فيديو الدرس: خواص التباديل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

خواص التباديل

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص التباديل لتبسيط المقادير وحل المعادلات. أولًا، دعونا نتناول ما نعرفه عن التباديل. التباديل عبارة عن تنظيم مجموعة من العناصر حيث يكون الترتيب مهمًّا ولا يسمح بالتكرار. ويمكننا القول إن التباديل تمثل العد دون إحلال حيث يكون الترتيب مهمًّا. يمكننا حساب عدد التباديل الممكنة لمجموعة من العناصر باستخدام هذه الصيغة: ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. وذلك بمعلومية أن ﻥ وﺭ عددان صحيحان غير سالبين يحققان المتباينة ﻥ أكبر من أو يساوي ﺭ، ويمكننا القول إن عدد التباديل ﻥﻝﺭ يمثل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد ﺭ من العناصر من بين إجمالي ﻥ من العناصر المختلفة.

من المهم أيضًا ملاحظة الترميزات الشائعة الأخرى المستخدمة للتعبير عن ﻥﻝﺭ. قد يكتب حرف ﻥ مرتفعًا، ثم حرف ﻝ، ثم حرف ﺭ منخفضًا، أو يكتب حرف ﻝ، ثم حرف ﻥ مرتفعًا، وحرف ﺭ منخفضًا، أو يكتب حرف ﻝ، ثم ﻥ فاصلة ﺭ منخفضًا، أو ﻝ وبين قوسين ﻥ، ﺭ. تمثل كل من هذه الترميزات عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيب عدد ﺭ من العناصر من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر دون تكرار. الآن، دعونا نتأمل بعض الخصائص التي تشترك فيها جميع التباديل. لأي عدد تباديل ﻥﻝﺭ، فإنه يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد تباديل ﺭ ناقص واحد‎‎

إذا استخدمنا هذه الخاصية لإيجاد التباديل خمسة ﻝ ثلاثة، فسنجد أنها تساوي خمسة في أربعة ﻝ اثنين. نعرف أن ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. لذا، يمكننا إعادة كتابة خمسة ﻝ ثلاثة على صورة مضروب خمسة على مضروب اثنين. أيضًا، يمكننا إعادة كتابة أربعة ﻝ اثنين على صورة مضروب أربعة على مضروب اثنين. بفك المضروبات في كلا طرفي المعادلة، نجد أن الطرفين متساويان بالفعل. كل من خمسة ﻝ ثلاثة وخمسة في أربعة ﻝ اثنين يساوي ٦٠.

إحدى خواص المضروبات ذات الصلة والتي نستخدمها غالبًا عند التعامل مع التباديل هي مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد، ما يعني أن مضروب ستة يساوي ستة في مضروب ستة ناقص واحد. مضروب ستة يساوي ستة في مضروب خمسة. يمكننا توسيع هذه الخاصية أكثر فنقول إن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين. باستخدام المثال الذي يتضمن مضروب ستة مجددًا، يمكننا توضيح أنه يساوي ستة في خمسة في مضروب أربعة. قبل المضي قدمًا، علينا ملاحظة أن مضروب صفر يساوي واحدًا، ومضروب واحد أيضًا يساوي واحدًا.

يمكننا الآن تناول بعض الأمثلة التي نستخدم فيها تعريف التباديل وخواصها لحل المعادلات.

أوجد قيمة ١٢٣ﻝ١٠ على ١٢٢ﻝ تسعة.

