فيديو السؤال: إيجاد مركبة مجهولة في متجه قوة بمعلومية متجه عزم القوة حول نقطة الأصل في ثلاثة أبعاد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﻕ تساوي سالب ١٩ﺱ زائد ﻝﺹ زائد اثنين ﻉ تؤثر على النقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب ثلاثة، خمسة، سالب ثلاثة، وعزم ﻕ حول نقطة الأصل يساوي أربعة ﺱ زائد ٦٣ﺹ زائد ١٠١ﻉ، فأوجد قيمة ﻝ.

نتناول هنا القوة ﻕ التي تؤثر على النقطة ﺃ. ونعلم من المعطيات أن هذه القوة تولد عزمًا حول نقطة الأصل يمكن تمثيله بهذا المتجه. نلاحظ أن لدينا قيمًا عددية للمركبتين ﺱ وﻉ لـ ﻕ، غير أن المركبة ﺹ ممثلة بهذا الثابت ﻝ. وعلينا إيجاد قيمة ﻝ. لأن هذا السؤال يتناول متجه العزم الناتج عن قوة ثلاثية الأبعاد تؤثر عند نقطة معينة في الفضاء، دعونا نبدأ بتذكر المعادلة ﺟ يساوي ﺭ ضرب اتجاهي ﻕ.

توضح لنا هذه المعادلة أنه يمكننا حساب متجه العزم بإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الإزاحة المسمى ﺭ ومتجه القوة ﻕ. في هذه المعادلة، ﻕ ببساطة هي القوة التي تولد العزم. وهي بذلك تناظر المتجه المسمى ﻕ المعطى لنا في السؤال. وﺭ هو متجه الإزاحة للنقطة التي تؤثر عندها القوة بالنسبة إلى النقطة التي نحسب حولها العزوم.

في هذا السؤال، نعلم أن القوة تؤثر عند النقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب ثلاثة، خمسة، سالب ثلاثة. ولدينا في المعطيات عزم محسوب حول نقطة الأصل. هذا يعني أن المتجه ﺭ الذي سنستخدمه في العملية الحسابية يساوي متجه الإزاحة الممتد من نقطة الأصل إلى النقطة ﺃ. وهذا يماثل قولنا إنه متجه الإزاحة لـ ﺃ بالنسبة إلى نقطة الأصل. ومن السهل إيجاد هذا المتجه. علمنا من المعطيات أن إحداثيات النقطة ﺃ هي سالب ثلاثة، خمسة، سالب ثلاثة. بعبارة أخرى، تقع النقطة ﺃ عند سالب ثلاث وحدات في اتجاه المحور ﺱ، وخمس وحدات في اتجاه المحور ﺹ، وسالب ثلاث وحدات في اتجاه المحور ﻉ من نقطة الأصل. هذا يعني أن متجه الإزاحة الذي ينقلنا من نقطة الأصل إلى النقطة ﺃ يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد خمسة ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ.

يمكننا أيضًا ملاحظة أن متجه العزم ﺟ معطى في السؤال. وهو يساوي أربعة ﺱ زائد ٦٣ﺹ زائد ١٠١ﻉ. إذن بالنظر إلى هذه المعادلة، يبدو أننا نعرف الكثير عن المتجهات المستخدمة. فنحن لدينا ﺟ في معطيات السؤال، ويمكننا إيجاد مركبات ﺭ بسهولة، ونعرف مركبتين من المركبات الثلاث لـ ﻕ. الكمية المجهولة الوحيدة في هذه المعادلة هي المركبة ﺹ للمتجه ﻕ.

الآن، بما أننا نريد إيجاد هذه المركبة المجهولة لـ ﻕ، فربما يكون من المغري محاولة إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل ﻕ في طرف بمفرده. على سبيل المثال، قد نحاول قسمة طرفي المعادلة على المتجه ﺭ؛ لأن هذا قد يعطينا المتجه ﻕ، بما في ذلك مركبته المجهولة. لسوء الحظ، هذه الفكرة غير صحيحة. أولًا، لأنه لا يمكن قسمة متجه على متجه آخر. وثانيًا، لأن هذه المعادلة تستخدم الضرب الاتجاهي. وهو ليس مثل الضرب العام. لذا، حتى إذا كان باستطاعتنا قسمة طرفي المعادلة على المتجه ﺭ، ففي الواقع لن يساعدنا هذا في إعادة ترتيب المعادلة. وذلك لأن عملية الضرب الاتجاهي ليس لها معكوس، ما يعني أنه لا توجد طريقة لإعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل ﻕ في طرف بمفرده.

