نسخة الفيديو النصية
هل المعادلة: لوغاريتم ﺱ زائد ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ صحيحة؟
في هذا السؤال، لدينا معادلة لوغاريتمية تتضمن القيم ﺃ وﺱ وﺹ، وعلينا تحديد إذا ما كانت هذه المعادلة صحيحة. ربما نفكر في محاولة إثبات صحة هذه المعادلة باستخدام تعريف اللوغاريتم. لكن بما أن هذه ليست إحدى قواعد اللوغاريتمات المعروفة لدينا، فمن الأسهل عادة التحقق إذا ما كانت المعادلة صحيحة باستخدام بعض القيم أولًا. وعليه، سنختار بعض القيم لـ ﺃ وﺱ وﺹ للتحقق من أن طرفي المعادلة متساويان.
لكي نفعل ذلك، دعونا نتذكر بعض قوانين اللوغاريتمات التي تسهل علينا حساب قيمتي طرفي المعادلة. أولًا، لعلنا نتذكر أنه لأي أساس ﺏ، وهو عدد حقيقي موجب لا يساوي واحدًا، فإن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا. ومن ثم، إذا اخترنا أن ﺃ يساوي ثلاثة، وﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ثلاثة، فإن حدي الطرف الأيسر من هذه المعادلة سيكونان على الصورة لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ. بذلك، يمكننا حساب قيمتي هذين الحدين.
لكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن تحققها القيم ﺃ وﺱ وﺹ التي تجعل المعادلة معرفة تمامًا. لذا، دعونا نتحقق إذا ما كان هذا صحيحًا عند ﺃ يساوي ثلاثة، وﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ثلاثة. نحصل في الطرف الأيسر من المعادلة على لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة زائد لوغاريتم ثلاثة للأساس ثلاثة، وهذا يعطينا واحدًا زائد واحد، وهو ما يساوي اثنين. دعونا الآن نعرف إذا ما كان الأمر نفسه يتحقق في الطرف الأيمن من المعادلة. عند ﺃ يساوي ثلاثة، وﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ثلاثة، فإننا نحصل في الطرف الأيمن من المعادلة على لوغاريتم ثلاثة زائد ثلاثة للأساس ثلاثة، ويمكننا تبسيط ذلك لنحصل على لوغاريتم ستة للأساس ثلاثة. ولكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن تساوي هذه القيمة اثنين.
لكن يمكننا إثبات أن هذا غير صحيح. على سبيل المثال، لأي عدد حقيقي موجب، ﺏ، نحن نعلم أن لوغاريتم ﺏ أس ﻥ للأساس ﺏ يساوي ﻥ؛ لأن الدالة اللوغاريتمية للأساس ﺏ هي الدالة العكسية للدالة الأسية ﺏ أس ﻥ. بتطبيق هذه النتيجة، نجد أن لوغاريتم ثلاثة تربيع للأساس ثلاثة يساوي اثنين. ثلاثة تربيع يساوي تسعة. ولا يساوي ستة.
إذن، طرفا المعادلة غير متساويين للقيم ﺃ وﺱ وﺹ هذه، ومن ثم، فإن هذه المعادلة غير صحيحة. ولمزيد من التوضيح، دعونا نستخدم الآلة الحاسبة أيضًا لإيجاد قيمة لوغاريتم ستة للأساس ثلاثة. فنجد أنه يساوي ١٫٦٣ لأقرب منزلتين عشريتين. مرة أخرى، هذا لا يساوي الطرف الأيسر من المعادلة. لذا، يمكننا القول إن الإجابة هي «لا»؛ فالمعادلة لوغاريتم ﺱ زائد ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ ليست صحيحة.
لكن هناك عبارة أخرى قريبة جدًّا من هذه العبارة وهي صحيحة. تسمى هذه العبارة «قاعدة الضرب للوغاريتمات». وتنص على أنه لأي أعداد حقيقية موجبة، ﺃ وﺱ وﺹ؛ حيث ﺃ لا يساوي واحدًا، فإن لوغاريتم ﺱ في ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ، مع وجود اختلاف كبير وهو أن لدينا حاصل ضرب ﺱ وﺹ داخل اللوغاريتم. وليس لدينا مجموعهما. في كلتا الحالتين، يمكننا توضيح أن الإجابة هي «لا»؛ فالمعادلة لوغاريتم ﺱ زائد ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ ليست صحيحة.
