فيديو السؤال: إيجاد مركز ونصف قطر الكرة بمعلومية معادلتها الرياضيات

حدد مركز ونصف قطر الكرة التي معادلتها ﺱ^٢ + ﺹ^٢ + ﻉ^٢ + ٧ﺱ + ٦ﺹ + ٣ﻉ + ١٢ = ٠.

٠٧:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

حدد مركز ونصف قطر الكرة التي معادلتها ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ستة ﺹ زائد ثلاثة ﻉ زائد ١٢ يساوي صفرًا.

في هذا السؤال، لدينا معادلة تمثل كرة. علينا إيجاد مركز هذه الكرة ونصف قطرها. للإجابة عن هذا السؤال، نلاحظ أولًا أن معادلة الكرة معطاة على الصورة العامة لمعادلة الكرة. ومع ذلك، سيكون من الأسهل إذا كتبناها على الصورة القياسية لمعادلة الكرة.

نتذكر أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة تخبرنا أن الكرة التي مركزها النقطة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ونصف قطرها نق تكون معادلتها ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع. يمكن تمثيل معادلة أي كرة على هذه الصورة. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة المعطاة في هذا السؤال على هذه الصورة لإيجاد مركزها ونصف قطرها.

لإعادة كتابة هذه المعادلة على هذه الصورة، دعونا نبدأ بالنظر إلى حدي ﺱ في الطرف الأيمن من المعادلة. علينا أن نكتب هذين الحدين على الصورة ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع. يمكننا فعل ذلك بإكمال المربع. علينا أخذ نصف معامل الحد ﺱ. هذا يعطينا سبعة على اثنين.

يمكننا الآن النظر إلى ﺱ زائد سبعة على اثنين الكل تربيع. إذا أردنا إيجاد قيمة ذلك باستخدام مفكوك ذات الحدين أو طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، فسنحصل على ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ٤٩ على أربعة. يمكننا أن نلاحظ أنه يساوي التعبير الذي نريده تقريبًا وهو ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ. كل ما فعلناه هو إضافة ثابت إضافي قيمته ٤٩ على أربعة. ومن ثم، إذا طرحنا ٤٩ على أربعة من ﺱ زائد سبعة على اثنين الكل تربيع، فسنحصل على ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ.

ومن ثم، بإكمال المربع، وجدنا أن ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ يساوي ﺱ زائد سبعة على اثنين الكل تربيع ناقص ٤٩ على أربعة. يمكننا إذن التعويض بذلك في معادلة الكرة عن ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ. لكن، دعونا أولًا نوجد مقدارًا يعبر عن حدي ﺹ، أي ﺹ تربيع زائد ستة ﺹ، مرة أخرى بإكمال المربع.

مرة أخرى، سنحتاج إلى قسمة معامل ﺹ على اثنين. هذا يساوي ستة على اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. وهذا يعطينا ﺹ زائد ثلاثة الكل تربيع. لكن إذا وزعنا الأس على القوس، فسنحصل على ﺹ تربيع زائد ستة ﺹ زائد تسعة. لذا، إذا طرحنا تسعة من هذا التعبير، فسنجد أنه يساوي ﺹ تربيع زائد ستة ﺹ.

وأخيرًا، علينا أن نفعل الشيء نفسه مع حدي ﻉ. في معادلة الكرة المعطاة، حدا ﻉ هما ﻉ تربيع زائد ثلاثة ﻉ. مرة أخرى، علينا إكمال المربع. علينا قسمة معامل ﻉ على اثنين. في هذه الحالة، يعطينا هذا ثلاثة على اثنين. هذا يعني أن ﻉ زائد ثلاثة على اثنين الكل تربيع يساوي ﻉ تربيع زائد ثلاثة ﻉ. لكننا بذلك نضيف ثابتًا آخر قيمته تسعة على أربعة. ومن ثم، علينا طرح هذا الثابت الإضافي تسعة على أربعة لنجعل ذلك يساوي ﻉ تربيع زائد ثلاثة ﻉ.