لدينا كسر يحتوي بسطه ومقامه على تباديل على صورة ﻥﻝﺭ. إحدى طرق حل هذه المسألة هي فك البسط والمقام. البسط ١٢٣ﻝ١٠ يصبح مضروب ١٢٣ على مضروب ١٢٣ ناقص ١٠. بعد ذلك، نقسم ذلك على مضروب ١٢٢ مقسومًا على مضروب ١٢٢ ناقص تسعة. بحساب ناتج عملية الطرح، يمكننا تبسيط كلا هذين المقامين إلى مضروب ١١٣. نعلم أن القسمة على كسر تكافئ الضرب في مقلوبه. يحذف مضروب ١١٣ في البسط مع مضروب ١١٣ في المقام. لإجراء المزيد من التبسيط، يمكننا القول إن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. وذلك يعني أننا نستطيع إعادة كتابة مضروب ١٢٣ على صورة ١٢٣ في مضروب ١٢٢. في هذه الصورة، يمكننا أن نلاحظ سريعًا أن مضروب ١٢٢ في البسط والمقام يحذفان معًا، ويتبقى لنا ١٢٣.

لكن، ثمة طريقة مباشرة أكثر لحل هذه المسألة باستخدام إحدى خواص التباديل. وهي تنص على أن عدد التباديل بالصيغة ﻥﻝﺭ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد ﻝ ﺭ ناقص واحد. إذن، ١٢٣ﻝ١٠ يساوي ١٢٣ في ١٢٢ﻝ تسعة. باستخدام طريقة التبسيط هذه، سنتمكن من حذف ١٢٢ﻝ تسعة من البسط والمقام دون فكهما على صورة مضروب. وفي كلتا الحالتين، نجد أن ١٢٣ﻝ١٠ على ١٢٣ﻝ تسعة يساوي ١٢٣.

لنلق نظرة على مثال آخر.

إذا كان ﻥﻝ١٥ يساوي ٢٣ في ﻥ ناقص واحد ﻝ١٤، فأوجد قيمة ﻥ.

في هذه المعادلة، لدينا تباديل تساوي ٢٣ مضروبًا في تباديل أخرى. تخبرنا صيغة التباديل هذه بعدد الطرق التي يمكننا بها ترتيب عدد ﺭ من العناصر المختارة من مجموعة من ﻥ من العناصر من دون تكرار. في الطرف الأيمن، لدينا عدد ﻥ من العناصر. وفي الطرف الأيسر، لدينا ﻥ ناقص واحد من العناصر. عدد العناصر التي نختارها، أي ﺭ، في الطرف الأيمن يساوي ١٥. وذلك يعني أنه يمكننا القول إنه في الطرف الأيسر، لدينا ﺭ ناقص واحد، وهو ما يساوي ١٤. وهذا يعني أن المعادلة التي لدينا تتناسب مع الصيغة ﻥﻝﺭ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد ﻝ ﺭ ناقص واحد. ويعني أيضًا أن ﻥ يساوي ٢٣. بالتعويض في الصيغة بالقيم التي نعرفها، نحصل على ٢٣ﻝ١٥ يساوي ٢٣ في ٢٢ﻝ١٤.

يمكننا التأكد من أن القيم متكافئة باستخدام زر التباديل على الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر. ومن ثم، نكون أوجدنا أن ﻥ هنا يساوي ٢٣. لننتقل إلى مثال ثالث.

إذا كان ٤٩ﻝﺭ زائد ثلاثة يساوي ٣٤ في ٤٩ﻝﺭ زائد اثنين، فأوجد قيمة مضروب ﺭ ناقص ستة.

إحدى طرق حل هذا المثال هي تحويل كل من هذه التباديل إلى صورة مضروب في البداية، باستخدام التعريف ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. نعيد كتابة ٤٩ﻝﺭ زائد ثلاثة على صورة مضروب ٤٩ على مضروب ٤٩ ناقص ﺭ زائد ثلاثة. انتبه إلى ملاحظة أن ﺭ، أي عدد العناصر التي نختارها، يساوي في هذه الحالة ﺭ زائد ثلاثة، وأن الطرح يشمل كلًّا من ﺭ وثلاثة. يصبح الطرف الآخر من المعادلة ٣٤ في مضروب ٤٩ على مضروب ٤٩ ناقص ﺭ زائد اثنين. لدينا مضروب ٤٩ في البسط في كلا طرفي المعادلة، وهو ما يعني أنه يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في واحد على مضروب ٤٩.