إذن، كيف نوجد هذه المركبة المجهولة لـ ﻕ؟ حسنًا، إليك هذه الفكرة. أولًا، نحصل على تعبير لمتجه العزم ﺟ عن طريق أخذ المتجه ﻕ كما هو موضح في هذا السؤال، والتعويض به في هذه المعادلة مع ﺭ. وبما أن ﻕ معبر عنه بدلالة هذه الكمية المجهولة ﻝ، فإن التعبير الذي سنحصل عليه لـ ﺟ سيكون أيضًا بدلالة ﻝ. بعد ذلك، نقارن هذا التعبير لـ ﺟ، وهو بدلالة ﻝ، مع المركبات الفعلية لـ ﺟ، المعطاة في السؤال. وبمقارنة المركبات في التعبير لدينا بالمركبات المعطاة في السؤال، سنتمكن من تكوين معادلات يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﻝ. لنبدأ إذن بحساب تعبير لـ ﺟ.

نعلم أن ﺟ يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺭ الذي أوجدناه، وﻕ المعطى لنا في السؤال. وحاصل الضرب الاتجاهي هذا يعطى بمحدد لمصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، حيث عناصر الصف العلوي هي متجهات الوحدة ﺱ، ﺹ، ﻉ. والعناصر الموجودة في الصف الأوسط هي المركبات ﺱ، ﺹ، ﻉ لمتجه الإزاحة ﺭ، وهي مكتوبة دون متجهات الوحدة الخاصة بها. والعناصر الموجودة في الصف السفلي هي مركبات ﻕ، وهي مكتوبة أيضًا دون متجهات الوحدة. هيا نبدأ بالتعويض بمركبات ﺭ. المركبة ﺱ للمتجه ﺭ هي سالب ثلاثة ﺱ. إذن، نكتب سالب ثلاثة هنا في المحدد لدينا. والمركبة ﺹ للمتجه ﺭ تساوي خمسة ﺹ. ومن ثم نكتب خمسة في هذا المكان. والمركبة ﻉ هي سالب ثلاثة ﻉ. وعليه، نكتب سالب ثلاثة هنا.

بعد ذلك، نفعل الشيء نفسه مع مركبات المتجه ﻕ. نعلم أن ﻕ يساوي سالب ١٩ﺱ زائد ﻝﺹ زائد اثنين ﻉ. إذن، العناصر الموجودة في الصف السفلي من هذا المحدد هي سالب ١٩، وﻝ، واثنان. بعد ذلك، علينا حساب قيمة هذا المحدد. وسنفعل ذلك في ثلاث خطوات. أولًا، لدينا متجه الوحدة ﺱ مضروبًا في خمسة في اثنين ناقص سالب ثلاثة في ﻝ. بعد ذلك، نطرح متجه الوحدة ﺹ مضروبًا في سالب ثلاثة في اثنين ناقص سالب ثلاثة في سالب ١٩. وأخيرًا، نجمع متجه الوحدة ﻉ مضروبًا في سالب ثلاثة في ﻝ ناقص خمسة في سالب ١٩.

يمكننا الآن تبسيط كل حد من هذه الحدود. بالنظر إلى الحد الأول، نجد أن لدينا خمسة في اثنين وهو ما يساوي ١٠. ثم علينا طرح سالب ثلاثة ﻝ، وهو ما يماثل جمع ثلاثة ﻝ. بالنظر إلى الحد التالي، نجد أن سالب ثلاثة في اثنين يساوي سالب ستة. ثم علينا ضرب سالب ثلاثة في سالب ١٩. حسنًا، سالب ثلاثة في سالب ١٩ يساوي موجب ٥٧. وعليه، يبقى لدينا سالب ستة ناقص ٥٧، وهو ما يساوي سالب ٦٣. ولأن لدينا سالب ٦٣ في سالب ﺹ، إجمالًا يصبح هذا الحد موجب ٦٣ﺹ.

