فيديو الدرس: البعد العمودي بين النقاط والمستويات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب البعد العمودي بين مستوى ونقطة، والبعد العمودي بين مستوى وخط مستقيم يوازيه، والبعد العمودي بين مستويين متوازيين باستخدام صيغة.

١٦:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب البعد العمودي بين مستوى ونقطة، والبعد العمودي بين مستوى وخط مستقيم يوازيه، والبعد العمودي بين مستويين متوازيين باستخدام صيغة.

لإيجاد أقصر مسافة بين نقطة ومستوى، علينا أولًا معرفة المقصود بأقصر مسافة بين هذين العنصرين الهندسيين. دعونا نبدأ بالنظر إلى المستوى الذي معادلته العامة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا، ونقطة إحداثياتها هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد.

لإيجاد أقصر مسافة بين هذين العنصرين، دعونا ننظر أولًا إلى المسافة بين النقطة ﻡ والنقطة ﺭ التي تقع على المستوى. يمكننا إثبات أن هذه ليست أقصر مسافة بين النقطة ﻡ والمستوى عن طريق رسم المثلث القائم الزاوية التالي. سنختار النقطة ﻥ على المستوى بحيث تكون القطعة المستقيمة ﻡﻥ عمودية على المستوى. نلاحظ أن القطعة المستقيمة ﻡﺭ هي وتر المثلث القائم الزاوية؛ ما يعني أنها أطول من الضلعين الآخرين. أو تحديدًا أن طول ﻡﻥ أقصر من ﻡﺭ. وبما أنه يمكننا رسم هذا المثلث لأي نقطة ﺭ تقع على المستوى، فإن القطعة المستقيمة ﻡﻥ هي أقصر مسافة بين النقطة ﻡ والمستوى.

في هذا الفيديو، سوف نستخدم فقط الصيغة التي يمكن الاستعانة بها لحساب هذه المسافة التي سنطلق عليها ﻝ. أقصر مسافة، أو البعد العمودي، من نقطة ما ﻡ لها الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، ومستوى معادلته ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد ﺩ الكل مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع.

وعلى الرغم من أن هذا خارج نطاق هذا الدرس، فإنه يمكننا استنتاج هذه الصيغة بالاستعانة بما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية والضرب القياسي لمتجهين، وفي هذه الحالة المتجهان لدينا هما ﻡﻥ وﻡﺭ. دعونا نتناول الآن مثالًا يمكننا من خلاله استخدام هذه الصيغة لحساب المسافة بين نقطة ومستوى.

أوجد المسافة بين النقطة سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب ستة والمستوى سالب اثنين ﺱ زائد ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي سبعة.

يطلب منا هذا السؤال إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى. ولفعل ذلك، علينا أن نتذكر أن المسافة بين نقطة ومستوى يقصد بها البعد العمودي؛ لأن هذه هي أقصر مسافة بين هذين العنصرين. هناك صيغة تساعدنا في إيجاد البعد العمودي. البعد العمودي ﻝ بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد والمستوى ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا يعطى بالصيغة ﻝ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد ﺩ الكل مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع.

لدينا نقطة إحداثياتها سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب ستة. هذا يعني أن ﺱ واحد يساوي سالب خمسة، ﺹ واحد يساوي سالب ثمانية، وﻉ واحد يساوي سالب ستة. نلاحظ أن معادلة المستوى معطاة بصورة مختلفة قليلًا عن الصورة المطلوبة. لذا، نطرح سبعة من كلا طرفي المعادلة ليصبح لدينا سالب اثنين ﺱ زائد ﺹ زائد اثنين ﻉ ناقص سبعة يساوي صفرًا. وبما أن ﺃ وﺏ وﺟ هي معاملات ﺱ، ﺹ، ﻉ، على الترتيب، فسنجد أن ﺃ يساوي سالب اثنين، ﺏ يساوي واحدًا، ﺟ يساوي اثنين. وﺩ يساوي الحد الثابت سالب سبعة.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الصيغة. يمكن تبسيط البسط إلى القيمة المطلقة لـ ١٠ زائد سالب ثمانية زائد سالب ١٢ زائد سالب سبعة. وفي المقام، لدينا الجذر التربيعي لأربعة زائد واحد زائد أربعة. كل هذا يساوي القيمة المطلقة لسالب ١٧ على جذر تسعة. القيمة المطلقة لأي عدد هي المسافة التي يبعدها عن الصفر؛ ومن ثم فإن القيمة المطلقة لسالب ١٧ هي ١٧. وبما أن الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة، فسنجد أن ﻝ يساوي ١٧ على ثلاثة. وهكذا يمكننا استنتاج أن المسافة بين النقطة سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب ستة والمستوى سالب اثنين ﺱ زائد ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي سبعة تساوي ١٧ على ثلاثة وحدة طول.

