تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل نظام من ثلاث معادلات خطية باستخدام قاعدة كرامر

سوزان فائق

يوضح الفيديو حل نظام من معادلتين خطيتين ونظام من ثلاث معادلات خطية باستخدام قاعدة كرامر، ويوضح أنواع حلول النظام، وتعريف مصفوفة المعاملات.

١٤:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على حلّ نظام من المعادلات الخطية، باستخدام قاعدة كرامر. لمّا بنحلّ أيّ نظام من المعادلات الخطية، بيبقى عندنا تلات أنواع من الحلول. حلّ وحيد، أو عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حلّ. بنستخدم المحدّدات، علشان نعرف إذا كان النظام له حلّ، أو عدد لا نهائي، أو لا يوجد حلّ. بنحكم على إذا كان النظام له حلّ، أو لأ، أو عدد لانهائي؛ بإن إحنا بنشوف قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. لو تَساوى مع الصفر، يبقى لايوجد حلّ للنظام، أو يوجد عدد لا نهائي من الحلول. لكن لو لم يساوي صفر، يبقى يوجد حلّ وحيد للنظام.

قاعدة كرامر بتستخدم مصفوفة المعامِلات دي، علشان تحلّ النظام. بيبقى إزَّاي الكلام؟ بإن لو عندنا نظام، هنجيب له مصفوفة المعامِلات بتاعته. تمام؟ زيّ مثلًا: أ س زائد ب ص يساوي ك. وَ ج س زائد د ص يساوي ل. والـ س والـ ص دي قيم المتغيرات، اللي إحنا هندوّر على قيمتها. مصفوفة المعامِلات بتبقى هي معامِلات المتغيرات س وَ ص. بنرتّبها بالشكل اللي قدامنا ده: أ ب ج د. دي مصفوفة المعامِلات.

قاعدة كرامر بتاخد الكلام ده، وتحلّ بيه النظام. وبيكون الحلّ بالشكل ده. إحنا عايزين نجيب قيمة س وَ ص. فبيبقى قيمة س هتساوي محدّد على قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. المحدّد اللي فوق ده هنشوف هنجيبه إزَّاي. والـ ص هتساوي محدّد على برضو قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. طيب المحدّد اللي فوق ده بنجيبه إزَّاي؟

إحنا عندنا مصفوفة المعامِلات، هي: أ ب ج د. وعندنا الثوابت: ك وَ ل. عشان نجيب الـ ص، اللي هي الناحية دي، هنشيل الـ أ والـ ج من مصفوفة المعامِلات، ونحطّ مكانهم الـ ك والـ ل. يبقى المحدّد اللي فوق، هيبقى الـ ك والـ ل مكان أول عمود. والـ ب والـ د زيّ ما هم. لكن الـ ص، اللي هي تاني متغيّر، هنشيل الـ ب والـ د دول، ونحطّ مكانهم الـ ك والـ ل.

يبقى الـ ص هتساوي الـ أ والـ ج زيّ ما هم. وهنحطّ الـ ك والـ ل مكان العمود التاني. ونجيب قيمة المحدّد اللي في البسط، على قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. ويبقى كده جِبنا قيمة الـ س. ونفس الكلام بالنسبة للـ ص. هنجيب قيمة المحدّد اللي فوق، وقيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. ويبقى كده جِبنا الـ ص. بعد ما نجيب قيم الـ س والـ ص، هناخدهم ونعوّض بيهم في المعادلتين بتوع النظام، اللي هم الأساسيين. ونتأكد إن الحلّ بتاعنا مظبوط. بس ناخد بالنا، إن محدّد مصفوفة المعامِلات، لا يساوي صفر. لو ساوى صفر، يبقى معنى كده إن ما فيش حلّ وحيد للنظام.

نقلب الصفحة وناخد مثال. في المثال: حلّ نظام الآتي باستخدام قاعدة كرامر. أول حاجة هنحدّد مصفوفة المعامِلات. هتبقى: الخمسة، والسالب ستة، والتلاتة، والأربعة. تاني حاجة هنجيب قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. اللي هو هنسميه: Δ تساوي محدّد خمسة، سالب ستة، تلاتة، أربعة. وهنجيب قيمته؛ الخمسة في الأربعة، ناقص التلاتة في السالب ستة. هتساوي تمنية وتلاتين. يبقى كده قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات ما ساواش الصفر. يبقى عندنا حلّ وحيد للنظام.

بعد كده هنستخدم قاعدة كرامر، بإن إحنا هنجيب قيمة الـ س، وقيمة الـ ص. الـ س هتساوي محدّد اللي هنبدّل فيه عمود الثوابت، مكان أول عمود في مصفوفة المعامِلات. اللي هو هنشيل الخمسة والتلاتة، وهنحطّ مكانها خمستاشر، وسالب تسعة وعشرين. ونسيب باقي مصفوفة المعامِلات زيّ ما هي، اللي هو المحدّد بتاعها. يبقى سالب ستة وأربعة، على قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات، اللي هو القيمة اللي إحنا جِبناها، اللي كانت تمنية وتلاتين.

