فيديو الدرس: جمع وطرح الدوال الكسرية الأكثر تعقيدًا الرياضيات

تعرف على جمع وطرح الدوال الكسرية ذات تعبيرات كثيرة الحدود تصل إلى ثلاثة في البسط أو المقام أو في كليهما.

٢٠:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

قد تكون على معرفة مسبقة بمقدمة عن جمع وطرح الدوال الكسرية. في هذا الفيديو، سنتناول أمثلة أكثر تعقيدًا على جمع المقادير الكسرية وطرحها، وسنتعلم بعض الطرق التي علينا التفكير فيها عند تبسيط النتائج.

في المثال الأول هنا سنطرح، ثلاثة ‪ﺱ‬‏ على ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد ناقص ‪ﺱ‬‏ على ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة.

حسنًا، لا يوجد أي عوامل مشتركة بين هذين المقامين. إذن علينا إيجاد كسرين مكافئين، للحصول على مقام مشترك. والطريقة التي سنفعل بها ذلك هي أن نأخذ مقام الكسر الأول هنا ثم نضربه في بسط الكسر الثاني ومقامه. ثم نأخذ مقام الكسر الثاني ونفعل الشيء نفسه مع الكسر الأول. وبذلك يصبح مقام الكسرين ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة في ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد. لاحظ أن ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة على ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة يساوي واحدًا. وهذا يعني أننا ضربنا الكسر الأول في واحد. كما أننا ضربنا الكسر الثاني في ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد على ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد، وهو ما يساوي واحدًا أيضًا. وكما نعلم أن ضرب أي شيء في واحد لا يغيره. أي إننا لم نجب عن السؤال حتى الآن، ولكننا أعدنا كتابة الكسرين بصورة تتساوى فيها مقاماتهما.

مرة أخرى، ربما تتذكر مما سبق دراسته أنه من الجيد أن نضع هذين المقامين وجميع هذه الحدود البسيطة بين أقواس عندما يكون علينا تجميعها. ثم نضم كل حدين في حد واحد بالمقام المشترك نفسه. وعليه، يكون لدينا ثلاثة ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة في الحد الأول، و‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد في الحد الثاني. والآن سنضرب هذين الحدين. لدينا ثلاثة ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏، وثلاثة ‪ﺱ‬‏ في موجب ثلاثة. ولكن في الحد الثاني لدينا سالب ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏، وسالب ‪ﺱ‬‏ في سالب واحد. ثلاثة ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ يساوي ثلاثة ‪ﺱ‬‏ تربيع، وثلاثة ‪ﺱ‬‏ في موجب ثلاثة يساوي موجب تسعة ‪ﺱ‬‏. وسالب ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ يساوي سالب ‪ﺱ‬‏ تربيع، وسالب ‪ﺱ‬‏ في سالب واحد يساوي موجب ‪ﺱ‬‏. والآن يمكننا تبسيط هذا البسط. لدينا ثلاثة ‪ﺱ‬‏ تربيع مطروحًا منه ‪ﺱ‬‏ تربيع، وهو ما يعطينا اثنين ‪ﺱ‬‏ تربيع. ثم لدينا تسعة ‪ﺱ‬‏ زائد ‪ﺱ‬‏، وهو ما يعطينا زائد ١٠ﺱ.

حسنًا، يمكننا الآن تحليل البسط. لدينا العامل المشترك اثنان بين هذين المعاملين، ولدينا أيضًا العامل المشترك ‪ﺱ‬‏ ويمكننا إخراجهما. ومن ثم نحصل على اثنين ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ زائد خمسة الكل على ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة في ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد. لو كنا أكثر حظًّا، كان العامل ‪ﺱ‬‏ زائد خمسة سيساوي أحد أقواس المقام. وحينها، كان سيمكننا حذفه مع المشابه له في المقام وجعل الكسر أبسط. ولكن كما نرى، ستكون هذه هي الإجابة. لا يوجد شيء آخر نحذفه. اثنان ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ زائد خمسة على ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة في ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد.