في الطرف الأيمن، سيتبقى لدينا العدد واحد في البسط. وفي المقام، يمكننا طرح ﺭ وطرح ثلاثة من ٤٩، وهو ما سيعطينا واحدًا على مضروب ٤٦ ناقص ﺭ. يصبح البسط في الطرف الأيسر ٣٤، ويصبح المقام مضروب ٤٧ ناقص ﺭ. عند هذه الخطوة، قد لا يبدو واضحًا ما ينبغي علينا فعله. ولكن بما أننا نحاول الحل لإيجاد قيمة ﺭ، فسيكون من الجيد أن نجعل كلتا القيمتين اللتين تتضمنان ﺭ في نفس الطرف من المعادلة. إذن، سنضرب كلا طرفي هذه المعادلة في مضروب ٤٧ ناقص ﺭ. هذا يعطينا مضروب ٤٧ ناقص ﺭ على مضروب ٤٦ ناقص ﺭ يساوي ٣٤. المقام لدينا هو مضروب عدد يقل بمقدار واحد عن العدد الذي نحسب مضروبه في البسط.

نعلم أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. يمكننا تطبيق هذا هنا، ولكن علينا أن ننتبه. ففي هذه الحالة، ﻥ يساوي ٤٧ ناقص ﺭ. وذلك يعني أن مضروب ٤٧ ناقص ﺭ يساوي ٤٧ ناقص ﺭ في مضروب ٤٧ ناقص ﺭ ناقص واحد. يمكننا تبسيط مضروب ٤٧ ناقص ﺭ ليساوي ٤٧ ناقص ﺭ في مضروب ٤٦ ناقص ﺭ. إذا عوضنا بهذا في البسط، يحذف مضروب ٤٦ ناقص ﺭ من البسط والمقام معًا. ومن ثم، يصبح لدينا ٤٧ ناقص ﺭ يساوي ٣٤. إذا طرحنا ٤٧ من كلا الطرفين، نجد أن سالب ﺭ يساوي سالب ١٣، وهو ما يجعل ﺭ يساوي موجب ١٣. خطوتنا الأخيرة ستكون حساب قيمة مضروب ﺭ ناقص ستة، وهو ما نعرف الآن أنه يساوي مضروب ١٣ ناقص ستة. عند حل هذا من دون استخدام الآلة الحاسبة أو باستخدامها، نجد أن مضروب سبعة يساوي ٥٠٤٠.

في المثال التالي، سنتناول معادلة تحتوي على مضروبات وتباديل في المعادلة وسنحلها لإيجاد قيمة مجهولة.

إذا كان مضروب ﺱ ناقص ٤٧ في ﺱﻝ٤٧ يساوي ٣٩٠٦ في مضروب ﺱ ناقص اثنين، فأوجد قيمة ﺱ.

إذا نظرنا إلى المعادلة المعطاة، فسنجد أن لدينا قيمة مجهولة وهي ﺱ، ومضروبين مختلفين، ويمثل ﺱ المجموعة التي نختار منها التباديل. نعلم أنه لأي مضروب على الصورة ﻥﻝﺭ، يمكننا إعادة كتابته على صورة مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ، وهو ما يعني أنه يمكننا إعادة كتابة ﺱﻝ٤٧ على صورة مضروب ﺱ على مضروب ﺱ ناقص ٤٧. إذا كتبنا بقية المعادلة، فسنلاحظ أن لدينا مضروب ﺱ ناقص ٤٧ في البسط والمقام في الطرف الأيمن. ومن ثم، تبسط المعادلة إلى مضروب ﺱ يساوي ٣٩٠٦ في مضروب ﺱ ناقص اثنين.

