فيديو السؤال: حل المتباينات المتضمنة دوال كسرية

نسخة الفيديو النصية

ما قيم ﺱ التي تجعل ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ ناقص واحد أكبر من صفر؟ لنرمز للطرف الأيمن من هذه المتباينة بالدالة ﺩﺱ ونمثلها بيانيًّا.

يمكننا استخدام خمس خطوات لرسم تمثيل بياني لدالة كسرية مثل الدالة ﺩﺱ. علينا إيجاد الأجزاء المقطوعة من محور ﺱ، ثم خطوط التقارب الرأسية، ثم الأجزاء المقطوعة من محور ﺹ. ثم نحدد سلوك الدالة عندما يقترب ﺱ من موجب أو سالب ما لا نهاية. وبمجرد وضع جميع خصائص التمثيل البياني هذه، يمكننا الربط بين النقاط. الخطوة الأولى هي إيجاد الأجزاء المقطوعة من محور ﺱ، وذلك بحل الدالة ﺩﺱ تساوي صفرًا.

نستخدم المقدار الذي لدينا للدالة ﺩﺱ، ثم يمكننا ضرب كلا الطرفين في ﺱ ناقص واحد، وأخيرًا نتوصل إلى أن ﺱ لا بد أن يساوي سالب ثلاثة. هذا منطقي. تظهر الأجزاء المقطوعة من محور ﺱ في التمثيل البياني للدالة عندما تساوي الدالة صفرًا. وبالطبع يحدث ذلك في الدالة الكسرية عندما يكون بسطها صفرًا، أي، عند ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا أو ﺱ يساوي سالب ثلاثة. نحدد الأجزاء المقطوعة من محور ﺱ في التمثيل البياني، ثم ننتقل إلى الخطوة التالية.

التمثيل البياني للدالة الكسرية به خط تقارب رأسي عند قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة نفسها غير معرفة. ويحدث ذلك بالتأكيد عندما يكون المقام صفرًا؛ إذ يكون لدينا عدد ما مقسوم على صفر، وهو ما يعطينا ناتجًا غير معرف بالتأكيد. هذه هي الطريقة الوحيدة التي يمكننا من خلالها الحصول على قيمة غير معرفة لدالة كسرية.

في مسألتنا هذه، مقام الدالة الكسرية هو ﺱ ناقص واحد، وقد جعلنا ذلك مساويًا للصفر. ويمكننا ملاحظة أن لدينا بالفعل خط تقارب رأسيًّا واحد عند ﺱ يساوي واحدًا. إذن، نحدد ذلك على التمثيل البياني، ونكون قد انتهينا من الخطوة الثانية، ويمكننا الانتقال إلى الثالثة.

لإيجاد الأجزاء المقطوعة من محور ﺹ، علينا إيجاد قيمة الدالة عند ﺱ يساوي صفرًا. الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ ناقص واحد. ومن ثم، فإن ﺩ لصفر تساوي صفرًا زائد ثلاثة على صفر ناقص واحد، وهو ما يساوي ثلاثة على سالب واحد أو فقط سالب ثلاثة. بالتالي، يمكننا تحديد الأجزاء المقطوعة من محور ﺹ على التمثيل البياني والانتقال للخطوة الرابعة.

علينا تأمل سلوك الدالة عند ﺱ يقترب من موجب أو سالب ما لا نهاية. لا يمكننا فعليًّا البحث عن قيمة ﺩ لما لا نهاية، ولكن يمكننا اختيار عدد كبير جدًّا، مثل التريليون، والتفكير في قيمة الدالة حينئذ. إذن، ﺩ لتريليون، وهي ﺩ ١٠ أس ١٢، تساوي ١٠ أس ١٢ زائد ثلاثة على ١٠ أس ١٢ ناقص واحد. البسط والمقام يساويان تقريبًا التريليون، ومن ثم، فالنسبة بينهما هي واحد تقريبًا. يمكنك التأكد من هذا باستخدام الآلة الحاسبة إن أردت.

ليس هناك شيء مميز على وجه التحديد في العدد تريليون. ما فعلناه فحسب هو أننا اخترنا عددًا كبيرًا جدًّا لنرى ما سيحدث عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وقد رأينا أنه عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، تصبح قيمة الدالة ﺩﺱ مساوية لواحد تقريبًا. وهذا يعني أنه يوجد خط تقارب أفقي لـ ﺹ يساوي واحدًا في الجانب الأيمن من التمثيل البياني. يقترب التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ من خط التقارب الأفقي هذا عندما يقترب ﺱ من موجب ما لا نهاية، ولكن ما زال علينا معرفة الاتجاه الذي يقترب منه فيه. فهل يقترب منه من الاتجاه الأعلى أو من الاتجاه الأسفل؟

بالنظر إلى الكسر مرة أخرى، نلاحظ أن البسط أكبر من المقام بمقدار أربعة كما تبين. وبالتالي، فإن قيمة الكسر أكبر من واحد. إذن، كلما ازداد ﺱ كثيرًا، أو بعبارة أخرى اقترب من ما لا نهاية؛ أو بعبارة أخرى، تكون قيمة الدالة ﺩﺱ أكبر من واحد. ومن ثم، يكون التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ أعلى خط التقارب الأفقي عند ﺹ يساوي واحدًا.