تلخيصًا لذلك، فإننا نبحث أولًا وقبل أي شيء عن مقام مشترك. ونحاول تبسيط التعبيرات الكسرية قدر الإمكان. ولكن بالأساس، علينا التفكير في هذه الطريقة، ومحاولة إيجاد مقام مشترك. ثانيًا، نقوم بتجميع الكسور كلها في تعبير كسري واحد، أو في كسر واحد. وبعد ذلك، نحاول إيجاد قيمة هذا البسط، وربما نحتاج إلى إجراء بعض عمليات التحليل والتبسيط، ثم نرى إذا ما كان سيحالفنا الحظ ونحذف أيًّا من العناصر المتكررة في الإجابة النهائية، أو سنكتفي بالتبسيط قدر الإمكان فقط.

حسنًا.

في السؤال التالي، علينا تبسيط ثلاثة على ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين زائد اثنين ‪ﺱ‬‏ على ‪ﺱ‬‏ تربيع ناقص أربعة.

أولًا وقبل أي شيء آخر، دعونا نلق نظرة على هذا المقام هنا، ‪ﺱ‬‏ تربيع ناقص أربعة. يجب أن نكون على دراية بأن هذا فرق بين مربعين. ولذا، يمكننا تحليل ذلك إلى ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين في ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين. إذن هيا أولًا نكتب السؤال بهذه الطريقة، ثم نرى إذا ما كان ذلك سيوضح لنا كيفية متابعة الحل. عند فعل ذلك، يمكننا ملاحظة أن المقام هنا ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين، وأن هذا المقام أيضًا يحتوي على العامل ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين. وبالتالي إذا أردنا مقامًا مشتركًا، يمكننا أن نأخذ هذا العامل، ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين، ونضربه في بسط ومقام الكسر الأول لنحصل على كسر مكافئ بالمقام نفسه. تذكر أن ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين على ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين يساوي واحدًا. أي إننا قد ضربنا الكسر الأول في واحد. ومن ثم لم نغير قيمته، بل ما فعلناه هو أننا حصلنا على كسر مكافئ. والآن أصبح مقام الكسرين ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين في ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين. إذن، لنضمهما في كسر واحد.

الحد الأول كان ثلاثة في ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين. سنعيد ترتيبهما هكذا؛ ثلاثة في ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين. حيث لا يهم الترتيب الذي تجري به عملية الضرب. ثم لدينا اثنان ‪ﺱ‬‏، وهو الحد الثاني في البسط. سنوزع البسط لنرى إذا ما كان يمكننا تبسيطه. ثلاثة في ‪ﺱ‬‏ يساوي ثلاثة ‪ﺱ‬‏، وثلاثة في سالب اثنين يساوي سالب ستة. إذن يصبح لدينا ثلاثة ‪ﺱ‬‏ ناقص ستة زائد اثنين ‪ﺱ‬‏ في البسط، ويمكننا القول إن ثلاثة ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين ‪ﺱ‬‏ يساوي خمسة ‪ﺱ‬‏. وبذلك يكون لدينا خمسة ‪ﺱ‬‏ ناقص ستة على ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين. بالنظر إلى هذا البسط لا نجد أي عوامل مشتركة. لا يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. فلا يوجد ما يحذف من البسط والمقام. إذن، هذه هي الإجابة النهائية.

في المثال التالي سنتناول تبسيط واحد على ‪ﺱ‬‏ تربيع زائد خمسة ‪ﺱ‬‏ زائد ستة زائد واحد على ‪ﺱ‬‏ تربيع زائد سبعة ‪ﺱ‬‏ زائد ١٢. ضرب بسط ومقام الكسر الثاني في مقام الكسر الأول لن يكون فكرة جيدة؛ لأننا سنحصل في النهاية على تعبيرات معقدة إلى حد كبير. لكن ما يمكننا فعله، أولًا وقبل أي شيء، هو تحليل هذين المقامين، ثم تحديد إذا ما كان بينهما عامل مشترك، وفي هذه الحالة سنضرب في العامل غير المشترك. وإذا كان بينهما أكثر من عامل غير مشترك واحد، فسنضرب في هذه العوامل. دعونا نحلل هذين المقامين أولًا.

