تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حجم المنشور والأسطوانة والمجسمات المركبة

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو مفهوم الحجم، وكيفية حساب حجم المنشور، وأمثلة على حجم المنشور الثلاثي والرباعي، والأسطوانة وكيفية حساب حجمها، والمجسم المركب، وكيفية حساب حجمه.

١٠:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم على حجم المنشور والأسطوانة والمجسّمات المركّبة.

إزّاي هنحسب حجم المنشور. وإزّاي هنحسب حجم الأسطوانة. ويعني إيه مجسّمات مركّبة، وإزّاي هنحسب حجمها. الحجم هو قياس الحيّز الذي يشغله الجسم في الفضاء. ويقاس بالوحدات المكعّبة. يعني لمّا هنحطّ جسم في الفضاء كده هيملا قدّ إيه من الفضاء اللي حوالينا. وبنقيس الحجم بالوحدات المكعّبة، يعني لو كان بالسنتيمتر هنقول: سنتيمتر مكعب. بالمتر، هنقول: متر مكعب. ده قيمة الحجم.

أول حاجة هنتكلّم عنها حجم المنشور. حجم المنشور هو ناتج ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع. وقاعدة المنشور بيبقى عندنا قاعدتين كده موازيين لبعض متطابقين؛ زيّ دي ودي. عبارة عن يا إمّا مربع أو مستطيل. ده بنسمّيه منشور رباعي. أو في الشكل التاني ده عبارة عن … هنا مثلث، وهنا مثلث. دول القاعدتين، يبقى منشور ثلاثي. والارتفاع اللي هو المسافة ما بين القاعدتين، اللي هي المسافة دي والمسافة دي. يبقى حجم المنشور هيبقى عبارة عن مساحة القاعدة في الارتفاع. يبقى حجم المنشور يساوي مساحة القاعدة في الارتفاع.

نقلب الصفحة، وناخد مثال. اوجد حجم المنشور الرباعي المجاور.

زيّ ما قلنا، حجم المنشور هيساوي مساحة القاعدة في الارتفاع. هنا عندنا القاعدة هي دي. يبقى مساحتها في الارتفاع، اللي هو تسعة متر. القاعدة عندنا هنا قاعدة مستطيل، ومساحة المستطيل، اللي هي هتمثّل مساحة القاعدة، هتساوي الطول في العرض. يبقى حجم المنشور هيساوي … مساحة القاعدة، اللي هي الطول في العرض، اتناشر في خمسة. والارتفاع عندنا هو تسعة متر، اللي هو القيمة دي، هتساوي خمسمية وأربعين. وهنا وحدة القياس متر، والحجم مكعب. يبقى خمسمية وأربعين متر مكعب. ده حجم المنشور الرباعي.

طيب ناخد مثال كمان على حجم المنشور الثلاثي. اوجد حجم المنشور الثلاثي المجاور.

هنا قاعدته مثلث. ستة سنتيمتر ده طول القاعدة بتاعة المثلث. والارتفاع سبعة سنتيمتر. وارتفاع المنشور، اللي هو هنا ده، عشرة سنتيمتر. يبقى حجم المنشور ده هيساوي مساحة القاعدة، اللي إحنا قلنا عليها مثلث، يبقى نصّ طول قاعدة المثلث، في ارتفاع المثلث، في ارتفاع المنشور. يبقى يساوي نصّ … طول قاعدة المثلث اللي هي ستة سنتيمتر، في … ارتفاع المثلث اللي هو سبعة سنتيمتر، في … ارتفاع المنشور اللي هو عشرة سنتيمتر. هيساوي ميتين وعشرة سنتيمتر مكعب. يبقى هنا عرفنا إزّاي هنحسب حجم المنشور.

وناخد بالنا إزّاي هنعرف قاعدة المنشور، اللي همّ بيبقوا قاعدتين كده ما فيش غيرهم، متوازيين. والقاعدتين دول بيبقوا متطابقين. والأوجه الجانبية، اللي هي بتبقى الباقية دي، بتبقى عبارة عن متوازي مستطيلات. يعني لو محطوط بالجنب أو محطوط واقف أو أيًّا كان، نعرف نطلّع القاعدتين.

نقلب الصفحة، وهنشوف إزّاي نحسب حجم الأسطوانة. الأسطوانة بتبقى عبارة عن مجسّم قاعدتاه دائرتان متطابقتان ومتوازيتان متصلتان معًا بجنب منحني. زيّ ما إحنا شايفين كده، دي قاعدة عبارة عن دايرة، ودي دايرة. الاتنين بيبقوا متطابقين، وبيبقى متصلين مع بعض بجنب منحني. عشان نحسب حجم الأسطوانة، بيمكن استخدام قانون الحجم المستخدم في المنشور، اللي هو بيقول: مساحة القاعدة في الارتفاع. طيب حجم الأسطوانة … هتبقى هنا القاعدة عبارة عن دايرة، يبقى حجم الأسطوانة هيساوي مساحة القاعدة، اللي هي الدايرة، في ارتفاع الأسطوانة. يعني 𝜋 نق، اللي هو القيمة دي، اللي هي ما بين مركز الدايرة والدايرة نفسها، مضروبة في 𝜋، وهنربّع قيمة نصف القطر، ونضرب في ارتفاع الأسطوانة. اللي هو ده، بنسمّيه ارتفاع الأسطوانة. اللي هو بيبقى المسافة ما بين القاعدتين.

