فيديو السؤال: إيجاد كثافة السوائل في مانومتر عمود السائل الفيزياء • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في الشكل الموضح، احسب النسبة بين كثافة السائل ‪B‬‏ وكثافة السائل ‪A‬‏.

في هذا السؤال، لدينا شكل يوضح مانومتر عمود السائل، الذي يستخدم لقياس فرق الضغط بين طرفي الأنبوب الذي على شكل حرف ‪U‬‏. نلاحظ أن السائل ‪B‬‏ موجود في الطرف الأيسر من المانومتر، والسائل ‪A‬‏ يبدأ من أسفل السائل ‪B‬‏ ويمتد حتى الطرف الآخر. يوجد السائل ‪B‬‏ على ارتفاع اثنين ‪ℎ‬‏ فوق الخط المتقطع. ويصل السائل ‪A‬‏ إلى ارتفاع واحد ‪ℎ‬‏ فوق الخط نفسه. المطلوب في هذا السؤال هو دراسة هذا الشكل وحساب النسبة بين كثافة السائل ‪B‬‏ وكثافة السائل ‪A‬‏.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نتذكر أولًا أنه بالنسبة لمانومتر عمود السائل الذي يحتوي على سائل واحد فقط، إذا كان هناك فرق بين ارتفاع السائل في الطرفين الأيسر والأيمن، فهذا يعني اختلاف الضغط المؤثر على كلا الطرفين. على وجه التحديد، إذا أطلقنا على الضغط المؤثر على الطرف الأيسر ‪𝑃L‬‏ وأطلقنا على الضغط المؤثر على الطرف الأيمن ‪𝑃R‬‏، عندئذ نتذكر أن الفرق بين هاتين الكميتين؛ أي ‪𝑃L‬‏ ناقص ‪𝑃R‬‏، يعطى بالصيغة ‪𝜌𝑔Δℎ‬‏. وذلك حيث ‪𝜌‬‏ هنا هي كثافة السائل. و‪𝑔‬‏ هي شدة مجال الجاذبية الأرضية. و‪Δℎ‬‏ هو الفرق في ارتفاع السائل بين الطرفين.

بالرجوع إلى الأنبوب المعطى لنا في السؤال، نلاحظ أن ارتفاع السائل ‪A‬‏ مختلف في كلا الطرفين. فنلاحظ أن ارتفاعه في الطرف الأيمن أكبر بمسافة مقدارها ‪ℎ‬‏ من ارتفاعه في الطرف الأيسر. إذن، يمكننا القول إن الفرق في الضغط بين سطحي السائل ‪A‬‏؛ أي ‪𝑃L‬‏ ناقص ‪𝑃R‬‏، يعطى بالصيغة ‪𝜌A𝑔ℎ‬‏. هنا، ‪𝜌A‬‏ هي كثافة السائل ‪A‬‏. و‪𝑃L‬‏ هو الضغط المؤثر على سطح السائل ‪A‬‏ في الطرف الأيسر، الموجود هنا. و‪𝑃R‬‏ هو الضغط المؤثر على سطح السائل ‪A‬‏ في الطرف الأيمن، الموجود هنا. دعونا نضع هذه المعادلة في الاعتبار بحيث نستخدمها في وقت لاحق. والآن سنفرغ بعض المساحة على الشاشة.

حسنًا، في هذه الحالة تحديدًا، لا ينتج الفرق في ارتفاع السائل ‪A‬‏ عن وجود فرق في ضغط الغاز المؤثر على أي من الطرفين. لكنه ينتج عن الضغط الذي يؤثر به السائل ‪B‬‏ على الطرف الأيسر، وهو ضغط غير موجود في الطرف الأيمن. يمكننا تحليل ذلك بالطريقة الآتية. كلا طرفي الأنبوب مفتوح؛ لذا يمكننا أن نفترض أن هذا الغاز هو الهواء ويؤثر بالضغط الجوي على كلا الطرفين. إذن، في الطرف الأيمن من الأنبوب، الضغط المؤثر على سطح السائل ‪A‬‏ هو الضغط الجوي فقط. وسنسميه ‪𝑃atm‬‏. وفي الطرف الأيسر من الأنبوب، يتعرض سطح السائل ‪A‬‏ للضغط الجوي؛ لأن طرف هذا الأنبوب مفتوح أيضًا للغلاف الجوي. كما يتعرض أيضًا للضغط الذي يؤثر به السائل ‪B‬‏. سنسمي هذا الضغط ‪𝑃B‬‏.