في هذا السؤال، حسبنا المسافة بين نقطة ومستوى. والآن، سنفكر في كيفية مواءمة هذه الصيغة لإيجاد المسافة بين خط مستقيم ومستوى. إذا كانت معادلة المستوى لدينا معطاة على الصورة المتجهة وليس الصورة العامة، فسيظل بإمكاننا الاستعانة بنفس الصيغة المستخدمة لإيجاد أقصر مسافة بين نقطة ومستوى. يمكننا اتباع نفس الخطوات لإيجاد أقصر مسافة بين خط مستقيم ومستوى، مع تذكر أنه إذا كان الخط المستقيم والمستوى غير متوازيين وغير منطبقين، فإنهما يتقاطعان، وهو ما يعني أن المسافة بينهما تساوي صفرًا.

وإذا كان الخط المستقيم والمستوى متوازيين ومختلفين، يمكننا إثبات أن أقصر مسافة بينهما هي البعد العمودي بين أي نقطة على الخط المستقيم والمستوى. في الشكل الموضح، سنختار نقطة عشوائية ﻡ إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد تقع على الخط المستقيم، ونقطة عشوائية ﺭ تقع على المستوى. مرة أخرى، نلاحظ أن القطعة المستقيمة ﻡﺭ هي وتر مثلث قائم الزاوية، وعليه فإن طول القطعة المستقيمة ﻡﻥ هو أقصر مسافة إلى المستوى.

يمكن تلخيص ذلك على النحو التالي. أقصر مسافة ﻝ بين مستوى وخط مستقيم يوازيه، حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد هي أي نقطة على الخط المستقيم، والمستوى الذي معادلته الضرب القياسي للمتجه ﺭ والمتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ يساوي سالب ﺩ، تعطى بالصيغة ﻝ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد ﺩ الكل مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه حساب هذه المسافة.

أوجد البعد العمودي بين الخط المستقيم ﺭ الذي يساوي واحدًا، اثنين، أربعة زائد ﻥ مضروبًا في سالب اثنين، واحد، أربعة، والمستوى الذي معادلته الضرب القياسي لـ ﺭ، واثنان، صفر، واحد يساوي واحدًا.

يطلب منا هذا السؤال إيجاد البعد العمودي، أو أقصر مسافة، بين خط مستقيم ومستوى. كل من الخط المستقيم والمستوى معطى حاليًّا على الصورة المتجهة. وعند التفكير في خط مستقيم ومستوى نجد أن هناك احتمالين. أولًا، أن يكون الخط المستقيم موازيًا للمستوى. أو ثانيًا، أن يكون متقاطعًا مع المستوى. إذا كان الخط المستقيم يقطع المستوى، فإن أقصر مسافة بينهما تساوي صفرًا. لذا، أول سؤال علينا طرحه هنا هو: هل يتقاطع الخط والمستوى، أم أنهما متوازيان؟ دعونا نبدأ بالنظر إلى معادلة الخط المستقيم. ويمكننا إعادة كتابتها على صورة ﺭ يساوي واحدًا ناقص اثنين ﻥ، اثنين زائد ﻥ، أربعة زائد أربعة ﻥ.

