فيديو السؤال: إيجاد مجال دالة كسرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجال الدالة ﺩ في المتغير ﺱ تساوي ﺱ زائد أربعة على ﺱ ناقص ثمانية تربيع.

ما هو مجال الدالة؟ إنه مجموعة قيم ﺱ التي تكون الدالة ﺩ في المتغير ﺱ معرفة عندها. يمكننا أن نسأل أنفسنا: هل ينتمي العدد اثنان إلى المجال؟ وهو نفسه السؤال: هل ﺩ عند اثنين معرفة؟ حسنًا، لنكتشف ذلك. سنستخدم تعريف الدالة ﺩ في المتغير ﺱ. بالتعويض عن ﺱ باثنين، نجد أن ﺩ عند اثنين تساوي اثنين زائد أربعة على اثنين ناقص ثمانية تربيع. في البسط، اثنان زائد أربعة يساوي ستة. وفي المقام، اثنان ناقص ثمانية يساوي سالب ستة. مربع ذلك يساوي ٣٦. نحصل على ستة على ٣٦، ويساوي واحدًا على ستة. من الواضح إذن أن ﺩ عند اثنين معرفة. وبالتالي، العدد اثنان ينتمي للمجال بالتأكيد.

لنجرب عددًا آخر. هل ينتمي العدد ثمانية إلى المجال؟ وهو نفسه السؤال: هل ﺩ عند ثمانية معرفة؟ بالتعويض بثمانية، نحصل على ﺩ عند ثمانية يساوي ثمانية زائد أربعة على ثمانية ناقص ثمانية تربيع. في البسط، ثمانية زائد أربعة يساوي ١٢. وفي المقام، ثمانية ناقص ثمانية يساوي صفرًا. صفر تربيع يساوي صفرًا أيضًا. وهكذا نحصل على ١٢ على صفر. ‏‏١٢ على صفر كمية غير معرفة. إذ لا يمكن قسمة أي عدد على صفر. إذن ﺩ عند ثمانية غير معرفة. وبالتالي، فإن العدد ثمانية لا ينتمي لمجال الدالة.

لكن، لا يمكننا تطبيق عملية التأكد هذه على كل الأعداد الحقيقية. ولذا، علينا أن نفكر بطريقة أكثر ذكاء. لم نجد مشكلة في العدد اثنين. اثنان ينتمي إلى المجال. ما مشكلة العدد ثمانية؟ حسنًا، المشكلة أننا حصلنا على صفر في المقام. ونحن لا يمكننا القسمة على صفر. يتضح إذن أنه في الدالة الكسرية، وهي دالة تكتب في صورة كسر يتكون بسطه ومقامه من كثيرات حدود، فهذا هو الشيء الوحيد الذي قد يسبب مشكلة. المجال هو كل الأعداد الحقيقية باستثناء تلك القيم التي تجعل المقام مساويًا للصفر. مقام الدالة التي لدينا هو ﺱ ناقص ثمانية تربيع. إذن المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص مجموعة قيم ﺱ التي تجعل ﺱ ناقص ثمانية تربيع يساوي صفرًا. ما قيم ﺱ التي تجعل ﺱ ناقص ثمانية تربيع يساوي صفرًا؟ إنها ﺱ يساوي ثمانية، فقط.

وبالتالي، المجال هو كل الأعداد الحقيقية باستثناء العدد ثمانية، الذي يكتب هكذا بين قوسي مجموعة. إذن، فأي قيمة لـ ﺱ باستثناء العدد ثمانية الذي يجعل المقام مساويًا للصفر، تجعل الدالة الكسرية ﺩ في المتغير ﺱ معرفة.