فيديو السؤال: إيجاد الفترات التي تكون فيها الدالة الكثيرة الحدود تزايدية وتناقصية الرياضيات

أوجد الفترات التي تكون فيها ﺩ(ﺱ) = (ﺱ^٤‏/‏٢) − ٤ﺱ^٢ + ٢ تزايدية أو تناقصية.

٠٧:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة على اثنين ناقص أربعة ﺱ تربيع زائد اثنين تزايدية أو تناقصية.

يعطينا السؤال الدالة ﺩﺱ، وهي دالة كثيرة الحدود، ويطلب منا إيجاد الفترات التي تكون فيها هذه الدالة تزايدية أو تناقصية. نتذكر أنه في حالة الدالة القابلة للتفاضل ﺩ، نقول إن ﺩ دالة تناقصية عندما تكون مشتقتها أصغر من صفر. ونقول إن ﺩ دالة تزايدية عندما تكون مشتقتها أكبر من صفر. بما أن لدينا الدالة ﺩﺱ، وهي دالة كثيرة الحدود، فهي قابلة للتفاضل لجميع الأعداد الحقيقية. إذن علينا فقط إيجاد مشتقة الدالة ﺩ شرطة ﺱ.

يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، التي تنص على أنه لأي ثابتين ﺃ وﻥ، مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. بتطبيق هذا على كل حد في الدالة ﺩﺱ، نحصل على أربعة في ﺱ أس أربعة ناقص واحد على اثنين ناقص اثنين في أربعة في ﺱ أس اثنين ناقص واحد. ومشتقة الثابت اثنين تساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذا التعبير لنحصل على اثنين ﺱ تكعيب ناقص ثمانية ﺱ. علينا إيجاد قيم ﺱ حين يكون هذا التعبير سالبًا، وقيم ﺱ حين يكون هذا التعبير موجبًا. وبما أن مشتقة الدالة ﺩ شرطة ﺱ كثيرة حدود تكعيبية، فسنفعل ذلك عن طريق رسم تمثيل بياني لـ ﺩ شرطة ﺱ.

لنبدأ بإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ لكثيرة الحدود. نلاحظ أن الحدين يشتركان في العامل ﺱ، وكذلك في العامل اثنين. إذن يمكننا أخذ اثنين ﺱ عاملًا مشتركًا. وهذا يعطينا اثنين ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص أربعة. ويمكننا ملاحظة أن ﺱ تربيع ناقص أربعة هو فرق بين مربعين. ومن ثم، يمكننا تحليل ذلك لنحصل على اثنين ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين مضروبًا في ﺱ زائد اثنين. لإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ، علينا إيجاد القيم التي تجعل هذا يساوي صفرًا. نعلم أنه إذا كان حاصل ضرب ثلاثة أعداد يساوي صفرًا، فأحد العوامل لا بد أن يساوي صفرًا. وبما أن الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ ستتحقق عندما تكون القيمة المخرجة صفرًا، فيمكننا إيجاد تلك الأجزاء بجعل كل معامل يساوي صفرًا.

بجعل كل عامل من هذه العوامل يساوي صفرًا، نحصل على ﺱ يساوي صفرًا أو ﺱ يساوي اثنين أو ﺱ يساوي سالب اثنين. أصبحنا جاهزين الآن لرسم المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ. سنبدأ بتحديد الأجزاء الثلاثة المقطوعة من المحور ﺱ على شبكة المحاور. ونلاحظ أننا نرسم المعادلة التكعيبية ﺹ يساوي اثنين ﺱ تكعيب ناقص ثمانية ﺱ. تحتوي كثيرة الحدود هذه على الحد الرئيسي اثنين ﺱ تكعيب. وبما أن المعامل الرئيسي هو اثنان، فسيكون لهذا المنحنى شكل مشابه لـ ﺹ يساوي ﺱ تكعيب. باستخدام هذا، نحصل على الرسم التالي للمنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ. تذكر أننا نريد معرفة متى تكون ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر، ومتى تكون ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر.

من الرسم، يمكننا ملاحظة أن ﺩ شرطة ﺱ تكون موجبة عندما يكون ﺱ أكبر من اثنين أو عندما يكون ﺱ بين سالب اثنين وصفر. وعليه، فإن ﺩ شرطة ﺱ تكون موجبة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب اثنين وأصغر من صفر، أو عندما يكون ﺱ أكبر من اثنين. وبما أن السؤال يطلب منا كتابة ذلك بدلالة الفترات، فهذا يماثل قولنا إن ﺩ دالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى صفر، وعلى الفترة المفتوحة من اثنين إلى ∞. يمكننا تكرار العملية نفسها لتحديد الموضع الذي تكون فيه الدالة تناقصية. نلاحظ من الرسم أن الدالة ﺩ شرطة ﺱ تقع أسفل المحور ﺱ عندما يكون ﺱ أقل من سالب اثنين أو عندما يكون ﺱ بين صفر واثنين.

بذلك نكون قد توصلنا إلى أن مشتقة ﺩ تكون أصغر من صفر عندما يكون ﺱ أصغر من سالب اثنين أو عندما يكون ﺱ أكبر من صفر وأصغر من اثنين. ويطلب منا السؤال كتابة ذلك بدلالة الفترات. إذن هذا يكافئ القول إن ﺩ دالة تناقصية على الفترة المفتوحة من ∞ إلى سالب اثنين، وعلى الفترة المفتوحة من صفر إلى اثنين. وبذلك نكون قد توصلنا إلى أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة على اثنين ناقص أربعة ﺱ تربيع زائد اثنين تكون تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب اثنين، وعلى الفترة المفتوحة من صفر إلى اثنين. وتكون هذه الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى صفر، وعلى الفترة المفتوحة من اثنين إلى ∞.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.