فيديو السؤال: إيجاد قوتين مجهولتين من مجموعة قوى تؤثر على مربع في حالة اتزان بمعلومية محصلة هذه القوى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في المربع ﺃﺏﺟﺩ، النقطة ﻡ نقطة تقاطع القطرين، وﻫ نقطة منتصف ﺃﺏ، وﻭ نقطة منتصف ﺏﺟ. توجد ثلاث قوى مقاديرها ﻭ واحد وﻭ اثنان و٤١ نيوتن تؤثر على النقطة ﻡ في الاتجاهات ﻡﻫ وﻡﻭ وﻡﺩ، على الترتيب. إذا كانت القوى الثلاث في حالة اتزان، فأوجد قيمتي ﻭ واحد وﻭ اثنين.

قبل أن نبدأ في حل هذا السؤال، علينا رسم شكل. لدينا المربع ﺃﺏﺟﺩ، كما هو موضح. علمنا أن ﻡ هي نقطة تقاطع القطرين، وﻫ هي نقطة منتصف ﺃﺏ، وﻭ هي نقطة منتصف ﺏﺟ. كما علمنا أن هناك ثلاث قوى تؤثر على النقطة ﻡ. القوة ﻭ واحد تؤثر في الاتجاه ﻡﻫ. والقوة ﻭ اثنان تؤثر في الاتجاه ﻡﻭ. وأخيرًا، لدينا قوة مقدارها ٤١ نيوتن تؤثر في الاتجاه ﻡﺩ. بما أن القوى الثلاث في حالة اتزان، فهناك عدة طرق لحل هذه المسألة. وفي هذا السؤال، سنستخدم نظرية لامي.

تتعلق هذه النظرية بافتراض أن لدينا ثلاث قوى في حالة اتزان تؤثر عند نقطة ما، هذه القوى هي ق واحد وق اثنان وق ثلاثة، حيث الزاوية المحصورة بين القوتين ق اثنان وق ثلاثة هي 𝛼، والزاوية بين ق واحد وق ثلاثة هي 𝛽، والزاوية بين ق واحد وق اثنان هي 𝛾. وفي هذه الحالة، ق واحد على جا 𝛼 يساوي ق اثنان على جا 𝛽. وهو ما يساوي ق ثلاثة على جا 𝛾. قد تلاحظ أيضًا أن هذه هي صيغة قاعدة الجيب في حساب المثلثات. في هذا السؤال، قياس الزاوية المحصورة بين القوة ﻭ واحد والقوة ﻭ اثنين يساوي ٩٠ درجة لأنهما متعامدتان. يلتقي قطرا المربع أيضًا ليكونا زاويتين قائمتين. وبما أن نصف قياس الزاوية القائمة يساوي ٤٥ درجة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين ﻭ واحد والقوة التي مقدارها ٤١ نيوتن يساوي ١٣٥ درجة. وقياس الزاوية المحصورة بين ﻭ اثنين والقوة التي مقدارها ٤١ نيوتن يساوي ١٣٥ درجة أيضًا؛ لأن مجموع قياسات زوايا الدائرة أو عند نقطة يساوي ٣٦٠ درجة.

بالتعويض بهذه القيم في نظرية لامي، نحصل على ٤١ على جا ٩٠ يساوي ﻭ واحد على جا ١٣٥، وهو ما يساوي ﻭ اثنين على جا ١٣٥. لننظر إلى أول حدين. ‏جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا. هذا يعني أن ٤١ يساوي ﻭ واحد مقسومًا على جا ١٣٥. وبضرب طرفي هذه المعادلة في جا ١٣٥، نحصل على ﻭ واحد يساوي ٤١ مضروبًا في جا ١٣٥. يمكننا كتابة ذلك ببساطة على الآلة الحاسبة. لكننا نعلم أن جا ٤٥ درجة يساوي واحدًا على جذر اثنين. ويمكن كتابة ذلك أيضًا على الصورة جذر اثنين على اثنين. إذا كان مجموع قياسي زاويتين يساوي ١٨٠ درجة، فإن جيب كل من هاتين الزاويتين يكون مساويًا للآخر. إذن، جا ١٣٥ يساوي أيضًا جذر اثنين على اثنين.

هذا يعني أن ﻭ واحد يساوي ٤١ مضروبًا في جذر اثنين على اثنين. وبذلك، يمكننا القول إن القوة ﻭ واحد تساوي ٤١ جذر اثنين على اثنين نيوتن. إذا نظرنا إلى الحدين الثاني والثالث في نظرية لامي، فسنلاحظ أن المقامين متساويان. فكلاهما يساوي ١٣٥ درجة. وإذا كان الكسران متساويين ومقاماهما متساويين، فهذا يعني أن البسطين لا بد أن يكونا متساويين أيضًا. وبما أن ﻭ واحد يساوي ٤١ جذر اثنين على اثنين، فإن ﻭ اثنين لا بد أن يساوي أيضًا ٤١ جذر اثنين على اثنين. إذن، القوتان هنا تساويان ٤١ جذر اثنين على اثنين نيوتن.