فيديو قصير: لماذا يوجد ‪𝜋‬‏ هنا؟ ولماذا التربيع؟ حل هندسي لمعضلة بازل

نسخة الفيديو النصية

أتوقع أنك لم تعش يومًا مشاعر الإثارة وتسارع دقات قلبك وأنت تتخيل بحيرة مترامية الأطراف إلى ما لا نهاية تحيط بها الفنارات. فلو كان يختلج في صدرك أي مما أشعر به تجاه الرياضيات، فإنني أؤكد لك أن هذا الشعور سيتغير بنهاية الفيديو.

خذ مثلًا واحدًا زائد ربع، زائد تسع، زائد واحد على 16، وهكذا، حيث في كل مرة تضيف مقلوب مربع العدد التالي. فما المجموع النهائي الذي نقترب منه مع إضافتنا للحدود واحدًا تلو الآخر؟ ظلت هذه المعضلة دون حل لمدة 90 عامًا من طرحها، حتى توصل أويلر للحل الذي أدهش الجميع، وهو ‪𝜋‬‏ تربيع مقسومًا على ستة. إنه ضرب من الجنون، أليس كذلك؟ ما الذي أدخل ‪𝜋‬‏ هنا ولماذا التربيع؟ فنحن لا نراه بالشكل التربيعي عادة. تكريمًا لأويلر، وموطنه الأصلي بازل، عادة ما يشار إلى عملية الجمع اللانهائي باسم معضلة بازل. لكن البرهان الذي أود عرضه عليكم مختلف جدًا عن البرهان الذي توصل إليه أويلر.

لقد ذكرت في فيديو سابق أنك كلما رأيت ‪𝜋‬‏ أدركت أن الأمر متعلق بالدوائر. وهناك من يقولون إن ‪𝜋‬‏ لا يتعلق في الأساس بالدوائر. وإن التصميم على ربط مثل هذه المعادلات بالجانب الهندسي يأتي من الإصرار الكبير على التعامل مع ‪𝜋‬‏ في السياق الذي اكتشفناه فيه أول مرة فقط. وهذا جيد. لكن أيًّا كان جوهر الموضوع من وجهة نظرك، فالحقيقة أن ‪𝜋‬‏ متعلق بدرجة كبيرة جدًا بالدوائر. فإذا رأيته أمامك، فتأكد أنك ستجد طريقًا في عالم الرياضيات الضخم المتشابك يعيدك مرة أخرى إلى الدوائر في علم الهندسة.

السؤال هو: إلى أي مدى يمتد هذا الطريق، وما مدى تعقيده. بالنسبة إلى معضلة بازل، الطريق أقصر كثيرًا مما قد تعتقد في البداية. بادئ الأمر هو الضوء. ها هي الفكرة الأساسية. تخيل أنك تقف عند نقطة أصل خط أعداد موجب، وتضع فنارًا صغيرًا على كل من الأعداد الصحيحة الموجبة: واحد، واثنين، وثلاثة، وأربعة، إلخ. للفنار الأول سطوع ظاهر تراه من مكانك، أي إن عينيك تستقبل كمية من الطاقة، من الضوء الصادر، في كل وحدة زمن. ولنقل: إنه سطوع مقداره واحد.

ولأسباب سأشرحها بعد قليل، السطوع الظاهر للفنار الثاني مقداره ربع سطوع الفنار الأول. والسطوع الظاهر للفنار الثالث تسع من الفنار الأول، ثم واحد على 16، وهكذا. ولعلك تعرف أهمية ذلك بالنسبة إلى معضلة بازل. فهو يمنحنا تجسيدًا فعليًّا للمطلوب، إذ إن السطوع الكلي المستقبل من مصفوفة العدد اللانهائي من الفنارات سيساوي واحدًا زائد ربع زائد تسع زائد واحد على 16، وهكذا. والنتيجة التي نريد إثباتها هي أن مقدار هذا السطوع الكلي يساوي ‪𝜋‬‏ تربيع على ستة مضروبًا في مقدار سطوع الفنار الأول.

