نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمتي الكميتين القياسيتين ﺭ وﻑ إذا كان المتجه صفر، ثلاثة يساوي ﺭ في المتجه اثنين، واحد زائد ﻑ في المتجه سالب ثلاثة، سالب واحد.
في هذا السؤال، لدينا معادلة متجهة تتضمن كميتين قياسيتين ﺭ وﻑ. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد قيمتي هاتين الكميتين القياسيتين. للإجابة عن هذا السؤال، علينا التذكر أنه لضرب متجه في كمية قياسية، علينا ضرب جميع مركبات المتجه في الكمية القياسية. على سبيل المثال، لضرب المتجه اثنين، واحد في الكمية القياسية ﺭ، علينا ضرب كل مركبة في ﺭ. وبذلك نحصل على المتجه اثنين ﺭ، واحد ﺭ.
يمكننا تكرار العملية نفسها على المتجه الثاني في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. فنضرب كل مركبة من مركبتي المتجه في ﻑ. وهذا يعطينا المتجه سالب ثلاثة في ﻑ، سالب واحد في ﻑ. ونحن نعرف أن هذا يساوي المتجه صفر، ثلاثة. يمكننا الآن تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة. في المتجه الأول، لدينا واحد ﺭ، وهو ما يساوي ﺭ. أما في المتجه الثاني، فلدينا سالب واحد ﻑ، الذي يساوي سالب ﻑ. هكذا، نجد أن المتجه صفر، ثلاثة يساوي المتجه اثنين ﺭ، ﺭ زائد المتجه سالب ثلاثة ﻑ، سالب ﻑ.
لحل هذه المعادلة، علينا جمع المتجهين في الطرف الأيسر من المعادلة معًا. ويمكننا فعل ذلك بتذكر أنه لجمع متجهين لهما البعد نفسه معًا، علينا جمع مركبتيهما المتناظرتين. بجمع المركبة الأولى لكل متجه في الطرف الأيسر من المعادلة معًا، نحصل على اثنين ﺭ زائد سالب ثلاثة ﻑ، وهو ما يساوي اثنين ﺭ ناقص ثلاثة ﻑ. وبجمع المركبة الثانية لكل متجه في الطرف الأيسر من المعادلة معًا، نحصل على ﺭ زائد سالب ﻑ، وهو ما يساوي ﺭ ناقص ﻑ. بهذا، يكون لدينا المتجه صفر، ثلاثة يساوي المتجه اثنين ﺭ ناقص ثلاثة ﻑ، ﺭ ناقص ﻑ.
لدينا الآن معادلة تتضمن متجهين متساويين. ونحن نعرف أنه لكي يكون المتجهان متساويين، لا بد أن يكون لهما البعد نفسه، وأن تكون جميع مركباتهما المتناظرة متساوية. إذن، لابد أن تكون المركبة الأولى في كلا المتجهين متساوية مع الأخرى. أي أن صفر لا بد أن يساوي اثنين ﺭ ناقص ثلاثة ﻑ. ولابد أن تكون المركبة الثانية في كلا المتجهين متساوية مع الأخرى. أي أن ثلاثة لا بد أن يساوي ﺭ ناقص ﻑ.
لدينا معادلتان خطيتان وقيمتان مجهولتان. أي أن علينا حل معادلتين آنيتين. ولفعل ذلك، يمكننا استخدام العديد من الطرق المختلفة. سنستخدم طريقة الحذف. وسنفعل ذلك بضرب طرفي المعادلة الثانية في اثنين. ثلاثة في اثنين يساوي ستة، واثنان في ﺭ ناقص ﻑ يساوي اثنين ﺭ ناقص اثنين ﻑ. وبهذا، أصبحت المعادلة الثانية لدينا هي ستة يساوي اثنين ﺭ ناقص اثنين ﻑ.
يمكننا الآن حذف المتغير ﺭ بطرح المعادلتين إحداهما من الأخرى. بحساب الفرق بين الحدين في الطرف الأيسر من المعادلتين، نحصل على صفر ناقص ستة، الذي يساوي سالب ستة. وبحساب الفرق بين حدي ﺭ في الطرف الأيسر من هاتين المعادلتين، نحصل على اثنين ﺭ ناقص اثنين ﺭ، وهو ما يساوي صفرًا. وبالمثل، نوجد الفرق بين حدي ﻑ في الطرف الأيسر من المعادلتين لنحصل على سالب ثلاثة ﻑ ناقص سالب اثنين ﻑ. وهذا يساوي سالب ثلاثة ﻑ زائد اثنين ﻑ، أي سالب ﻑ.
بذلك، نكون قد أوضحنا أن سالب ستة يساوي صفرًا ناقص ﻑ. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻑ. كل ما علينا فعله هو ضرب طرفي المعادلة في سالب واحد وحذف الصفر. وهذا يعطينا ﻑ يساوي ستة. علينا الآن تحديد قيمة ﺭ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام أي من المعادلتين. دعونا نستخدم حقيقة أن ثلاثة يساوي ﺭ ناقص ﻑ، وﻑ يساوي ستة. وبالتعويض عن ﻑ بستة في المعادلة، نحصل على ثلاثة يساوي ﺭ ناقص ستة. بعد ذلك، نضيف ستة إلى كلا طرفي المعادلة لإيجاد قيمة ﺭ. وبهذا نجد أن ﺭ يساوي تسعة. يمكننا التحقق من أن هاتين القيمتين صحيحتان بالتعويض بهما في المعادلة الآنية الأخرى. اثنان في تسعة ناقص ثلاثة في ستة يساوي ١٨ ناقص ١٨، وهو ما يساوي صفرًا. هذا يعني أن هاتين القيمتين تحققان المعادلة الأخرى. أو بدلًا من ذلك، يمكننا التعويض بهما في المعادلة المتجهة لدينا. كلتا الطريقتين صحيح.
في كلتا الحالتين، استطعنا توضيح أنه إذا كان المتجه صفر، ثلاثة يساوي ﺭ في المتجه اثنين، واحد زائد ﻑ في المتجه سالب ثلاثة، سالب واحد، فإن قيمة ﺭ تساوي تسعة وقيمة ﻑ تساوي ستة.
