نسخة الفيديو النصية
اختر المقدار الذي يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ مقسومًا على لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ. هل هو الخيار (أ) لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ مقسومًا على لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ؟ أم الخيار (ب) لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ مقسومًا على لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ؟ أم الخيار (ج) لوغاريتم ﺃ للأساس ﺱ مقسومًا على لوغاريتم ﺃ للأساس ﺹ؟ أم الخيار (د) لوغاريتم ﺏ للأساس ﺱ مقسومًا على لوغاريتم ﺏ للأساس ﺹ؟
في هذا السؤال، لدينا أربعة مقادير مختلفة. وعلينا تحديد أي منها يساوي المقدار المعطى في السؤال. هناك عدة طرق مختلفة يمكننا من خلالها حل هذا السؤال. لكننا سنستخدم حقيقة أن المقدار المعطى لنا في السؤال هو خارج قسمة لوغاريتمين للأساس نفسه. وربما يذكرنا هذا بصيغة تغيير الأساس للوغاريتمات، والتي توضح لنا أنه لأي أعداد حقيقية موجبة، ﺃ وﺱ وﺹ؛ حيث ﺃ وﺹ لا يساويان واحدًا، فإن لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ مقسومًا على لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺹ.
لتطبيق هذه الصيغة على المقدار المعطى في السؤال، يجب أن يكون ﺃ وﺱ وﺹ أعدادًا حقيقية موجبة؛ حيث ﺃ وﺹ لا يساويان واحدًا. ونلاحظ أن ذلك ينطبق على المقدار الذي لدينا هنا. بما أننا نحسب لوغاريتم ﺱ، إذن فإن ﺱ موجب. وبما أننا نحسب لوغاريتم ﺹ، إذن فإن ﺹ أيضًا موجب. ﺃ هو أساس اللوغاريتم، لذا فإن ﺃ موجب ولا يساوي واحدًا. وأخيرًا، بما أننا نحسب لوغاريتم ﺹ في المقام، فلا يمكننا القسمة على صفر. هذا يعني أن ﺹ لا يمكن أن يساوي واحدًا. إذن، باستخدام صيغة تغيير الأساس، نكون قد أوضحنا أن المقدار المعطى في السؤال يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺹ. لكنه لا يماثل أي خيار من الخيارات الأربعة. لذا، علينا إجراء بعض العمليات الإضافية على هذا المقدار.
بما أن جميع الخيارات الأربعة تمثل خارج قسمة لوغاريتمين، إذن سنطبق صيغة تغيير الأساس مرة أخرى. لكن هذه المرة سنغير أساس كل من اللوغاريتمين إلى قيمة موجبة ﺏ، وهي لا تساوي واحدًا. بذلك، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ مقسومًا على لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ. وهذا يماثل المقدار المعطى في السؤال. لعلنا نلاحظ أن هذا يماثل الإجابة المعطاة في الخيار (ب).
ومن ثم، باستخدام صيغة تغيير الأساس، نكون قد أوضحنا أن لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ مقسومًا على لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ مقسومًا على لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ، بشرط أن يكون ﺏ عددًا حقيقيًّا موجبًا لا يساوي واحدًا. إذن، فإن الإجابة هي الخيار (ب).
