نسخة الفيديو النصية
أي مما يلي يمثل ﺹ يساوي ظا ﺱ بيانيًّا؟
دعونا نبدأ باسترجاع بعض الخصائص الرئيسية لدالة الظل. ظا ﺱ هي دالة دورية وطول دورتها يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم، يتكرر النمط نفسه في منحناها كل فترة يبلغ طولها ١٨٠ درجة. منحنى ظا ﺱ له خطوط تقارب رأسية، تقع عند ٩٠ درجة زائد أي مضاعف صحيح لـ ١٨٠ درجة. وتظهر خطوط التقارب هذه عند جتا ﺱ يساوي صفرًا. لمساعدتنا في تحديد التمثيل البياني الصحيح لدالة الظل، يمكننا كتابة موضع بعض خطوط التقارب هذه بوضوح. توجد هذه الخطوط عند سالب ٩٠ درجة، ٩٠ درجة، ٢٧٠ درجة، وهكذا.
تتمثل الخاصية الأخيرة التي سنسترجعها في أن جذور دالة الظل هي نفسها جذور دالة الجيب. وتساوي ١٨٠ﻥ درجة؛ حيث ﻥ هو أي عدد صحيح. إذن، توجد الجذور عند أي مضاعف صحيح لـ ١٨٠ درجة. لنبدأ بتناول الخاصية الأولى، التي تخبرنا أن طول دورة دالة الظل يساوي ١٨٠ درجة. بالنظر إلى التمثيل البياني أ، نلاحظ أن طول دورة المنحنى هنا يساوي ٩٠ درجة، ومن ثم يمكننا استبعاد هذا الخيار. لكن التمثيلات البيانية الأربعة الأخرى لها الدورة الصحيحة التي يساوي طولها ١٨٠ درجة.
لذا، دعونا ننظر إلى الخاصية الثانية، التي تشير إلى أن خطوط التقارب الرأسية يجب أن تكون عند ٩٠ درجة زائد ١٨٠ﻥ درجة. وبما أننا تحققنا بالفعل من صحة طول دورة الدوال الذي يساوي ١٨٠ درجة، إذن يكفي أن نتحقق مما إذا كان هناك خط تقارب رأسي عند ٩٠ درجة. الدوال في الخيارات ج ود وهـ جميعها لها خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي ٩٠ درجة، وذلك بخلاف الخيار ب. نلاحظ أن عند ﺱ يساوي ٩٠ درجة، قيمة الدالة في التمثيل البياني ب تساوي صفرًا. ولهذا السبب، يمكننا استبعاد الخيار ب.
بعد ذلك، علينا التفكير في جذور الدالة في كل تمثيل بياني. نحن نعلم أن جذور دالة الظل تساوي ١٨٠ﻥ درجة؛ حيث ﻥ هو أي عدد صحيح. مرة أخرى، بما أننا تحققنا بالفعل من أن الدالة دورية، فسيكفي أن نتحقق مما إذا كان المنحنى له جذر عند ﺱ يساوي صفرًا. نجد أنه في الخيارين د وهـ هناك جذر عند ﺱ يساوي صفرًا. ويقطع المنحنى المحور ﺱ عند هذه القيمة، لكن الخيار ج لا يحقق ذلك. لذا يمكننا استبعاد الخيار ج.
يتبقى لدينا تمثيلان بيانيان فقط، وهما الخياران د وهـ، وكلاهما له الدورة الصحيحة، وخطوط التقارب الرأسية الصحيحة، والجذور الصحيحة أيضًا. حتى يتسنى لنا التمييز بين هذين التمثيلين البيانيين، علينا أن نلاحظ أن الدالة في التمثيل البياني د سالبة على الفترة بين صفر و٩٠ درجة، والدالة في التمثيل البياني هـ موجبة على هذه الفترة. والزوايا التي تقع بين صفر و٩٠ درجة هي زوايا حادة أو زوايا تقع في الربع الأول من دائرة الوحدة. وبما أن دالة الظل موجبة مع الزوايا الحادة، فهذا يعني أن الخيار د ليس التمثيل البياني الصحيح لدالة الظل.
يمكننا أن نتذكر لماذا تكون دالة الظل موجبة في الربع الأول إذا استرجعنا أن إحداثيات أي نقطة على دائرة الوحدة هي جتا 𝜃، جا 𝜃؛ حيث 𝜃 هي الزاوية عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين المحور ﺱ الموجب ونصف القطر الذي يربط هذه النقطة بنقطة الأصل. في الربع الأول، يكون الإحداثيان ﺱ وﺹ موجبين. ومن ثم، يكون كل من جيب التمام والجيب موجبين. وبما أن ظل الزاوية 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، فإن ظل الزاوية يكون موجبًا أيضًا في الربع الأول.
إذن، بتذكر الخصائص الرئيسية لدالة الظل، وجدنا أن التمثيل البياني الصحيح لـ ﺹ يساوي ﺱ ظا هو الخيار هـ.