هنفك المحدّد في البسط، يبقى خمستاشر في الأربعة، ناقص السالب ستة في السالب تسعة وعشرين. بعد التبسيط هتبقى سالب مية وأربعتاشر، على تمنية وتلاتين. اللي هي هتساوي سالب تلاتة. يبقى كده جِبنا قيمة الـ س، طلعت بسالب تلاتة.

هنجيب قيمة الـ ص بنفس الطريقة. المحدّد اللي في البسط؛ هنسيب أول عمود زيّ ما هو، الخمسة وتلاتة. وهنشيل العمود التاني، ونحطّ مكانه الخمستاشر، والسالب تسعة وعشرين؛ اللي هو الثوابت اللي في المعادلات. على التمنية وتلاتين، اللي هو قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. الكلام ده هيساوي خمسة في سالب تسعة وعشرين، ناقص خمستاشر في تلاتة؛ على التمنية وتلاتين. هيساوي سالب مية وتسعين، على التمنية وتلاتين. هتساوي سالب خمسة. يبقى معنى كده إن الـ ص طلعت قيمتها سالب خمسة. يبقى حلّ النظام عندنا هيبقى السالب تلاتة وسالب خمسة.

وعلشان نتأكد إن الحلّ بتاعنا صحيح، هناخد القيمة دي، نعوّض بيها في المعادلتين الأصليتين. يعني المعادلة الأولانية هتبقى خمسة في سالب تلاتة، ناقص ستة في سالب خمسة. المفروض إنها تساوي الخمستاشر. الخمسة في سالب تلاتة، هتبقى سالب خمستاشر. والستة في سالب خمسة، بسالب تلاتين. وهتبقى زائد، يعني سالب خمستاشر زائد تلاتين، هي فعلًا تساوي خمستاشر.

والمعادلة التانية هتبقى تلاتة في سالب تلاتة، زائد أربعة في سالب خمسة. المفروض إنها هتساوي سالب تسعة وعشرين. فعلًا لو جينا بصّينا، تلاتة في سالب تلاتة، يبقى دي سالب تسعة. وأربعة في سالب خمسة، سالب عشرين. اللي هو فعلًا مجموعهم يساوي سالب تسعة وعشرين. يبقى الحلّ بتاعنا صحيح.

هنا اتكلمنا على الحلّ باستخدام قاعدة كرامر، لنظام من معادلتين خطيتين. نقلب الصفحة ونشوف إزَّاي هنحلّ نظام فيه تلات معادلات خطية، باستخدام قاعدة كرامر. لو عندنا نظام من المعادلات: أ س، زائد ب ص، زائد ج ع؛ يساوي م. وَ د س، زائد هـ ص، زائد وَ ع؛ يساوي ر. وَ ك س، زائد ن ص، زائد ل ع؛ يساوي ي. عايزين نحلّ النظام ده.

فعندنا مصفوفة المعامِلات، اللي هي اللي هتبقى باللون البنفسجي. اللي هي المعامِلات اللي مضروبة في الـ س، والـ ص، والـ ع. يبقى الحلّ هيكون إيجاد الـ س، والـ ص، والـ ع بالشكل ده. الـ س هتساوي محدّد مصفوفة المعامِلات، بعد ما نبدّل أول عمود في المصفوفة، بعمود الثوابت. والـ ص هتبقى استبدال تاني عمود، بعمود الثوابت. والـ ع هيبقى باستبدال تالت عمود، بعمود الثوابت. وهنقسم الكلام ده على قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. وناخد بالنا إن لو محدّد مصفوفة المعامِلات ما ساواش الصفر، يبقى معنى كده إن إحنا عندنا حلّ وحيد. وطبعًا في الـ س، والـ ص، والـ ع، قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات، لا يساوي صفر.

نقلب الصفحة وناخذ مثال على حلّ نظام من تلات معادلات، باستخدام قاعدة كرامر. في المثال: حِلّ النظام الآتي باستخدام قاعدة كرامر: أربعة س زائد خمسة ص ناقص ستة ع يساوي سالب أربعتاشر. وتلاتة س ناقص اتنين ص زائد سبعة ع يساوي سبعة وأربعين. وسبعة س ناقص ستة ص ناقص تمنية ع يساوي خمستاشر.

عندنا عمود الثوابت، اللي هو سالب أربعتاشر، وسبعة وأربعين، وخمستاشر. ده اللي بنبدّله مكان أعمدة مصفوفة المعامِلات، علشان نعرف نجيب الـ س، والـ ص، والـ ع. هنكتب مصفوفة المعامِلات. أربعة، وتلاتة، وسبعة. وخمسة، وسالب اتنين، وسالب ستة. سالب ستة، وسبعة، وسالب تمنية.