يمكننا الآن التعويض بهذه التعبيرات الثلاثة التي أوجدناها بإكمال المربع في معادلة الكرة. سنبدأ بالتعويض عن كلا حدي ﺱ بـ ﺱ زائد سبعة على اثنين الكل تربيع ناقص ٤٩ على أربعة. بعد ذلك يمكننا التعويض عن كلا حدي ﺹ بـ ﺹ زائد ثلاثة الكل تربيع ناقص تسعة. ثم يمكننا التعويض عن حدي ﻉ في هذه المعادلة بـ ﻉ زائد ثلاثة على اثنين الكل تربيع ناقص تسعة على أربعة. وأخيرًا، تخبرنا معادلة الكرة أنه إذا أضفنا ١٢ إلى هذا التعبير، فلا بد أن يساوي صفرًا.

الآن هذه هي الصورة القياسية لمعادلة الكرة إلى حد ما. كل ما علينا فعله هو أن نجعل الثابت في الطرف الأيسر من المعادلة وأن يكون على الصورة نق تربيع. لكتابة المعادلة على هذه الصورة، علينا حساب سالب ٤٩ على أربعة ناقص تسعة ناقص تسعة على أربعة زائد ١٢. هذا يعطينا سالب ٢٣ على اثنين. سنضيف ٢٣ على اثنين إلى طرفي هذه المعادلة. بفعل ذلك وبالتبسيط، نحصل على ﺱ زائد سبعة على اثنين الكل تربيع زائد ﺹ زائد ثلاثة الكل تربيع زائد ﻉ زائد ثلاثة على اثنين الكل تربيع يساوي ٢٣ على اثنين.

وبذلك نكون توصلنا إلى الصورة القياسية لمعادلة الكرة إلى حد ما. لكن، الثابت في الطرف الأيسر من المعادلة يكتب عادة على الصورة نق تربيع. وهذا لأنه إذا كان نق موجبًا، فسيكون إذن نصف قطر الكرة. وتتمثل إحدى طرق إجراء ذلك في أخذ الجذر التربيعي الموجب لهذا العدد لأن موجب الجذر التربيعي لهذا العدد الكل تربيع لن يغير قيمته بطبيعة الحال. إذ سيظل مساويًا لـ ٢٣ على اثنين. هذا يعني أن نصف قطر هذه الكرة يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٣ على اثنين.

ولكن، يمكننا تبسيط ذلك. أولًا، دعونا نبسط هذا الجذر بأخذ الجذر التربيعي لـ ٢٣ ثم نقسمه على الجذر التربيعي لاثنين. يمكننا بعد ذلك إنطاق المقام عن طريق ضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي لاثنين. وبحساب قيمة البسط، نجد أن جذر ٢٣ مضروبًا في جذر اثنين يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٣ في اثنين، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٦. وفي المقام، نحصل على جذر اثنين مضروبًا في جذر اثنين، وهو ما يساوي اثنين. وهذه طريقة أخرى لتمثيل قيمة نصف قطر الكرة نق.

وأخيرًا، علينا إيجاد مركز هذه الكرة. يمكننا فعل ذلك بمساواة كل ذات حدين بصفر. أو بدلًا من ذلك، يمكننا ضرب الحد الثابت في كل ذات حدين في سالب واحد. فنحصل على ﺃ يساوي سالب سبعة على اثنين، وﺏ يساوي سالب ثلاثة، وﺟ يساوي سالب ثلاثة على اثنين.

وبذلك، نكون قد أثبتنا أن الكرة المعطاة التي معادلتها ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ستة ﺹ زائد ثلاثة ﻉ زائد ١٢ يساوي صفرًا مركزها سالب سبعة على اثنين، سالب ثلاثة، سالب ثلاثة على اثنين؛ ونصف قطرها يساوي جذر ٤٦ على اثنين.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.