يمكننا الآن التعويض بهذا المتجه في معادلة المستوى. وهذا يعطينا واحدًا ناقص اثنين ﻥ، اثنين زائد ﻥ، أربعة زائد أربعة ﻥ، ضرب قياسي اثنين، صفر، واحد يساوي واحدًا. ومن ثم، بإيجاد حاصل الضرب القياسي نحصل على المعادلة التالية، والتي يمكن تبسيطها إلى اثنين ناقص أربعة ﻥ زائد أربعة زائد أربعة ﻥ يساوي واحدًا. في الطرف الأيمن، يحذف الحدان أربعة ﻥ معًا، ويتبقى لدينا ستة يساوي واحدًا. هذا غير صحيح ومن ثم لا يكون صحيحًا لأي قيمة لـ ﻥ. وبذلك، يمكننا استنتاج أن الخط المستقيم والمستوى لا يتقاطعان، وعليه لا بد أن يكونا متوازيين.

إذن، يمكننا إيجاد أقصر مسافة بين الخط المستقيم والمستوى عن طريق اختيار أي نقطة ﻡ على الخط ثم إيجاد البعد العمودي عن المستوى. لإيجاد متجه موضع أي نقطة على الخط المستقيم، يمكننا التعويض بأي قيمة لـ ﻥ في المعادلة. على سبيل المثال، عندما يساوي ﻥ صفرًا، فإن ﺭ يساوي واحدًا، اثنين، أربعة. هذا يعني أن النقطة التي إحداثياتها واحد، اثنان، أربعة تقع على الخط المستقيم. وسنفترض أن هذه النقطة هي النقطة ﻡ.

سنسترجع الآن الصيغة التي تمكننا من حساب البعد العمودي، أو أقصر مسافة، من نقطة إلى مستوى. عندما تكون معادلة المستوى على الصورة المتجهة، كما في هذه الحالة، فإن البعد العمودي ل يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد ﺩ الكل مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد هي واحد، اثنان، أربعة، على الترتيب. وبالنظر إلى المعادلة المتجهة للمستوى، نجد أن ﺃ يساوي اثنين، وﺏ يساوي صفرًا، وﺟ يساوي واحدًا. وبما أن سالب ﺩ يساوي واحدًا، فإن ﺩ يساوي سالب واحد.

بالتعويض بالقيم التي لدينا، نجد أن المسافة ﻝ تساوي القيمة المطلقة لاثنين مضروبًا في واحد زائد صفر مضروبًا في اثنين زائد واحد مضروبًا في أربعة زائد سالب واحد الكل مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد صفر تربيع زائد واحد تربيع. وهذا يبسط إلى القيمة المطلقة لخمسة مقسومًا على الجذر التربيعي لخمسة، وهو ما يساوي خمسة على جذر خمسة. بعد ذلك، يمكننا إنطاق المقام وهذا بضرب كل من البسط والمقام في جذر خمسة. وهو ما يعطينا خمسة جذر خمسة على خمسة، الذي يمكن تبسيطه إلى جذر خمسة. البعد العمودي بين الخط المستقيم المعطى والمستوى يساوي جذر خمسة وحدة طول.

في المثال الأخير الذي سنتناوله في هذا الفيديو سنستخدم الصيغة لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين. دعونا نرى أولًا كيفية القيام بذلك. سنبدأ باختيار نقطة عشوائية ﻡ على أحد المستويين. بعد ذلك، يمكننا حساب البعد العمودي بين هذه النقطة والمستوى الآخر كما فعلنا من قبل. في المثال التالي، معادلتا المستويين ستكونان على الصورة العامة. لكن من المهم ملاحظة أنه يمكننا استخدام الصيغة نفسها عندما تكون المعادلتان معطاتين على الصورة المتجهة.

أوجد المسافة بين المستويين سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص اثنين ﻉ يساوي سالب اثنين، وسالب اثنين ﺱ ناقص أربعة ﺹ ناقص أربعة ﻉ يساوي ثلاثة.