هنجيب محدّد مصفوفة المعامِلات، بإن إحنا هنفكّ المحدّد تلاتة في تلاتة ده. زيّ ما إحنا شايفين، الـ Δ اللي هي بتمثّل محدّد مصفوفة المعامِلات. هنكتب المحدّد: أربعة، وخمسة، وسالب ستة، وتلاتة، وسالب اتنين، والسبعة، والسبعة، وسالب ستة، وسالب تمنية؛ زيّ ما هم. وهنزوّد العمودين الأولانيين. وهنفكّ عن طريق إن إحنا بنضرب الأقطار اللي قدامنا دي، ونطرحهم من الأقطار اللي لونهم أخضر. وهيطلع الناتج لمحدّد مصفوفة المعامِلات ستمية واحد وعشرين.

بعد كده هنجيب قيمة الـ س، والـ ص، والـ ع، بقاعدة كرامر. هيبقوا بالشكل ده. الـ س؛ هنشيل العمود الأولاني، ونحطّ عمود الثوابت. الـ ص؛ هنشيل العمود التاني، ونحطّ عمود الثوابت. والـ ع؛ هنشيل العمود التالت، ونحطّ عمود الثوابت من محدّد مصفوفة المعامِلات. وهنقسم قيمة المحدّد ده، على قيمة محدّد مصفوفة المعامِلات. اللي هو جِبنا قيمته، اللي هو ستمية واحد وعشرين.

وهنجيب قيمة الـ س، بإن إحنا هنفكّ المحدّد اللي في البسط. اللي هو نظامه تلاتة في تلاتة. هنلاقيه يساوي تلات آلاف مية وخمسة، على ستمية واحد وعشرين. هنلاقي إن الـ س هتساوي خمسة. والـ ص هتبقى سالب ألف ميتين اتنين وأربعين، على ستمية واحد وعشرين. هتطلع الـ ص تساوي سالب اتنين. والـ ع هتبقى ألفين ربعمية أربعة وتمانين، على ستمية واحد وعشرين. هتساوي أربعة.

يبقى الحلّ عندنا: خمسة، وسالب اتنين، وأربعة. هناخد القيم دي، ونعوّض بيها في المعادلات الأساسية. فأول معادلة: الأربعة في الخمسة، زائد الخمسة في سالب اتنين، ناقص ستة في أربعة. المفروض الكلام ده يساوي سالب أربعتاشر. هنلاقي الأربعة في الخمسة، بالعشرين. خمسة سالب اتنين، يبقى دي سالب عشرة. سالب ستة في الأربعة، يبقى دي سالب أربعة وعشرين. لو جمعناهم عشرين ناقص عشرة ناقص أربعة وعشرين، فعلًا هتطلع النتيجة سالب أربعتاشر.

نعوّض في المعادلة التانية … نعوّض في المعادلة التانية: تلاتة في خمسة، ناقص اتنين في سالب اتنين، زائد سبعة في أربعة. المفروض الكلام ده كله يساوي سبعة وأربعين. فعلًا التلاتة في خمسة، بخمستاشر، زائد أربعة زائد تمنية وعشرين. هنجمع الكلام ده، هيطلع … خمستاشر زائد أربعة زائد تمنية وعشرين، هيطلع فعلًا سبعة وأربعين.

لازم نعوّض كمان في المعادلة التالتة. يبقى سبعة في خمسة، ناقص ستة في سالب اتنين، ناقص تمنية في أربعة. الكلام ده المفروض يساوي خمستاشر. سبعة في خمسة، بخمسة وتلاتين. سالب ستة في سالب اتنين، يبقى دي موجب اتناشر. سالب تمنية في أربعة، يبقى سالب اتنين وتلاتين. يبقى خمسة وتلاتين زائد اتناشر ناقص اتنين وتلاتين، فعلًا هيساوي الخمستاشر. يبقى الحلّ بتاعنا صحيح. وهو: خمسة، وسالب اتنين، وأربعة.

اتكلمنا في الفيديو ده عن حلّ نظام من معادلات خطية، باستخدام قاعدة كرامر. وعرفنا إن لمّا يكون قيمة محدّد المصفوفة لا تساوي صفر، يبقى عندنا حلّ وحيد. لكن لو ساوِت صفر، يبقى عندنا عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حلّ للنظام. وعرفنا إزَّاي هنحلّ معادلتين في مجهولين، أو تلات معادلات في تلاتة مجاهيل. ولازم ناخد بالنا إن لمّا يطلع لنا الحلّ، لازم نعوّض بيه في كل المعادلات الأساسية اللي مدّيهالنا. لأن ممكن الحلّ يحقّق معادلتين، لكن ما يحقّقش التالتة. أو ممكن يحقّق معادلة واحدة. وما يحقّقش باقي المعادلات.