاويتين المحيطيتين مقابلة للقوس ﺏﺩ. نسترجع هنا إحدى النظريات التي نستخدمها عند التعامل مع الزوايا المحيطية. وهي أن الزوايا المقابلة لنفس القوس تكون متساوية في القياس، أو بعبارة أخرى، الزوايا الموجودة بالقطاع نفسه تكون متساوية في القياس. يعني هذا بالتأكيد أن قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي قياس الزاوية ﺏﺟﺩ. ويتيح لنا هذا تكوين معادلة في ﺱ وحلها. قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين درجة، وقياس الزاوية ﺏﺟﺩ يساوي ﺱ زائد ١٨ درجة. إذن، اثنان ﺱ زائد اثنين لا بد أن يساوي ﺱ زائد ١٨.

لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، نبدأ بطرح ﺱ من كلا الطرفين، وهو ما يعطينا ﺱ زائد اثنين يساوي ١٨. وأخيرًا، يمكننا عزل ﺱ بطرح اثنين من كلا الطرفين. ‏١٨ ناقص اثنين يساوي ١٦. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة ﺱ، وهي ١٦.

من المنطقي الآن توسيع نطاق خواص الزوايا المحيطية ليشمل الدوائر المختلفة أو حتى الأقواس المتطابقة. وتحديدًا، إذا كان هناك دائرتان متطابقتان، فسوف تكون الزاويتان المحيطيتان المقابلتان لقوسين متطابقين متساويتين في القياس. وفي الشكل الموضح أمامنا، يعني هذا أنه إذا كان القوسان ﺃﺟ وﺩﻭ متطابقين، فإن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺩﻫﻭ.

نلاحظ أنه على الرغم من أنه قد يبدو من الأفضل البحث عن الشكل التقليدي لربطة العنق الفراشية لمساعدتنا على حل المسائل التي تتضمن زوايا محيطية، فإن هذه الطريقة ليست هي الطريقة المثلى دائمًا. وسنوضح ذلك في المثال التالي.

إذا كان قياس الزاوية ﻭﻫﺩ يساوي ١٤ درجة، وقياس الزاوية ﺟﺏﺃ يساوي اثنين ﺱ ناقص ٩٦ درجة، فأوجد قيمة ﺱ.

لننظر إلى الشكل. نلاحظ بمجرد النظر أن القوس ﺃﺟ يطابق القوس ﺩﻭ. ونعلم أن الزاويتين المحيطيتين المقابلتين لقوسين متطابقين متساويتان في القياس. وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﺩﻫﻭ. علمنا من السؤال أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ أو ﺟﺏﺃ هو اثنان ﺱ ناقص ٩٦. وقياس الزاوية ﻭﻫﺩ، وهو مساو لقياس الزاوية ﺩﻫﻭ، يساوي ١٤ درجة. وبما أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس، يمكننا تكوين معادلة في ﺱ وحلها. المعادلة هي اثنان ﺱ ناقص ٩٦ يساوي ١٤. لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، نضيف ٩٦ إلى كلا الطرفين، فنحصل على اثنين ﺱ يساوي ١١٠. وأخيرًا، نقسم الطرفين على اثنين، وهو ما يعطينا ﺱ يساوي ٥٥. إذن بمعلومية قياسي الزاويتين ﻭﻫﺩ وﺟﺏﺃ، يمكننا استنتاج أن ﺱ يساوي ٥٥.

في الأمثلة السابقة كلها، تناولنا التطابق في دوائر متطابقة. فماذا يحدث إذا كان لدينا دائرتان متحدتا المركز؟ نتذكر أن الدوائر المتحدة المركز هي دوائر تشترك في نفس المركز. ونعلم أيضًا أن أي دائرتين متحدتي المركز ستكونان متشابهتين دائمًا. وبذلك، يمكننا القول إن الزاويتين المحيطيتين المقابلتين لقوسين متساويين في هاتين الدائرتين المتحدتي المركز، لا بد أن تكونا متساويتين في القياس. وسنوضح في المثال التالي كيف يكون ذلك.

في الشكل التالي، تمر القطعة المستقيمة ﺃﻫ والقطعة المستقيمة ﺏﺟ بمركز الدائرتين. إذا كان قياس الزاوية ﻭﻫﺩ يساوي ٥٠ درجة، وقياس الزاوية ﺟﺏﺃ يساوي اثنين ﺱ ناقص ١٠ درجة، فأوجد قيمة ﺱ.