والآن، بالنظر إلى الحد الأخير، نلاحظ أن لدينا بين القوسين سالب ثلاثة ﻝ ناقص خمسة في سالب ١٩. خمسة في سالب ١٩ يساوي سالب ٩٥. وبما أننا نطرح هذه القيمة فإن هذا يماثل جمع ٩٥. ولتكون الأمور أكثر اتساقًا، دعونا نبدل مكاني سالب ثلاثة ﻝ وموجب ٩٥ لنحصل على ٩٥ ناقص ثلاثة ﻝ. وأخيرًا، سنغير مكاني متجهي الوحدة ﺱ وﻉ ليكونا في نهاية هذين الحدين.

حسنًا، لقد أكملنا الآن أول خطوة في القائمة. حصلنا على تعبير لمتجه العزم ﺟ بدلالة هذه الكمية المجهولة ﻝ.

يمكننا الآن الانتقال إلى خطوة الحل الثانية، وهي مقارنة التعبير الذي لدينا لـ ﺟ بالمركبات الفعلية لـ ﺟ المعطاة في السؤال. الفكرة وراء فعل ذلك هي أن التعبير الذي أوجدناه يصف بالضبط العزم نفسه، مثل هذا المتجه المعطى في السؤال. في الواقع، نلاحظ أن المركبة ﺹ للتعبير لدينا هي نفسها المركبة ﺹ المعطاة في السؤال، وهو ما يعد إشارة جيدة على أننا على المسار الصحيح. وحقيقة أن هذين المتجهين يعبران عن الكمية نفسها، تعني أن المركبتين ﺱ والمركبتين ﻉ لهذين المتجهين يجب أن تكونا متساويتين أيضًا.

وهذا يتيح لنا تكوين معادلتين. أولًا، بما أن المركبة ﺱ للتعبير لدينا يجب أن تساوي المركبة ﺱ لهذا المتجه، يمكننا القول إن ١٠ زائد ثلاثة ﻝ يجب أن يساوي أربعة. وبما أن المركبة ﻉ للتعبير لدينا يجب أن تساوي المركبة ﻉ المعطاة في السؤال، يمكننا أيضًا القول إن ٩٥ ناقص ثلاثة ﻝ يساوي ١٠١. وهاتان معادلتان خطيتان لهما كمية واحدة مجهولة، وهي ﻝ. هذا يعني أنه بحل أي من هاتين المعادلتين سنحصل على قيمة ﻝ. إذا بدأنا بالمعادلة الموجودة في اليمين، فسنجد أن طرح ١٠ من كلا الطرفين يعطينا ثلاثة ﻝ يساوي سالب ستة. وبقسمة الطرفين على ثلاثة، نجد أن ﻝ يساوي سالب اثنين.

لكي نتحقق من الإجابة، دعونا نحل هذه المعادلة أيضًا لنرى إذا ما كانت ستعطينا الناتج نفسه. بطرح ٩٥ من طرفي المعادلة، نحصل على سالب ثلاثة ﻝ يساوي ستة. وبقسمة طرفي المعادلة على سالب ثلاثة، نحصل أيضًا على ﻝ يساوي سالب اثنين. إذن، هذه هي الإجابة النهائية. بناء عليه، من خلال إيجاد تعبير لـ ﺟ باستخدام المعطيات الموجودة في السؤال، ومقارنة هذا التعبير بالقيم العددية لمركبات ﺟ المعطاة لنا في السؤال أيضًا، استطعنا إيجاد المركبة المجهولة للقوة.

إذن، عندما تؤثر قوة تساوي سالب ١٩ﺱ زائد ﻝﺹ زائد اثنين ﻉ على النقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب ثلاثة، خمسة، سالب ثلاثة، ونعلم أن العزم الناتج حول نقطة الأصل يساوي أربعة ﺱ زائد ٦٣ﺹ زائد ١٠١ﻉ، فإن قيمة ﻝ يجب أن تساوي سالب اثنين.