نلاحظ أن كلًّا منهما عبارة مقدار جبري تربيعي، إذن نكتب ‪ﺱ‬‏ هنا و‪ﺱ‬‏ هنا؛ لأن لدينا واحد ‪ﺱ‬‏ تربيع وواحد ‪ﺱ‬‏ تربيع. وسنكتب ‪ﺱ‬‏ هنا و‪ﺱ‬‏ هنا أيضًا. ثم في المقام الأول، علينا إيجاد عددين مجموعهما موجب خمسة، وحاصل ضربهما موجب ستة. وهما موجب اثنين وموجب ثلاثة. وفي المقام الثاني، نبحث عن عددين مجموعهما سبعة وحاصل ضربهما ١٢. ونجد أنهما موجب أربعة وموجب ثلاثة.

قبل أن نتابع خطواتنا، دعونا نتحقق من ذلك سريعًا. ‏‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ يساوي ‪ﺱ‬‏ تربيع. ‏‪ﺱ‬‏ في ثلاثة يساوي ثلاثة ‪ﺱ‬‏، واثنان في ‪ﺱ‬‏ يساوي اثنين ‪ﺱ‬‏، واثنان ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة ‪ﺱ‬‏ يساوي خمسة ‪ﺱ‬‏. واثنان في ثلاثة يساوي ستة. إذن، هذا التحليل صحيح. ‏‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ يساوي ‪ﺱ‬‏ تربيع. و‪ﺱ‬‏ في ثلاثة يساوي ثلاثة ‪ﺱ‬‏، وأربعة في ‪ﺱ‬‏ يساوي أربعة ‪ﺱ‬‏، وثلاثة ‪ﺱ‬‏ زائد أربعة ‪ﺱ‬‏ يساوي سبعة ‪ﺱ‬‏. وأربعة في ثلاثة يساوي ١٢. إذن هذا التحليل صحيح أيضًا.

حسنًا. كلا المقامين يشتركان في العامل ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة. لذا، سنضرب هذا العامل غير المشترك في بسط ومقام الكسر الثاني. وسنضرب هذا العامل غير المشترك أيضًا في بسط ومقام الكسر الأول. عندما نفعل ذلك، نجد أن لدينا مقامًا مشتركًا يتكون من ثلاثة أقواس مضروبة معًا، أي ثلاثة أزواج من الأقواس مضروبة بعضها في بعض. سنضم الكسرين في كسر واحد. يصبح لدينا ‪ﺱ‬‏ زائد أربعة زائد واحد في ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين. نعلم أن واحدًا في أي قيمة يساوي القيمة نفسها. إذن لدينا ‪ﺱ‬‏ زائد أربعة زائد ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين. و‪ﺱ‬‏ زائد ‪ﺱ‬‏ يساوي اثنين ‪ﺱ‬‏، وموجب أربعة زائد اثنين يساوي موجب ستة. بالنظر إلى ذلك، نجد أن لدينا في البسط العامل المشترك اثنين والعامل المشترك ستة. إذن الاثنان عامل مشترك، ويمكننا تحليل ذلك لنحصل على اثنين في ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة الكل على ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين في ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة في ‪ﺱ‬‏ زائد أربعة. بالنظر إلى هذا الكسر، نجد أن لدينا اثنين في ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة. ونلاحظ أن ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة عامل موجود في البسط، و‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة عامل في المقام أيضًا. إذا قسمنا البسط والمقام على ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة، فسيحذفان، وبذلك نحصل على الإجابة النهائية وهي اثنان على ‪ﺱ‬‏ زائد اثنين في ‪ﺱ‬‏ زائد أربعة.

حسنًا، دعونا نلق نظرة على بعض عمليات الطرح. ‏‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة على ‪ﺱ‬‏ زائد أربعة ناقص ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد على ‪ﺱ‬‏ زائد واحد. لا يوجد أي عامل مشترك بين المقامين. لنكتب ذلك ونحاول إيجاد مقام مشترك.