نبدأ بإضافة القياسين ذوي الصلة إلى الشكل. قياس الزاوية ﻭﻫﺩ يساوي ٥٠ درجة، وقياس الزاوية ﺟﺏﺃ يساوي اثنين ﺱ ناقص ١٠ درجة. نعلم أن قياسي الزاويتين المركزيتين المقابلتين للقوس نفسه متساويان. ونعلم أيضًا أن الزوايا المقابلة لأقواس متساوية في القياس تكون متساوية في القياس أيضًا. وهذا يفيدنا كثيرًا عند التعامل مع دائرتين متحدتي المركز؛ حيث يمكننا القول إن قياس القوس ﻭﺩ يساوي قياس القوس ﺟﺃ. وكلاهما يساوي قياس هذه الزاوية المركزية هنا. وبما أن قياسي هذين القوسين متساويان، فلا بد أن يكون قياسا أي زاويتين مقابلتين لهما متساويين أيضًا. بعبارة أخرى، قياس الزاوية ﻭﻫﺩ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺟﺏﺃ.

وبذلك، يمكننا القول إن ٥٠ لا بد أن يساوي اثنين ﺱ ناقص ١٠. إذن، يصبح لدينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﺱ. سنبدأ بإضافة ١٠ إلى كلا الطرفين لنحصل على ٦٠ يساوي اثنين ﺱ. بعد ذلك، نقسم الطرفين على اثنين، وهو ما يعطينا ٣٠ يساوي ﺱ، أو ﺱ يساوي ٣٠.

في الأمثلة السابقة، استخدمنا خواص الزوايا المحيطية في الدائرة لإيجاد قيم مجهولة. والآن، يمكننا تطبيق خاصية عكسية لإثبات بعض العبارات عن الدوائر. ما يعني أنه إذا كان لدينا زاويتان متطابقتان تقابلهما القطعة المستقيمة نفسها، وكانتا على الجهة نفسها من هذه القطعة المستقيمة، فلا بد أن يقع رأساهما وطرفا القطعة المستقيمة على دائرة. في هذا الشكل مثلًا، بما أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﺃﺩﺟ، وهاتين الزاويتين تقابلهما القطعة المستقيمة ﺃﺟ وتقع كل منهما على الجهة نفسها من هذه القطعة المستقيمة، إذن لا بد أن تقع النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ على دائرة. في المثال الأخير، سنستخدم هذه المعلومة لتحديد إذا ما كانت دائرة تمر بأربع نقاط معطاة أو لا.

إذا كان قياس الزاوية ﺏﺟﺃ يساوي ٦١ درجة وقياس الزاوية ﺩﺃﺏ يساوي ٩٨ درجة، فهل يمكن رسم دائرة تمر عبر النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ؟

تذكر أنه إذا كان هناك زاويتان متطابقتان تقابلهما القطعة المستقيمة نفسها وتقعان على الجهة نفسها من هذه القطعة المستقيمة، فإن كلًّا من رأسيهما وطرفي القطعة المستقيمة يقع على دائرة تكون فيها هذه القطعة المستقيمة وترًا. حسنًا، لدينا القطعة المستقيمة ﺏﺃ، والتي تقابل الزاويتين ﺏﺟﺃ وﺏﺩﺃ. وتقع الزاويتان على الجهة نفسها من هذه القطعة المستقيمة. ومن ثم، إذا كان قياس الزاوية ﺏﺟﺃ يساوي قياس الزاوية ﺏﺩﺃ، فيجب أن تقع جميع النقاط الأربع على محيط الدائرة. نعلم من المعطيات أن قياس الزاوية ﺏﺟﺃ يساوي ٦١ درجة، وقياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ٩٨ درجة.

بما أن المثلث ﺏﺩﺃ متساوي الساقين، يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺏﺩﺃ بطرح ٩٨ من ١٨٠ ثم القسمة على اثنين. وهذا يعطينا قياس الزاوية ﺏﺩﺃ، وهو يساوي ٤١ درجة. نجد أن قياس الزاوية ﺏﺟﺃ لا يساوي قياس الزاوية ﺏﺩﺃ. وبما أن هاتين الزاويتين غير متساويتين في القياس، نستنتج أنه لا يمكن رسم دائرة تمر عبر النقاط، إذن الإجابة هي لا.

دعونا نلخص المفاهيم الأساسية في هذا الدرس. عرفنا في هذا الدرس أن الزوايا المحيطية المقابلة للقوس نفسه تكون متساوية في القياس. عرفنا أيضًا أن الزوايا المحيطية المقابلة لأقواس متطابقة أو أقواس متساوية في القياس تكون متساوية في القياس أيضًا. وأخيرًا، عرفنا أن معكوس هاتين الخاصيتين صحيح أيضًا. فإذا كان هناك زاويتان متطابقتان تقابلهما القطعة المستقيمة نفسها، وكانتا على الجهة نفسها من هذه القطعة المستقيمة، فلا بد أن يقع رأساهما وطرفا القطعة المستقيمة على دائرة. وفي هذه الدائرة، تكون القطعة المستقيمة وترًا.