ناخد مثال. اوجد حجم الأسطوانة المجاورة مقرِّبًا الجواب إلى أقرب جزء من العشرة.

مدّيلنا أسطوانة، القاعدة بتاعتها طول قطرها تلتاشر سنتيمتر. وارتفاع الأسطوانة عشرين سنتيمتر. عشان نجيب مساحة القاعدة، لازم يكون عندنا نصف القطر مش القطر. يبقى نصف القطر، اللي هو نق، هيساوي تلتاشر سنتيمتر، اللي هو طول القطر، على اتنين. يعني هيساوي ستة ونصّ سنتيمتر. دي القيمة اللي هنستخدمها علشان نقدر نجيب مساحة قاعدة الأسطوانة. يبقى حجم الأسطوانة، اللي هيساوي مساحة القاعدة، اللي هي الدائرة، في … ارتفاع الأسطوانة اللي هو 𝜋 نق تربيع، في الارتفاع. يعني 𝜋 في نق، اللي هو ستة ونصّ تربيع، في … الارتفاع عشرين. هنستخدم الآلة الحاسبة، هتطلع القيمة تساوي تقريبًا ألفين ستمية أربعة وخمسين وستة من عشرة سنتيمتر مكعب. يبقى الحجم يساوي تقريبًا ألفين ستمية أربعة وخمسين وستة من عشرة سنتيمتر مكعب.

عرفنا إزّاي هنحسب حجم الأسطوانة، وإزّاي هنحسب حجم المنشور. طيب لو ركّبنا شكلين في بعض، يعني مجسّم أسطوانة مع مثلًا منشور، هنحسب الحجم بتاعهم إزّاي؟ نقلب الصفحة ونشوف. المجسّم المركّب. اللي هو عبارة عن مجسّم مكوّن من أكتر من نوع من المجسّمات. ولإيجاد حجم هذا المجسّم، بيتمّ تقسيمه إلى مجسّمات يسهل إيجاد أحجامها. يعني لو عندنا مجسّمين راكبين في بعض، هنحسب حجم كل واحد فيهم، وبعدين نجمعهم لو كانوا متركّبين فوق بعض. لكن لو كان فيه واحد ناقص من واحد، يبقى هنطرحهم من بعض. هنشوف إزّاي في المثال.

تستخدم ميّ خرزًا مكعب الشكل لصنع حُليّ. وكل خرزة لها ثُقب أسطواني في وسطها. اوجد حجم الخرز.

مكعب الشكل يعني القاعدة بتاعته مربعة؛ اتناشر ملليمتر في اتناشر ملليمتر. والأسطوانة قطرها اتنين ملليمتر. عايزين نحسب حجم الخرزة. من الشكل، بتتكوّن الخرزة من منشور رباعي وأسطوانة. علشان نجيب الحجم، هنحسب حجم المنشور الرباعي وحجم الأسطوانة، وبعدين نشوف. الأسطوانة هنخصمها من المنشور الرباعي. يعني هنطرح حجم الأسطوانة من حجم المنشور الرباعي؛ لأن الجزء اللي هو فيه الأسطوانة ده مفرّغ.

يعني حجم المنشور، اللي هو قدامنا ده، هيبقى … يبقى حجم المنشور بيساوي مساحة القاعدة في الارتفاع. مساحة القاعدة … ده مربع يبقى اتناشر في اتناشر. دي مساحة المربع. في الارتفاع … إحنا عندنا ده مكعب، يعني أطواله كلها اتناشر ملليمتر. يعني الارتفاع هيبقى اتناشر ملليمتر. يعني الكلام ده هيساوي ألف سبعمية تمنية وعشرين ملليمتر مكعب.

بعد كده هنجيب حجم الأسطوانة، اللي هي هتساوي مساحة القاعدة، اللي هي الدائرة، في الارتفاع. يعني هتساوي 𝜋 … هنا عندنا القطر اتنين ملليمتر يبقى نصف القطر هيساوي اتنين على اتنين. يعني نصّ القطر يساوي واحد ملليمتر. يبقى مساحة الدايرة، اللي هي القاعدة، هتبقى 𝜋 في واحد تربيع، اللي هو 𝜋 نق تربيع، في … الارتفاع بتاع الأسطوانة هو نفسه ارتفاع المنشور، اللي هو اتناشر ملليمتر. يعني هيساوي تقريبًا سبعة وتلاتين وسبعة من عشرة ملليمتر مكعب.

كده جِبنا المنشور اللي هو المكعب. جِبنا حجمه، وجِبنا حجم الأسطوانة. علشان نجيب حجم الخرزة، هنطرح قيمة الأسطوانة، اللي هي الجزء المفرّغ جوّه المكعب. يبقى حجم الخرزة هيساوي ألف سبعمية تمنية وعشرين ناقص سبعة وتلاتين وسبعة من عشرة. اللي هو هيساوي تقريبًا ألف ستمية وتسعين وتلاتة من عشرة ملليمتر مكعب.

يبقى اتكلّمنا في الفيديو ده إزّاي هنحسب حجم المنشور. وإزّاي هنحسب حجم الأسطوانة. وعرفنا يعني إيه مجسّم مركب، وإزّاي نجيب حجمه.