أولًا، كما ذكرنا من قبل، تأكد من كتابة كل بسط وكل مقام بين قوسين للحفاظ على هذه الحدود معًا فيما بعد، لأنها معقدة بعض الشيء. سنضرب المقام هنا في بسط هذا الكسر ومقامه. ثم نأخذ هذا المقام ونضربه في بسط هذا الكسر ومقامه. ومن ثم، يصبح لدينا ‪ﺱ‬‏ زائد واحد في ‪ﺱ‬‏ زائد أربعة كمقام مشترك. ويمكننا تجميع هذين الحدين معًا في كسر واحد. والآن سنضرب هذه الأقواس وهذه الأقواس. ويتطلب هذا الأمر الانتباه. نظرًا لأن لدينا إشارة سالب هنا، سنطرح المقدار الثاني بالكامل من المقدار الأول. لذا، علينا أن ننتبه جيدًا لكيفية فعل ذلك. سنضرب الأقواس ونترك ناتج كل منهما بين قوسين مع وضع إشارة سالبة أمام القوس الثاني، ثم نوجد قيمة ذلك.

بضرب القوس أولًا، نحصل على ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ يساوي ‪ﺱ‬‏ تربيع. و‪ﺱ‬‏ في ثلاثة يساوي موجب ثلاثة ‪ﺱ‬‏، وواحد في ‪ﺱ‬‏ يساوي موجب واحد ‪ﺱ‬‏. وبالتالي يصبح لدينا ثلاثة ‪ﺱ‬‏ وواحد ‪ﺱ‬‏ وهو ما يساوي أربعة ‪ﺱ‬‏. بعد ذلك لدينا واحد في ثلاثة، وهما موجبان، إذن سيساوي ذلك ثلاثة. وبالنسبة إلى الحد الثاني، لدينا ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ يساوي ‪ﺱ‬‏ تربيع. و‪ﺱ‬‏ في أربعة يساوي موجب أربعة ‪ﺱ‬‏. سالب واحد في ‪ﺱ‬‏. وهنا نطرح ‪ﺱ‬‏، إذن يكون لدينا أربعة ‪ﺱ‬‏ مطروح منها واحد ‪ﺱ‬‏ وذلك يساوي ثلاثة ‪ﺱ‬‏. ثم سالب واحد في موجب أربعة يساوي سالب أربعة. لدينا هنا إشارة سالبة، إذن سنطرح ‪ﺱ‬‏ تربيع. وسنطرح موجب ثلاثة ‪ﺱ‬‏. فيتحول إلى سالب ثلاثة ‪ﺱ‬‏. وسنطرح سالب أربعة، وهو ما يعطينا موجب أربعة. هيا نعد كتابة البسط.

ستظل الحدود الثلاثة الأولى كما هي هنا. وكما أوضحنا، سنطرح ‪ﺱ‬‏ تربيع. ثم نطرح موجب ثلاثة ‪ﺱ‬‏ أي يصبح لدينا ثلاثة ‪ﺱ‬‏. ثم نطرح سالب أربعة، وهو ما يعني جمع أربعة. والآن يمكننا تبسيط ذلك. لدينا ‪ﺱ‬‏ تربيع ناقص ‪ﺱ‬‏ تربيع. وهو ما يساوي صفرًا، إذن يحذف أحدهما الآخر. ولدينا موجب أربعة ‪ﺱ‬‏ ناقص ثلاثة ‪ﺱ‬‏، وهو ما يساوي واحد ‪ﺱ‬‏. ثم لدينا موجب ثلاثة زائد أربعة وهو ما يساوي سبعة، لنحصل في النهاية على ‪ﺱ‬‏ زائد سبعة الكل على ‪ﺱ‬‏ زائد واحد في ‪ﺱ‬‏ زائد أربعة. يمكننا وضع البسط بين قوسين إذا أردنا، ويمكننا أيضًا ضرب أقواس المقام. ولكن لا يوجد شيء آخر سنحذفه. هذه هي الإجابة النهائية.