وللوهلة الأولى، ربما يبدو الأمر عديم الفائدة. نحن فقط نعيد طرح السؤال الأساسي. لكن المهم هنا هو السؤال الجديد الذي يطرحه هذا التصور. هل هناك طرق يمكننا بها إعادة ترتيب هذه الفنارات دون أن يغير ذلك مقدار السطوع الكلي الذي يراه الناظر؟ وإذا كان الجواب نعم، فهل يمكنك إثبات أن هذا تصور أسهل في الحساب. بداية، دعونا نوضح ما نعنيه بقولنا «سطوعًا ظاهرًا» بالنسبة إلى الناظر.

تخيل شاشة صغيرة تمثل، على سبيل المثال، شبكية العين أو مستشعر الكاميرا الرقمية، أو شيئًا من هذا القبيل. قد تتساءل: ما كمية الأشعة الصادرة التي تسقط على الشاشة؟ أو، بعبارة أخرى، ما الزاوية بين الشعاع الساقط على الطرف السفلي من الشاشة والشعاع الساقط على الطرف العلوي؟ أو، بما أننا يفترض أن ننظر إلى هذه الفنارات الصادر عنها الضوء باعتبارها ثلاثية الأبعاد، قد يكون الأدق أن نسأل: ما الزاوية المجسمة التي يغطيها الضوء في كلا الاتجاهين عموديًّا على المصدر؟

في مجال الهندسة الكروية، تتحدث أحيانًا عن الزاوية المجسمة في الشكل، أي الجزء المجسم المرئي من الكرة عند النظر من نقطة معينة. أحد الأمرين اللذين ستكون قصة الشاشات هذه مفيدة فيهما هو فهم قانون التربيع العكسي، وهو ظاهرة ثلاثية الأبعاد على نحو مميز. تخيل كل أشعة الضوء وهي تسقط على الشاشة على مسافة وحدة واحدة من المصدر. عند مضاعفة المسافة، تغطي الأشعة مساحة أعرض وأطول مرتين. يتطلب الأمر إذن أربع نسخ من هذه الشاشة الأصلية لاستقبال نفس كمية الأشعة عند هذه المسافة. ومن ثم، فإن كل شاشة منفردة تستقبل ربع كمية الضوء.

وهذا هو ما أعنيه بمسألة أن الضوء سيكون مقدار سطوعه الربع عند ضعف المسافة. وبالمثل، عندما تكون على مسافة أبعد ثلاث مرات، فستحتاج إلى تسع نسخ من الشاشة الأصلية لاستقبال نفس كمية الأشعة. ومن ثم، فإن كل شاشة منفردة ستستقبل مقدار التسع فقط من كمية الضوء. ويستمر هذا النمط. ولأن المساحة التي يسقط عليها الضوء تزداد بمقدار مربع المسافة، ينخفض سطوع الضوء بمقدار مقلوب مربع تلك المسافة. وكما يعرف كثير منكم، لا يقتصر قانون التربيع العكسي على الضوء فحسب. بل يظهر عندما تكون لديك كمية من شيء ما منتشرة بشكل متساو من نقطة مصدر، سواء كان ذلك الشيء إشارة صوتية أو ضوئية أو راديوية، أو ما شابه.

وتذكر أنه بسبب قانون التربيع العكسي، تعد مصفوفة العدد اللانهائي من الفنارات الواقعة على مسافات متساوية تجسيدًا فعليًّا لمعضلة بازل. لكن، مرة أخرى، ما نحتاجه هنا هو أن نفهم كيف يمكننا تغيير نظام يحتوي على مصادر ضوء كهذه دون أن يتسبب ذلك في تغيير مقدار السطوع الكلي الذي يراه الناظر. يكمن السر هنا في طريقة ظريفة يمكن استخدامها لتحويل فنار واحد إلى فنارين.