يمكننا إذن القول إن الضغط المؤثر على سطح السائل ‪A‬‏ في الطرف الأيسر يساوي الضغط الجوي زائد الضغط الناتج عن السائل ‪B‬‏. لكن ما الضغط الذي يؤثر به السائل ‪B‬‏ على سطح السائل ‪A‬‏؟ دعونا نتذكر أننا نستطيع حساب الضغط عند أي عمق داخل عمود السائل؛ مثل عمود السائل ‪B‬‏ الموجود لدينا هنا، باستخدام صيغة مشابهة للصيغة التي ذكرناها سابقًا. الضغط المؤثر عند نقطة داخل سائل، إذا وقعت النقطة على مسافة ‪𝑥‬‏ أسفل السطح، يعطى بالصيغة ‪𝜌𝑔𝑥‬‏؛ حيث ‪𝜌‬‏ كثافة السائل. ويرجع الضغط المؤثر عند هذه النقطة إلى وزن السائل الموجود فوقها. ولهذا السبب كلما كانت النقطة على عمق أكبر في السائل، كان الضغط المؤثر عليها أكبر.

الآن، إذا استخدمنا هذه المعادلة لحساب الضغط المؤثر عند نقطة في قاعدة عمود السائل ‪B‬‏، فسيخبرنا ذلك أيضًا بمقدار الضغط الذي يؤثر به السائل ‪B‬‏ على سطح السائل ‪A‬‏. وذلك لأن قاعدة السائل ‪B‬‏ تلامس السطح العلوي للسائل ‪A‬‏. إذن، يمكننا القول إن الضغط الذي يؤثر به السائل ‪B‬‏ على سطح السائل ‪A‬‏ يعطى بالصيغة ‪𝑃B‬‏ يساوي ‪𝜌B𝑔‬‏ في اثنين ‪ℎ‬‏. وذلك حيث ‪𝜌B‬‏ هي كثافة السائل ‪B‬‏ بالتأكيد. وقد استخدمنا اثنين ‪ℎ‬‏ لأن هذا هو ارتفاع السائل ‪B‬‏. بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذا التعبير في المعادلة السابقة. وبهذا، يصبح لدينا ‪𝑃L‬‏ يساوي ‪𝑃atm‬‏ زائد اثنين ‪𝜌B𝑔ℎ‬‏. إذن، الضغط المؤثر على سطح السائل ‪A‬‏ في الطرف الأيسر يساوي الضغط الجوي زائد الضغط الذي يؤثر به وزن السائل ‪B‬‏.

وأخيرًا، دعونا نعد إلى المعادلة التي كانت لدينا ومنها نجد أن ‪𝑃L‬‏ يساوي ‪𝑃R‬‏ زائد ‪𝜌A𝑔ℎ‬‏. وقد توصلنا إلى ذلك بإعادة ترتيب المعادلة الموضحة عن طريق طرح ‪𝑃R‬‏ من كلا الطرفين. وهذا يعطينا تعبيرًا لـ ‪𝑃L‬‏. ها قد حصلنا على تعبيرين لـ ‪𝑃L‬‏. وبمساواتهما، نجد أن ‪𝜌A𝑔ℎ‬‏ زائد ‪𝑃R‬‏ يساوي ‪𝑃atm‬‏ زائد اثنين ‪𝜌B𝑔ℎ‬‏. بتذكر أن الضغط المؤثر على السطح الأيمن، ‪𝑃R‬‏، هو نفسه الضغط الجوي، ‪𝑃atm‬‏، يمكننا حذف هذين الحدين فيتبقى لدينا ‪𝜌A𝑔ℎ‬‏ يساوي اثنين ‪𝜌B𝑔ℎ‬‏. النتيجة التي توصلنا إليها ستفيدنا؛ لأننا نحاول إيجاد النسبة بين كثافة السائل ‪B‬‏ وكثافة السائل ‪A‬‏. بعبارة أخرى، نحن نحاول إيجاد قيمة ‪𝜌B‬‏ على ‪𝜌A‬‏. ولدينا كلتا الكميتين في المعادلة هنا. لذا دعونا نعد ترتيبها.

أولًا: يمكننا قسمة طرفي المعادلة على ‪𝑔ℎ‬‏، وهو ما يعني حذفه من كلا الطرفين. بعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على اثنين ‪𝜌A‬‏. في الطرف الأيسر، يحذف العامل ‪𝜌A‬‏. وفي الطرف الأيمن، يحذف العامل اثنان. ومن ثم نحصل على الإجابة النهائية، وهي: نصف يساوي ‪𝜌B‬‏ على ‪𝜌A‬‏. إذن، النسبة بين كثافة السائل ‪B‬‏ وكثافة السائل ‪A‬‏ تساوي نصفًا.