أصعب ما كان في هذا السؤال هو وجود عمليات جبرية كثيرة إلى حد ما علينا إجراؤها. وكذلك كان الانتباه إلى الإشارات السالبة في السؤال من أهم الخطوات وأصعبها. وهو ما يجعل معظم الأشخاص يخطئون في حل هذا النوع من الأسئلة.

في المسألة التالية لطرح المقادير الكسرية، لدينا ثلاثة على ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين ناقص اثنين ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين على اثنين ‪ﺱ‬‏ تربيع ناقص ‪ﺱ‬‏ ناقص ستة. وكما رأينا سابقًا في بعض من هذه الأسئلة، أول ما نفعله هو أن نحاول تحليل ما يمكن تحليله. يبدو أنه يمكننا تحليل بسط الكسر الثاني. كما يمكننا تحليل المقام أيضًا. لنفعل ذلك.

وضعنا مقام الحد الأول بين قوسين، وهذه فكرة جيدة دائمًا. ويمكن تحليل بسط الكسر الثاني بكل سهولة. العامل المشترك هنا هو اثنان، إذن يصبح لدينا اثنان في ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد. والآن ننظر إلى المقام، إنه أصعب قليلًا، لدينا اثنان ‪ﺱ‬‏ تربيع، ما يعني أنه سيكون هناك قوسان؛ لأنه تعبير تربيعي. أحدهما يجب أن يحتوي على اثنين ‪ﺱ‬‏، والآخر على ‪ﺱ‬‏؛ لأن اثنين ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ يساوي اثنين ‪ﺱ‬‏ تربيع. والآن نفكر في الحدين الآخرين ونحاول إيجادهما.

حسنًا، قلنا إنه يجب أن يكون لدينا اثنان ‪ﺱ‬‏ و‪ﺱ‬‏؛ لأن اثنين ‪ﺱ‬‏ في ‪ﺱ‬‏ يساوي اثنين ‪ﺱ‬‏ تربيع. وبالنسبة إلى الحدين الآخرين، يجب أن يكون حاصل ضربهما يساوي سالب ستة، وعند تجميعهما نحصل على هذا التعبير. ببعض التجربة والخطأ، نجد أنهما اثنان ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة و‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين. حسنًا، سيفيدنا هذا حيث نحصل على ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين و‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين هنا. وبذلك أصبح لدينا عامل مشترك. وعليه فإن الجزء الناقص في هذا المقام، أي في مقام الكسر الأول، هو اثنان ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة. إذن نضرب بسط الكسر الأول ومقامه في اثنين ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة. وهذا كسر مكافئ للحد الأول. أصبح لدينا الآن حدان بالمقام المشترك اثنان ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة في ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين. إذن يمكننا تجميع ذلك في كسر واحد، لدينا ثلاثة في اثنين ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة للحد الأول في البسط، ونطرح من ذلك اثنين في ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد للحد الثاني. علينا أن نضرب الأقواس الموجودة في البسط. لدينا سالب اثنين في ‪ﺱ‬‏ وسالب اثنين في سالب واحد. حسنًا، ثلاثة في اثنين ‪ﺱ‬‏ يساوي ستة ‪ﺱ‬‏، وثلاثة في موجب ثلاثة يساوي موجب تسعة، وسالب اثنين مضروبًا في ‪ﺱ‬‏ يساوي سالب اثنين ‪ﺱ‬‏، وسالب اثنين مضروبًا في سالب واحد يساوي موجب اثنين. والآن يمكننا تبسيط ذلك. لدينا ستة ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين ‪ﺱ‬‏ يساوي أربعة ‪ﺱ‬‏، وتسعة زائد اثنين يساوي ١١، أي موجب ١١.

بالنظر إلى البسط، لن نجد أي عوامل مشتركة أخرى. لا يمكننا التحليل أكثر من ذلك. ولا يوجد ما يمكن حذفه من البسط والمقام. ومن ثم، تكون هذه هي إجابتنا عن هذا السؤال. مرة أخرى، علينا الانتباه للإشارات السالبة عند طرح التعبيرات الكسرية. في هذه الحالة، كان علينا إجراء بعض العمليات لتحليل البسط والمقام، وهو ما جعل عملية الضرب بأكملها، أي إيجاد الكسر المكافئ بمقام مشترك، أسهل بعض الشيء.