افترض أن الناظر يقف عند نقطة الأصل للمستوى ‪𝑥𝑦‬‏، وهناك فنار في مكان ما في هذا المستوى. والآن ارسم خطًّا من الفنار إلى الناظر، وخطًّا آخر بحيث يكون عموديًّا على ذلك الخط المرسوم عند الفنار. ثم ضع فنارًا عند نقطة تقاطع هذا الخط الجديد مع كل من المحورين، وسأسميهما الفنار ‪𝐴‬‏ هنا على اليسار، والفنار ‪𝐵‬‏ على الجانب العلوي. وكما ستفهم بعد قليل، يتضح هنا أن مقدار السطوع الذي يراه الناظر صادرًا من الفنار الأول يساوي مقدار السطوع الكلي الذي يرى صادرًا من الفنارين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ معًا.

جدير بالذكر أن الافتراض الدائم في هذا الفيديو أن جميع الفنارات متطابقة. فجميعها يستخدم نفس مصباح الإضاءة، وتصدر منه نفس الطاقة، وكل شيء بينها متطابق. فلنحدد متغيرات لتمثيل كل شيء في المسألة: إذا أطلقنا على المسافة من موقع الناظر إلى الفنار ‪𝐴‬‏ حرف ‪𝑎‬‏ صغيرًا، والمسافة من موقع الناظر إلى الفنار ‪𝐵‬‏ حرف ‪𝑏‬‏ صغيرًا، والمسافة حتى الفنار الأول ‪ℎ‬‏، فإننا نحصل على العلاقة واحد على ‪𝑎‬‏ تربيع زائد واحد على ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي واحدًا على ‪ℎ‬‏ تربيع. هذه هي نظرية فيثاغورس العكسية الأقل شيوعًا، وربما يذكرها بعضكم من الفيديو الأخير — والأروع — الذي أصدره ماثولوجر حول النظريات العديدة ذات الصلة بنظرية فيثاغورس. علاقة مثيرة حقًّا، أليس كذلك؟

إذا كنت مولعًا بالرياضيات، فربما تتساءل الآن كيف يمكن برهنتها. ثمة بعض الطرق المباشرة التي يمكنك من خلالها التعبير عن مساحة المثلثات بأسلوبين مختلفين وتطبيق نظرية فيثاغورس العادية. لكن هناك طريقة أخرى ظريفة جدًا أود ذكرها سريعًا، وهي تتناسب أكثر مع قصتنا؛ لأنها — مرة أخرى — تعتمد على ما نعرفه عن الضوء والشاشات.

تخيل أنك تصغر أبعاد المثلث القائم الزاوية لتحصل على نسخة أصغر. واعتبر أن الوتر الصغير هو شاشة تستقبل الضوء من الفنار الأول. إذا أعدت تشكيل هذه الشاشة لتصبح مركبة من ساقي المثلث الصغير، هكذا، فستظل تستقبل نفس كمية الضوء، أليس كذلك؟ أعني أن أشعة الضوء الساقطة على أحد هذين الساقين مطابقة تمامًا للأشعة الساقطة على الوتر. النقطة الأساسية إذن هي أن كمية الضوء الصادر من الفنار الأول والساقط على الجانب الأيسر هنا، أي الزاوية المحددة التي تصنعها الأشعة الساقطة على الشاشة، مطابقة تمامًا لكمية الضوء الصادر من الفنار ‪𝐴‬‏ والساقط على هذا الجانب. ستكون نفس الزاوية من الأشعة.

