نسخة الفيديو النصية
جسم كتلته ١٢ كيلوجرامًا وضع على مستوى أفقي خشن. سحب الجسم بواسطة قوة خط عملها لأعلى ويصنع زاوية 𝜃 مع المستوى، حيث جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس. إذا تحرك الجسم من السكون مسافة ٨٠٤ سنتيمترات في أربع ثوان، وكان معامل الاحتكاك ثلاثة أرباع، فأوجد مقدار القوة الساحبة. افترض أن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
سنبدأ برسم شكل يمثل هذا السؤال. علمنا أن هناك جسمًا كتلته ١٢ كيلوجرامًا موضوع على مستوى أفقي خشن. وهذا ينتج عنه قوة مؤثرة لأسفل مقدارها ١٢ﺩ؛ حيث ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. باستخدام قانون نيوتن الثالث، ستكون هناك قوة رد فعل عمودي تؤثر في الاتجاه المضاد، وهي هنا تؤثر رأسيًّا لأعلى. سحب الجسم بواسطة قوة خط عملها لأعلى ويصنع زاوية 𝜃 مع المستوى، كما هو موضح. علمنا أن جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس. ويمكننا إيجاد المركبتين الأفقية والرأسية لهذه القوة باستخدام معرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.
بما أن المستوى خشن، فستوجد قوة احتكاك ﺡﻙ تؤثر عكس اتجاه الحركة. وبما أن معامل الاحتكاك هو ثلاثة أرباع، يمكننا إيجاد تعبير لذلك باستخدام الصيغة ﺡﻙ يساوي ﻡﻙ مضروبًا في ﺭ. إذن، قوة الاحتكاك تساوي ثلاثة أرباع قوة رد الفعل العمودي. هدفنا في هذا السؤال هو إيجاد مقدار القوة الساحبة ﻕ. لذا، سنبدأ بالتحليل رأسيًّا وأفقيًّا.
كما ذكرنا من قبل، يمكننا إيجاد المركبتين الأفقية والرأسية لهذه القوة باستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. في المثلث القائم الزاوية المرسوم، تكون المركبة الأفقية مجاورة للزاوية 𝜃، وتكون المركبة الرأسية مقابلة للزاوية 𝜃. والقوة ﻕ هي وتر المثلث القائم. نعلم أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وبما أن جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس، يصبح لدينا ثلاثة أخماس يساوي ﺹ على ﻕ. وبضرب الطرفين في ﻕ، نحصل على ﺹ يساوي ثلاثة أخماس ﻕ. وعليه، فإن المركبة الرأسية للقوة هي ثلاثة أخماس ﻕ وتؤثر رأسيًّا لأعلى.
باستخدام ما نعرفه عن ثلاثية فيثاغورس ثلاثة، أربعة، خمسة، نعلم أنه إذا كان جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس، فإن جتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس، وهذا يساوي ﺱ على ﻕ. مرة أخرى، يمكننا ضرب الطرفين في ﻕ بحيث تكون المركبة الأفقية للقوة هي أربعة أخماس ﻕ. يمكننا الآن التحليل أفقيًّا ورأسيًّا باستخدام قانون نيوتن الثاني ﻕ يساوي ﻙﺟ. مجموع القوى لدينا يساوي الكتلة مضروبة في العجلة.
في الاتجاه الأفقي، لدينا قوتان؛ القوة أربعة أخماس ﻕ، وقوة الاحتكاك ﺡﻙ. باعتبار أن الاتجاه الموجب هو اتجاه الحركة، نجد أن مجموع القوتين هو أربعة أخماس ﻕ ناقص ﺡﻙ. وهذا يساوي الكتلة التي مقدارها ١٢ كيلوجرامًا مضروبة في العجلة ﺟ، التي لا نعرف مقدارها حتى الآن. يمكننا التعويض عن قوة الاحتكاك ﺡﻙ بثلاثة أرباع مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي.
بالتحليل رأسيًّا، حيث يكون الاتجاه الموجب رأسيًّا لأعلى، يصبح لدينا ﺭ زائد ثلاثة أخماس ﻕ ناقص ١٢ﺩ. ونظرًا لأن الجسم لا يتحرك بعجلة في هذا الاتجاه، فإن هذا يساوي صفرًا. وبما أن ١٢ مضروبًا في ٩٫٨ يساوي ١١٧٫٦، يمكن تبسيط ذلك إلى ﺭ زائد ثلاثة أخماس ﻕ ناقص ١١٧٫٦ يساوي صفرًا. أصبح لدينا الآن معادلتان، لكنهما تتضمنان ثلاث قيم مجهولة. يمكننا حساب قيمة العجلة ﺟ باستخدام بعض المعطيات الإضافية في السؤال التي لم نستخدمها حتى الآن.
علمنا من المعطيات أن الجسم يبدأ الحركة من السكون ويتحرك مسافة ٨٠٤ سنتيمترات في أربع ثوان. يمكننا استخدام معادلات الحركة بعجلة ثابتة لحساب العجلة ﺟ. يبدأ الجسم حركته من السكون، إذن ﻉ صفر يساوي صفر متر لكل ثانية. ويتحرك الجسم مسافة ٨٠٤ سنتيمترات أو ٨٫٠٤ أمتار في أربع ثوان. وعليه، فإن ﻑ يساوي ٨٫٠٤ وﻥ يساوي أربعة. سنستخدم المعادلة ﻑ يساوي ﻉ صفرﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع.
بالتعويض بالقيم لدينا، نجد أن ٨٫٠٤ يساوي صفرًا مضروبًا في أربعة زائد نصف مضروبًا في ﺟ مضروبًا في أربعة تربيع. يبسط الطرف الأيسر إلى ثمانية ﺟ. ويمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ثمانية، ما يعطينا ﺟ يساوي ٢٠١ على ٢٠٠، وهو ما يساوي ١٫٠٠٥ متر لكل ثانية مربعة. يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة رقم واحد، بحيث يمكن تبسيط هذه المعادلة إلى أربعة أخماس ﻕ ناقص ثلاثة أرباع ﺭ يساوي ١٢٫٠٦.
أصبح لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية يمكننا حله لحساب قيمة ﻕ. إحدى طرق حل ذلك هي التعويض. بطرح ثلاثة أخماس ﻕ وإضافة ١١٧٫٦ إلى طرفي المعادلة الثانية، نحصل على ﺭ يساوي ١١٧٫٦ ناقص ثلاثة أخماس ﻕ. يمكننا التعويض بهذا التعبير الذي يدل على ﺭ في المعادلة رقم واحد. وهذا يعطينا أربعة أخماس ﻕ ناقص ثلاثة أرباع مضروبًا في ١١٧٫٦ ناقص ثلاثة أخماس ﻕ يساوي ١٢٫٠٦.
بفك القوسين بالتوزيع، نحصل على أربعة أخماس ﻕ ناقص ٨٨٫٢ زائد تسعة على ٢٠ﻕ يساوي ١٢٫٠٦. يمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيمن وإضافة ٨٨٫٢ إلى كلا الطرفين. أربعة أخماس ﻕ زائد تسعة على ٢٠ﻕ يساوي خمسة أرباع أو ١٫٢٥ﻕ. وهذا يساوي ١٠٠٫٢٦. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ١٫٢٥، فنجد أن ﻕ يساوي ٨٠٫٢٠٨.
إذن، مقدار القوة الساحبة ﻕ يساوي ٨٠٫٢٠٨ نيوتن.