وبما أننا نحاول الحل لإيجاد قيمة ﺱ، نريد أن نجعل كلا العاملين اللذين يحتويان على ﺱ في نفس الطرف من المعادلة. للقيام بذلك، نقسم الطرفين الأيمن والأيسر من المعادلة على مضروب ﺱ ناقص اثنين. وبذلك يصبح لدينا مضروب ﺱ على مضروب ﺱ ناقص اثنين يساوي ٣٩٠٦. عند هذه الخطوة، يبدو أنه ليس من الممكن التبسيط أكثر من ذلك. ولكن تذكر أنه يمكن كتابة مضروب ﻥ على صورة ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. في الواقع، يمكنك توسيع هذه الخاصية لتصبح مضروب ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين.

بالنظر إلى البسط، أي مضروب ﺱ، نجد أنه يمكن فكه وإعادة كتابته على صورة ﺱ في ﺱ ناقص واحد في مضروب ﺱ ناقص اثنين. ومن ثم، يظهر العامل، مضروب ﺱ ناقص اثنين، في كل من البسط والمقام، ويمكن حذفه ليتبقى لدينا ﺱ في ﺱ ناقص واحد يساوي ٣٩٠٦. في أي تباديل، لا بد أن تكون القيمة ﻥ عددًا صحيحًا غير سالب. هذا يعني أن القيمة المجهولة ﺱ تساوي عددًا صحيحًا. نريد معرفة العدد الصحيح الذي يساويه ﺱ والعدد الصحيح الذي يقل عنه بمقدار واحد، اللذين حاصل ضربهما يساوي ٣٩٠٦. إحدى طرق تقدير هذا هي استخدام الآلة الحاسبة وإيجاد الجذر التربيعي للعدد ٣٩٠٦، وهو تقريبًا ٦٢٫٥، ثم تقريب القيمة لأقرب عدد صحيح وهو ٦٢. بعد ذلك نقسم ٣٩٠٦ على ٦٢ على الآلة الحاسبة، ونحصل على ٦٣. وبما أن ٦٣ في ٦٢ يساوي ٣٩٠٦، يمكننا القول إن ﺱ يساوي ٦٣.

توجد طريقة أخرى لحل هذه المسألة وهي تكوين معادلة تربيعية بضرب ﺱ في ﺱ ناقص واحد. ثم بجعل أحد طرفي هذه المعادلة يساوي صفرًا، يمكنك الحل باستخدام القانون العام أو التحليل. إذا حللت السؤال باستخدام القانون العام، فمن المهم ملاحظة أنك ستجد أن ﺱ يساوي قيمتين مختلفتين، وإحدى هاتين القيمتين ستكون سالبة. عند الحل باستخدام القانون العام، ستحصل على ﺱ يساوي ٦٣ وﺱ يساوي سالب ٦٢. سالب ٦٢ ليس حلًّا ممكنًا لأن قيمة ﺱ هنا لا بد أن تكون عددًا صحيحًا غير سالب. لا يمكن أن يكون لدينا قيمة سالبة لـ ﻥ لأن التباديل هي عدد طرق اختيار ﺭ من العناصر من مجموعة من ﻥ من العناصر المختلفة. هذا يجعل الخيار الصحيح الوحيد لـ ﻥ هو ٦٣. ويمكنك أيضًا التأكد من صحة هذه القيمة عن طريق التعويض بـ ٦٣ في المعادلة الأصلية.

ختامًا، دعونا نستعرض النقاط الرئيسية. عدد التباديل ﺭ المأخوذة من مجموعة عناصر عددها ﻥ، يعطى بالصيغة ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. باستخدام خاصية المضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد، يمكننا تبسيط المقادير الكسرية المتضمنة للتباديل. وأخيرًا، باستخدام خاصية التباديل التي تنص على أن ﻥﻝﺭ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد ﻝﺭ ناقص واحد، يمكننا تبسيط بعض المقادير المتضمنة للتباديل.