فيديو السؤال: خاصية معكوس حاصل ضرب مصفوفتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺃ، وﺏ مصفوفتين غير منفردتين، فما قيمة معكوس ﺃ في ﺏ؟

في هذا السؤال، لدينا مصفوفتان غير منفردتين هما ﺃ وﺏ. وعلينا تحديد قيمة معكوس حاصل ضربهما. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر المقصود بأن مصفوفة ما غير منفردة. هذا يعني أن المصفوفة قابلة للعكس. بعبارة أخرى، نحن نعرف أن كلًّا من معكوس ﺃ ومعكوس ﺏ موجود. وتوجد خاصية أخرى مفيدة بخصوص المصفوفتين ﺃ وﺏ. وتخبرنا أن المصفوفتين يجب أن تكونا مربعتين؛ لأن المصفوفات المربعة فقط هي التي يمكن عكسها. وهذا يكفي لمساعدتنا في إيجاد مقدار يعبر عن معكوس المصفوفة ﺃ في ﺏ.

لكن، ثمة افتراض هنا وهو أنه يمكننا ضرب المصفوفتين ﺃ وﺏ معًا. وبما أن المصفوفتين ﺃ وﺏ مصفوفتان مربعتان بالطبع، فهذا يعني أن لهما الرتبة نفسها.

نحن الآن جاهزون لتذكر الحقيقة التالية المتعلقة بخصائص المصفوفات القابلة للعكس. إذا كان لدينا مصفوفتان غير منفردتين ﺃ وﺏ من الرتبة نفسها، فإن معكوس ﺃ في ﺏ يساوي معكوس ﺏ في معكوس ﺃ. وهذا بالطبع كاف للإجابة عن السؤال.

ومع ذلك، يمكننا أيضًا أن نطرح سؤالًا جديدًا. لماذا تظل هذه الخاصية صحيحة؟ ويمكننا فعل ذلك من خلال إيجاد معكوس المصفوفة ﺃ في ﺏ. وهناك العديد من الطرق لفعل ذلك. سنطلق على المصفوفة ﺃ مضروبة في ﺏ المصفوفة ﺟ. إذن ﺟ يساوي ﺃ في ﺏ. وتذكر أن ﺃ وﺏ كلتيهما مصفوفتان قابلتان للعكس. ومن ثم، كلتاهما مصفوفتان مربعتان من الرتبة نفسها. وهذا يعني أن ﺟ أيضًا مصفوفة مربعة من الرتبة نفسها. وإيجاد معكوس ﺃ في ﺏ يعني أننا نحاول إيجاد معكوس ﺟ. هذه هي المصفوفة التي تحقق المعادلة ﺟ في معكوس ﺟ يساوي مصفوفة الوحدة. وﺟ هي المصفوفة ﺃﺏ. لذا يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على صورة ﺃﺏ في معكوس ﺃﺏ يساوي مصفوفة الوحدة.

يمكننا بعد ذلك إيجاد الحل لمعكوس ﺃﺏ. إن ﺃ مصفوفة قابلة للعكس. إذن، يمكننا ضرب طرفي المعادلة من الجهة اليمنى في معكوس ﺃ. وهذا يعطينا معكوس ﺃ في ﺃ في ﺏ في معكوس ﺃﺏ يساوي معكوس ﺃ في مصفوفة الوحدة. وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك. معكوس ﺃ في ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة. والضرب في مصفوفة الوحدة لا يغير القيمة. إذن، يمكن تبسيط هذه المعادلة لتصبح ﺏ في معكوس ﺃﺏ يساوي معكوس ﺃ.

يمكننا تكرار العملية مرة أخرى. إن ﺏ مصفوفة قابلة للعكس أيضًا. وبالتالي، يمكننا ضرب الطرفين من الجهة اليمنى في معكوس ﺏ. وهذا يعطينا معكوس ﺏ في ﺏ في معكوس ﺃﺏ يساوي معكوس ﺏ في معكوس ﺃ. نبسط المعادلة مرة أخرى. معكوس ﺏ في ﺏ يساوي مصفوفة الوحدة. وهذا يعطينا النتيجة التي يمكننا استخدامها للإجابة عن السؤال.

إذن، بالنسبة إلى المصفوفتين غير المنفردتين ﺃ وﺏ من الرتبة نفسها، فإن معكوس ﺃ في ﺏ يساوي معكوس ﺏ في معكوس ﺃ.