يطلب منا هذا السؤال إيجاد المسافة بين مستويين. هذا يعني أن علينا إيجاد البعد العمودي، أو أقصر مسافة بين المستويين. إذا كان المستويان لدينا غير متوازيين، فإنهما سيتقاطعان؛ ومن ثم فإن المسافة بينهما سوف تساوي صفرًا. إذن، السؤال الأول الذي علينا طرحه هو: هل المستويان متوازيان؟ إحدى طرق معرفة ذلك هي التفكير في المتجهين العموديين على المستويين. وعندما تكون معادلة المستوى على الصورة العامة، فإن هذين المتجهين يساويان معاملات ﺱ، ﺹ، ﻉ. المستوى الأول متجهه العمودي هو سالب واحد، سالب اثنين، سالب اثنين. والمستوى الثاني متجهه العمودي هو سالب اثنين، سالب أربعة، سالب أربعة. وبما أن كلًّا من هذين المتجهين عبارة عن الآخر مضروبًا في عدد ثابت، يمكننا استنتاج أن المستويين متوازيان.

والآن دعونا نسترجع كيف يمكننا إيجاد المسافة بين مستويين متوازيين. إذا اخترنا نقطة ما ﻡ على أحد المستويين، فسيكون بإمكاننا حساب المسافة ﻝ بين المستويين عن طريق حساب المسافة بين النقطة ﻡ والمستوى الآخر. وهذا يكون باستخدام الصيغة ﻝ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد ﺩ الكل مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع، حيث إحداثيات النقطة ﻡ هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، ومعادلة المستوى هي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا.

سنبدأ بإيجاد إحداثيات أي نقطة على المستوى الأول. وإحدى طرق فعل ذلك هي اختيار النقطة حيث ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا. بالتعويض بهاتين القيمتين في معادلة المستوى الأول، يصبح لدينا سالب صفر ناقص اثنين مضروبًا في صفر ناقص اثنين ﻉ يساوي سالب اثنين. ويمكن تبسيط ذلك إلى سالب اثنين ﻉ يساوي سالب اثنين. ثم نقسم الطرفين على سالب اثنين، لنحصل على ﻉ يساوي واحدًا. بهذا، نجد أن إحداثيات النقطة التي تقع على المستوى الأول هي صفر، صفر، واحد. لدينا الآن قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد التي يمكننا التعويض بها في الصيغة.

بالنظر إلى معادلة المستوى الثاني، نجد أن ﺃ يساوي سالب اثنين، وكلًّا من ﺏ وﺟ يساوي سالب أربعة. هذه هي معاملات ﺱ، ﺹ، ﻉ، على الترتيب. ومع الأخذ في الاعتبار أنه لإيجاد ﻝ، يجب أن تكون معادلة المستوى مساوية للصفر، نجد أن ﺩ يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، نجد أن المسافة ﻝ تساوي القيمة المطلقة لسالب اثنين مضروبًا في صفر زائد سالب أربعة مضروبًا في صفر زائد سالب أربعة مضروبًا في واحد زائد سالب ثلاثة الكل مقسومًا على الجذر التربيعي لسالب اثنين تربيع زائد سالب أربعة تربيع زائد سالب أربعة تربيع. وهذا يعطينا القيمة المطلقة لسالب سبعة على الجذر التربيعي لـ ٣٦، وهو ما يساوي سبعة على ستة.

يمكننا إذن استنتاج أن المسافة بين المستويين المعطيين تساوي سبعة على ستة وحدة طول.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. المسافة ﻝ بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد والمستوى ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا تعطى بالصيغة ﻝ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد ﺩ الكل مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. يمكننا استخدام الصيغة نفسها عندما تكون معادلة المستوى معطاة على الصورة المتجهة، حيث الضرب القياسي للمتجه ﺭ والمتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ يساوي سالب ﺩ، وﺃ، ﺏ، ﺟ هو متجه عمودي على المستوى.

علمنا أيضًا أن المسافة بين مستوى وخط مستقيم يوازيه تساوي المسافة بين أي نقطة على الخط المستقيم والمستوى. وبالمثل، علمنا أن المسافة بين مستويين متوازيين تساوي المسافة بين أي نقطة على أي من المستويين والمستوى الآخر. ومن المهم أن نلاحظ أنه عند الحديث عن هذه المسافة ﻝ، فإننا نقصد أقصر مسافة، أو البعد العمودي، بين العنصرين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.