حسنًا. هيا نختتم الدرس بسؤال صعب إلى حد ما.

في هذه الحالة، علينا طرح تعبيرين كسريين. أي سنطرح أحدهما من الآخر. ولكن علينا أيضًا أن نثبت أن ناتج طرح هذين المقدارين الكسريين يساوي تعبيرًا معينًا. عند إجراء عمليات حسابية، قد نحصل في بعض الأحيان على الإجابة على صورة ما. بينما في هذه الحالة، يجب أن تكون الإجابة على صورة محددة. لنبدأ الحل ونر ما يمكننا فعله في هذا السؤال. أولًا وقبل أي شيء، يبدو أن علينا إجراء بعض التحليل لهذا المقام. لكن إذا نظرنا إلى الكسر الأول ووضعنا قوسًا حول البسط، فسنلاحظ أننا إذا قسمنا هذا البسط على ‪ﺱ‬‏ زائد خمسة، فسنحصل على واحد. وإذا قسمنا المقام على ‪ﺱ‬‏ زائد خمسة، فسنحصل على واحد أيضًا. وعليه، يصبح الكسر الأول واحدًا على اثنين ناقص ‪ﺱ‬‏ في ثلاثة زائد ‪ﺱ‬‏. وبذلك يكون الكسر الأول أبسط قليلًا. دعونا نلق نظرة على ما يمكننا فعله بعد ذلك.

أثناء الحل، نحذف العوامل المشتركة في بسط ومقام الكسر الأول كما فعلنا ليصبح الحد الأول يساوي واحدًا على اثنين ناقص ‪ﺱ‬‏ في ثلاثة زائد ‪ﺱ‬‏. وبالنسبة إلى الحد الثاني، يمكننا إعادة كتابته بتحليل المقام. لنحصل على سالب ‪ﺱ‬‏ تربيع، يجب أن يكون لدينا سالب ‪ﺱ‬‏ في موجب ‪ﺱ‬‏. ثم نفكر في عددين حاصل ضربهما يساوي ستة ومجموعهما يساوي سالب واحد، وهو معامل الحد ‪ﺱ‬‏ هنا. بإيجاد العددين يصبح لدينا اثنان ناقص ‪ﺱ‬‏ وثلاثة زائد ‪ﺱ‬‏. وبذلك نكون قد أعدنا ترتيب أول كسرين. وبالنظر إلى مقاميهما، نجد أن المقامين مشتركان. ولذا يمكننا جمعهما في كسر واحد. دعونا نعد كتابة هذا الطرف الأيمن. تذكر أننا أعدنا كتابة الحد الأول على الصورة واحد على اثنين ناقص ‪ﺱ‬‏ في ثلاثة زائد ‪ﺱ‬‏. وسنطرح هذا الحد الثاني، الذي أعدنا كتابته على الصورة ‪ﺱ‬‏ على اثنين ناقص ‪ﺱ‬‏ في ثلاثة زائد ‪ﺱ‬‏. وبذلك أصبح لدينا مقام مشترك هنا. ومن ثم، يمكننا تجميع هذين العددين معًا في كسر واحد.

يبدو أننا نقترب جدًّا من الإجابة التي نريدها، لكننا لم نصل إليها بعد. فبدلًا من ‪ﺱ‬‏ ناقص واحد، لدينا واحد ناقص ‪ﺱ‬‏. وبدلًا من ‪ﺱ‬‏ ناقص اثنين، لدينا اثنان ناقص ‪ﺱ‬‏. ولدينا ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة وثلاثة زائد ‪ﺱ‬‏، ولكنهما متساويان. فثلاثة زائد ‪ﺱ‬‏ يساوي ‪ﺱ‬‏ زائد ثلاثة. إذن، علينا أن نفكر بعناية فيما يمكن فعله هنا. حسنًا ما يمكننا فعله هو ضرب البسط والمقام في سالب واحد. وهو ما يعطينا هذه التعابير، وبإعادة ترتيبها، نحصل على الإجابة التي نريدها.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.