وبالتالي، يمكننا رسم جزء من التمثيل البياني على الجانب الأيمن لمحور ﺱ. ويحدث أمر مماثل عند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية، عدا أن قيمة الدالة ﺩﺱ تصبح أقل من واحد. ومن ثم، يقترب التمثيل البياني من خط التقارب من الاتجاه الأسفل. عليك توخي الحرص والتأكد من أن هذه القيمة أقل بالفعل من واحد؛ لأننا نقسم عددين سالبين على بعضهما. يمكنك باستخدام الآلة الحاسبة أو من دونها التأكد من أن التمثيل البياني للدالة يقترب من خط التقارب من الاتجاه الأسفل، وسنرسم ذلك.

ثمة طريقة أخرى، وهي استخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود. وباستخدامها، يمكننا كتابة ﺩﺱ في الصورة واحد زائد أربعة على ﺱ ناقص واحد. وعند اقتراب ﺱ من موجب ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية، يقل هذا الحد أربعة على ﺱ ناقص واحد أكثر فأكثر، ويقترب أكثر فأكثر من الصفر. ومن ثم، تقترب قيمة الدالة ﺩﺱ أكثر فأكثر من الواحد.

وبقليل من التفكير، يمكننا كذلك معرفة علامة هذا الحد، وهي ما سنعرف من خلالها اتجاه اقتراب التمثيل البياني للدالة من خط التقارب. وأيًّا كانت الطريقة التي نستخدمها، فسنحصل على النتيجة نفسها، وهي أنه مع اقتراب ﺱ من موجب ما لا نهاية، يقترب التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ من خط التقارب الأفقي عند ﺹ يساوي واحدًا من الاتجاه الأعلى. وعند اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية، فإن التمثيل البياني للدالة يقترب من خط التقارب الأفقي نفسه عند ﺹ يساوي واحدًا من الاتجاه الأسفل.

الآن، وقد أصبح لدينا كل الخصائص موضحة في التمثيل البياني، فيمكننا الربط بين النقاط. إلى يسار خط التقارب الرأسي، علينا أن نمر عبر الجزء المقطوع من محور ﺱ عند سالب ثلاثة، وعبر الجزء المقطوع من محور ﺹ عند سالب ثلاثة، والاقتراب من خط التقارب الرأسي هذا.

وإلى يمين خط التقارب الرأسي، نظرًا لأننا لا يمكننا قطع محور ﺱ. نعرف أن الجزء الوحيد المقطوع من محور ﺱ هو عند سالب ثلاثة، ومن ثم، علينا الانتقال لأعلى للاقتراب من خط التقارب الرأسي عند ﺱ يساوي واحدًا. هكذا، نكون قد رسمنا التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ باستخدام عملية تصلح بالأساس لأي دالة كسرية.

قد تفضل التفكير في الدالة ﺩﺱ في صورة واحد زائد أربعة على ﺱ ناقص واحد، ومن ثم التفكير في التمثيل البياني لها باعتباره تحويلًا هندسيًّا للتمثيل البياني للدالة ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ، أي دالة المقلوب. يمكنك فعل ذلك والحصول على النتيجة نفسها، ولكن الخطوات الخمس تصلح لأي دالة كسرية. لذا، أعتقد أنه من الجيد بوجه عام استخدام هذه الطريقة، أو على الأقل الاعتياد على استخدامها.

الآن وقد رسمنا التمثيل البياني، يمكننا الرجوع للتفكير في المتباينة. نريد حل الدالة ﺩﺱ أكبر من الصفر. فما الذي يعنيه ذلك وفقًا للتمثيل البياني الذي أمامنا؟ حسنًا، نريد إيجاد كل قيم ﺱ التي يقع عندها التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ أعلى محور ﺱ.

بالنظر إلى التمثيل البياني، نلاحظ منطقتين يحدث بهما ذلك، إحداهما إلى يسار سالب ثلاثة والأخرى إلى يمين واحد على محور ﺱ. إن المنطقة في الجانب الأيسر من التمثيل البياني هي ﺱ أقل من سالب ثلاثة أو ﺱ أقل من أو يساوي سالب ثلاثة. علينا التفكير مليًّا فيما إذا كان سالب ثلاثة يجب اعتباره أحد قيم ﺱ التي تشملها المتباينة.

بالتأكيد، بما أنه يمثل الجزء المقطوع من ﺱ، فإن قيمة الدالة ﺩ لسالب ثلاثة تساوي صفرًا، ومن ثم، ليست أكبر من الصفر. إذن، لا تحتوي هذه المنطقة على نقطة النهاية سالب ثلاثة، وبالتالي، فإن المتباينة ستكون ﺱ أقل من سالب ثلاثة وحسب.

يحدث الشيء نفسه في الجانب الأيمن من خط التقارب الرأسي، حيث ﺱ يساوي واحدًا. المنطقة تمثل ﺱ أكبر من واحد أو ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا، اعتمادًا على ما إذا كان يجب تضمين الواحد أم لا. الدالة ﺩ لواحد غير معرفة، ومن ثم فهي ليست أكبر من الصفر، وهكذا، فإن ﺱ يساوي واحدًا لا ينبغي أن يكون ضمن المنطقة. وتمثل هذه المنطقة ﺱ أكبر من واحد. إذن، نظرنا إلى التمثيل البياني ورأينا أن المنطقتين اللتين تشملهما المتباينة هما ﺱ أقل من سالب ثلاثة أو ﺱ أكبر من واحد.