وبشكل متماثل، فإن كمية الضوء الصادر من الفنار الأول والساقط على الجزء السفلي من الشاشة هي نفس كمية الضوء الساقط على هذا الجزء والصادر من الفنار ‪𝐵‬‏. قد تتساءل: لماذا؟ يتعلق الأمر بالمثلثات المتشابهة. قد تعطيك هذه الرسوم المتحركة فكرة مبدئية لكيفية حدوث ذلك. وقد أضفنا رابطًا في وصف الفيديو للتطبيق الصغير المدمج «جيوجبرا» لمن يرغب منكم في دراسة ذلك ببرنامج أكثر تفاعلية. بالتعديل في الشكل على هذا النحو، ستلاحظ حقيقة مهمة وهي أن المثلثات المتشابهة تتحقق فقط في الحالة الحصرية التي تستخدم فيها شاشة صغيرة جدًا.

استعد، سيبدأ المرح الآن. لدينا نظرية فيثاغورس العكسية هذه، أليس كذلك؟ وستسمح لنا بتحويل فنار واحد إلى فنارين من دون تغيير مقدار السطوع الذي يراه الناظر. وبمعرفة ذلك وتوظيف قدر معقول من الذكاء، يمكننا استخدام ذلك لبناء المصفوفة اللانهائية التي نحتاج إليها. تخيل نفسك واقفًا على حافة بحيرة دائرية قبالة أحد الفنارات مباشرة. نريد أن يكون طول المسافة بينك وبين الفنار على طول حافة البحيرة واحدًا. نقول إذن: إن محيط البحيرة اثنان.

والسطوع الظاهر هو واحد مقسومًا على مربع طول القطر. وفي هذه الحالة، طول القطر هو هذا المحيط، أي اثنان، مقسومًا على ‪𝜋‬‏. ومن ثم، فإن السطوع الظاهر هو ‪𝜋‬‏ تربيع مقسومًا على أربعة. لإجراء التحويل الأول، ارسم دائرة جديدة أكبر مرتين، أي إن طول محيطها أربعة، وارسم خط مماس أعلى الدائرة الصغيرة. ثم استبدل الفنار الأول بفنارين جديدين، بحيث يقطع خط المماس الدائرة الأكبر. والحقيقة الهندسية المهمة المستنبطة هنا التي سنستخدمها مرارًا وتكرارًا هي أنك لو أخذت قطر الدائرة وكونت به مثلثًا مع أي نقطة على الدائرة، فسيكون قياس الزاوية عند هذه النقطة الجديدة دائمًا 90 درجة. وأهمية ذلك في الشكل هنا أنه يعني أن نظرية فيثاغورس العكسية تنطبق هنا. ومقدار السطوع الصادر من هذين الفنارين الجديدين يعادل مقدار السطوع الصادر من الفنار الأول، وهو ‪𝜋‬‏ تربيع مقسومًا على أربعة.

الخطوة التالية: ارسم دائرة جديدة أكبر مرتين من الأخيرة، وطول محيطها ثمانية. والآن، نفذ الآتي مع كل فنار: ارسم خطًّا من الفنار مرورًا بالنقطة العلوية من الدائرة الصغرى، وهي مركز الدائرة الكبرى، وانتبه إلى النقطتين اللتين يقطع فيهما هذا الخط الدائرة الكبرى. مرة أخرى، بما أن هذا الخط يمثل قطر الدائرة الكبرى، فإن الخطين الممتدين من هاتين النقطتين الجديدتين إلى الناظر سيصنعان زاوية قائمة. وبالمثل، بالنظر إلى هذا المثلث القائم الزاوية، الذي يمثل وتره قطر الدائرة الصغرى، يمكنك ملاحظة أن الخط الممتد من الناظر إلى الفنار الأول يصنع زاوية قائمة مع خط جديد طويل رسمناه. خبر جيد، أليس كذلك؟ لأن هذا يعني أنه بإمكاننا تطبيق نظرية فيثاغورس العكسية. ويعني ذلك أن مقدار السطوع الظاهر للفنار الأول يعادل مقدار السطوع الكلي للفنارين الجديدين.

