فيديو السؤال: إيجاد قياس زاوية الاحتكاك باستخدام معامل الاحتكاك السكوني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان معامل الاحتكاك السكوني بين جسم ومستوى هو الجذر التربيعي لثلاثة على أربعة، فما قياس زاوية الاحتكاك؟ قرب إجابتك لأقرب دقيقة، إذا لزم الأمر.

هيا نبدأ الحل بتحديد الرموز التي تمثل معطيات السؤال. يمكننا الإشارة إلى معامل الاحتكاك السكوني، الذي يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على أربعة، بالرمز ﻡﺱ. مطلوب منا إيجاد قياس زاوية الاحتكاك في هذا السؤال. ونسمي هذه الزاوية 𝜃.

دعونا نبدأ برسم شكل لهذا الجسم موضوعًا على مستوى. يمكننا هنا أن نتخيل أن للجسم سطحًا مستويًا يلامس سطح المستوى الأملس. ونريد إيجاد قياس زاوية الاحتكاك 𝜃 التي يميل بها المستوى.

لإيجاد قياس هذه الزاوية، علينا التفكير في القوى المؤثرة على هذا الجسم. نحن نعلم أن هناك قوة تؤثر عليه، وهي قوة الجاذبية المؤثرة لأسفل مباشرة، ومقدارها يساوي وزن الجسم، الذي سنطلق عليه ﻭ. بما أن الجسم في حالة سكون، يكون لدينا معامل احتكاك سكوني؛ لأنه لا يتحرك. نحن نعلم أن هناك قوتين أخريين تؤثران على هذا الجسم. القوة الأولى هي القوة العمودية، وسميت بهذا الاسم لأنها تؤثر عموديًّا على سطح المستوى. ولدينا أيضًا قوة الاحتكاك. وقد أسميناها ﺣ، وهي تؤثر على الجسم لمنعه من الانزلاق لأسفل المستوى.

نظرًا لأن الجسم في حالة سكون ولا يتحرك، نعرف أن هذه القوى الثلاث يوازن بعضها بعضًا. فهي في حالة اتزان. وللتحقق من هذا الاتزان، يمكننا تحديد مجموعة من محاور الإحداثيات؛ حيث يشير اتجاه ﺹ الموجب إلى الاتجاه العمودي على سطح المستوى، ويشير اتجاه ﺱ الموجب إلى اتجاه المستوى المائل لأعلى. دعونا نفكر أولًا في القوى الموجودة في الاتجاه ﺱ، ونعرف كيفية توازنها.

يمكن تقسيم قوة الوزن الناتجة عن الجاذبية إلى المركبتين ﺱ وﺹ؛ حيث تشير المركبة ﺱ إلى أسفل المستوى، وتشير المركبة ﺹ إلى داخل المستوى. إذن، المثلث الناتج عن هاتين المركبتين وقوة الوزن نفسها هو مثلث قائم الزاوية، والزاوية في أعلى هذا المثلث تساوي 𝜃. وبما أننا نركز على القوى الموجودة في الاتجاه ﺱ فقط، يمكننا كتابة أن قوة الاحتكاك الموجبة وفقًا لتعريف الإحداثيات ناقص المركبة ﺱ لقوة الوزن التي سنسميها ﻭﺱ تساوى صفرًا. وهذا يساوي صفرًا لأن الجسم في حالة سكون.

بالنظر إلى هذه المعادلة، نجد أنه يمكننا تحليل قوة الاحتكاك والمركبة ﺱ لقوة الوزن وكتابتهما بدلالة بعض المتغيرات المعطاة. بالنسبة إلى قوة الوزن، وبالرجوع إلى المثلث الذي رسمناه، نجد أن المركبة ﺱ لقوة الوزن تساوي الوزن ﻭ مضروبًا في جيب الزاوية 𝜃.

يمكننا الآن تحليل قوة الاحتكاك أيضًا. وسنفعل ذلك من خلال استرجاع التعريف الرياضي لهذه القوة. قوة الاحتكاك ﺣ تساوي معامل الاحتكاك، سواء أكان سكونيًّا أم حركيًّا، مضروبًا في القوة العمودية ﺭ. في هذه الحالة، نكتب ﻡﺱ؛ لأن معامل الاحتكاك سكوني؛ حيث إن الجسم لا يتحرك.

لكن ماذا عن ﺭ؛ أي القوة العمودية؟ بالرجوع إلى الشكل مرة أخرى، نلاحظ أنه بما أن الجسم في حالة اتزان، فإن مقدار القوة العمودية التي تشير لأعلى يجب أن تقابلها المركبة ﺹ لقوة الوزن التي تشير لأسفل إلى داخل المستوى. هذا يعني أنه يمكننا التعويض عن ﺭ بـ ﻭ في جتا 𝜃.

أصبح لدينا الآن معادلة توازن القوى في الاتجاه ﺱ للشكل لدينا. إذا أعدنا ترتيب هذه المعادلة بإضافة ﻭ جا 𝜃 إلى كلا الطرفين، فسنجد أن قوة الوزن ﻭ تحذف من كل طرف. ومن ثم، فإن الإجابة لا تعتمد على وزن الجسم. للتبسيط أكثر من ذلك، دعونا نسترجع أحد المتطابقات المثلثية. تنص هذه المتطابقة على أن ظل الزاوية 𝜃 يساوي جيب هذه الزاوية على جيب تمامها. إذن، إذا قسمنا طرفي المعادلة على جتا 𝜃، فسيحذف هذا العامل من الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، نحصل على ظل الزاوية 𝜃.

علمنا من السؤال قيمة ﻡﺱ؛ أي معامل الاحتكاك السكوني، ونريد إيجاد قياس الزاوية 𝜃. لفعل ذلك، دعونا نستخدم الدالة العكسية للظل لطرفي هذه المعادلة. نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية للظل لـ ﻡﺱ. عند إدخال كل من القيمة المعطاة لـ ﻡﺱ وهذا المقدار على الآلة الحاسبة، نجد أن قياس 𝜃 لأقرب دقيقة هو ٢٣ درجة و ٢٥ دقيقة. وعليه، فإن هذا هو قياس زاوية ميل هذا المستوى؛ أي زاوية الاحتكاك.