وبالطبع يمكنك تكرار الأمر على الجانب الآخر، عن طريق رسم خط يمر عبر النقطة العلوية من الدائرة الصغرى، ووضع فنارين جديدين على الدائرة الكبرى. وهذه الفنارات الأربعة ستكون جميعها على مسافات متساوية حول البحيرة. لماذا؟ تصنع الخطوط الممتدة من تلك الفنارات إلى المركز زوايا قائمة بعضها مع بعض. ونظرًا لوجود تماثل بين الجانبين الأيسر والأيمن، فذلك يعني أن المسافات على طول المحيط قياسها واحد، واثنان، واثنان، واثنان، وواحد. حسنًا، يمكنك توقع ما هو آت. لكنني أود إضافة خطوة أخرى.

عليك أن ترسم دائرة أكبر مرتين، ومن ثم فطول المحيط الآن 16. ومن كل فنار تمد خطًّا يمر عبر النقطة العلوية من الدائرة الصغرى، وهي النقطة التي تمثل نقطة مركز الدائرة الكبرى. ثم تضع فنارين جديدين في الموضعين اللذين يقطع فيهما هذا الخط الدائرة الكبرى. وكما رأينا تمامًا من قبل، نظرًا لأن الخط الطويل يمثل قطر الدائرة الكبرى، يصنع كل من الفنارين الجديدين زاوية قائمة مع الناظر، أليس كذلك؟ وكما حدث من قبل، الخط الممتد من الناظر إلى الفنار الأول عمودي على الخط الطويل.

وهاتان هما الحقيقتان اللتان تبرران استخدامنا لنظرية فيثاغورس العكسية. لكن، ربما لا يكون واضحًا بنفس القدر أنك عندما تفعل ذلك مع جميع الفنارات لتحصل على ثمانية فنارات جديدة على ضفاف البحيرة الكبيرة، فستكون هذه الفنارات الثمانية على مسافات متساوية من بعضها. هذا هو آخر جزء من البرهان الهندسي قبل الاستنتاج النهائي. لرؤية ذلك، تذكر أنك لو مددت خطين من فنارين مجاورين على البحيرة الصغيرة إلى المنتصف، فسيشكلان زاوية قياسها 90 درجة. لكن لو رسمت بدلًا من ذلك خطين لأي نقطة على محيط الدائرة، لا تقع بين الفنارين، فإن نظرية الزوايا المحيطية المفيدة جدًا في الهندسة تخبرنا أن قياس هذه الزاوية سيكون بالضبط نصف قياس الزاوية التي يشكلها الخطان مع نقطة المركز، وهو إذن هنا 45 درجة.

لكن عند تحديد موضع هذه النقطة الجديدة أعلى البحيرة، يصبح هذان الخطان هما ما يحدد موضع الفنارات الجديدة على البحيرة الكبرى. يعني ذلك أنك عندما تمد الخطوط من هذه الفنارات الثمانية الجديدة عبر نقطة المركز، فهي تقسم الدائرة بالتساوي إلى أجزاء بزاوية قياسها 45 درجة. ويعني ذلك أن الفنارات الثمانية موضوعة على مسافات متساوية من بعضها على طول المحيط، ويبلغ قياس المسافة بين كل منها اثنين. والآن تخيل أن العملية تستمر ومع كل خطوة يضاعف قياس كل دائرة، ويتحول كل فنار إلى فنارين جديدين على طول خط مرسوم مار عبر مركز الدائرة الكبرى. ومع كل خطوة يظل مقدار السطوع الظاهر الذي يراه الناظر كما هو: ‪𝜋‬‏ تربيع على أربعة. ومع كل خطوة، تظل الفنارات على مسافة متساوية من بعضها، وتبلغ المسافة بين كل فنار والفنار المجاور له على طول المحيط اثنين.

وفي النهاية، يصبح لدينا خط أفقي مستو وعليه عدد لا نهائي من الفنارات المنتشرة على مسافات متساوية فيما بينها في كلا الاتجاهين. ولأن مقدار السطوع الظاهر كان ‪𝜋‬‏ تربيع على أربعة طوال الوقت، سيظل ذلك صحيحًا في هذه الحالة الحصرية أيضًا. ونحصل من ذلك على متسلسلة لا نهائية رائعة. ومجموع مقلوب مربعات الأعداد واحد على ‪𝑛‬‏ تربيع، حيث ‪𝑛‬‏ يشمل كل الأعداد الصحيحة الفردية — واحد وثلاثة وخمسة، إلخ، وكذلك سالب واحد وسالب ثلاثة وسالب خمسة، وهو عادة الاتجاه نحو اليسار. وبجمع ذلك كله، نحصل على ‪𝜋‬‏ تربيع على أربعة.

هذا رائع! وهو بالأساس ما أود توضيحه لكم. ارجع خطوة إلى الوراء، وانظر كيف يبدو هذا الأمر غير حقيقي. مجموع الكسور البسيطة التي لا يبدو للوهلة الأولى أن لها علاقة بالهندسة — لا علاقة لها بالدوائر على الإطلاق — يعطينا هذه النتيجة المتضمنة ‪𝜋‬‏. إلا أنك تستطيع الآن ملاحظة علاقتها الفعلية بالهندسة. إن خط الأعداد يشبه بدرجة أو بأخرى حدًّا خارجيًّا لعدد من الدوائر المتنامية. وعندما تجمع الأعداد على طول خط الأعداد هذا، مع التأكد من الاستمرار في الجمع إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين، فالأمر يكون أشبه بالجمع على طول الحد الخارجي لدائرة كبيرة جدًا إلى ما لا نهاية، وهي صيغة فضفاضة لكنها مثيرة.

قد تقاطعني وتقول: «تمهل!» «هذا ليس نفس المجموع الذي ذكرته في بداية الفيديو.» حسنًا، أنت محق. ما زال أمامنا بعض الأمور لنفكر فيها. بداية، دعونا نحد المجموع ليشمل فقط الأعداد الفردية الموجبة، ونحصل من ذلك على ‪𝜋‬‏ تربيع مقسومًا على ثمانية. والفرق الوحيد بين هذا والمجموع الذي نبحث عنه والذي يشمل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، الفردية والزوجية، هو استبعاده لمجموع المقلوب الضربي للأعداد الزوجية، الظاهر باللون الأحمر هنا. ويمكنك النظر إلى المتسلسلة الناقصة هذه باعتبارها نسخة مصغرة من المتسلسلة الكلية التي نريدها، حيث يتحرك كل فنار ليصبح على مسافة أكبر مرتين من نقطة الأصل. الفنار واحد تتم إزاحته إلى اثنين، واثنان تتم إزاحته أربعة، وثلاثة تتم إزاحته إلى ستة، وهكذا.

ولأن ذلك يتضمن مضاعفة المسافة لكل فنار، فإنه يعني أن مقدار السطوع الظاهر سينخفض بمعامل أربعة. وهي عملية جبر مباشرة نسبيًّا. يتطلب الانتقال من مجموع كل الأعداد الصحيحة إلى مجموع الأعداد الصحيحة الزوجية الضرب في واحد على أربعة. ويعني ذلك أن الانتقال من الأعداد الصحيحة كلها إلى الفردية منها سيتطلب الضرب في ثلاثة على أربعة، حيث إن الأعداد الزوجية زائد الأعداد الفردية لا بد أن يساوي جميع الأعداد. فلو عكسنا الأمر، فهذا يعني أن الانتقال من مجموع الأعداد الفردية إلى مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة كلها يتطلب الضرب في أربعة على ثلاثة. إذن، ‪𝜋‬‏ تربيع على ثمانية، نضربه في أربعة على ثلاثة، جلا جلا! ها قد حصلنا على حل لمعضلة بازل.