فيديو الدرس: العمليات على المصفوفات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف ندمج عمليات جمع المصفوفات وطرحها وضربها في عدد ثابت، وكيف ندور المصفوفات. سنبدأ بتذكر كيفية إجراء كل عملية من هذه العمليات.

إذا كان ﺃ وﺏ مصفوفتين لهما نفس الرتبة أو البعد، فبإمكاننا جمعهما أو طرحهما. إذا افترضنا أن ﺃ وﺏ مصفوفتان من الرتبة اثنين في اثنين كما هو موضح، يمكننا ببساطة جمع المصفوفتين أو طرحهما بجمع عناصرهما المتناظرة أو طرحها. سيكون للمصفوفة ﺃ زائد ﺏ الرتبة نفسها؛ اثنان في اثنين، وستحتوي على العناصر الأربعة الموضحة. يمكننا حساب المصفوفة ﺃ ناقص ﺏ بطريقة مماثلة من خلال طرح العناصر المتناظرة. من المهم ملاحظة أن المصفوفة ﺃ زائد المصفوفة ﺏ تساوي المصفوفة ﺏ زائد المصفوفة ﺃ. لكن المصفوفة ﺃ ناقص المصفوفة ﺏ لا تساوي بالضرورة المصفوفة ﺏ ناقص المصفوفة ﺃ. هذا يعني أن جمع المصفوفات عملية إبدالية، في حين أن الطرح ليس كذلك. المصفوفة ﺃ ناقص ﺏ تساوي في الواقع سالب واحد مضروبًا في المصفوفة ﺏ ناقص ﺃ.

دعونا الآن نتذكر كيف يمكننا ضرب مصفوفة في كمية قياسية. لضرب أي مصفوفة في كمية قياسية، فإننا نضرب كل عنصر في تلك الكمية القياسية. يمكننا ضرب مصفوفة من أي رتبة أو بعد في كمية قياسية. دعونا نتناول مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين كما هو موضح. يمكننا ضرب هذه المصفوفة في الكمية القياسية ﻙ. هذا يعطينا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين كما هو موضح. سنسترجع الآن ما نعنيه بمدور المصفوفة. مدور المصفوفة هو مؤثر يجعل الصفوف أعمدة والأعمدة صفوفًا. عندما نتعامل مع مصفوفة مربعة، فإننا نعكس المصفوفة حول قطرها الرئيسي. ويرمز إلى مدور المصفوفة بالأس مد. ويكتب أعلى المصفوفة كما هو موضح‎‎. عند إيجاد مدور مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، يتم تبديل موضعي العنصرين الواقعين في الجزأين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن.

سنتناول الآن المصفوفة المستطيلة ﺏ من الرتبة ثلاثة في اثنين كما هو موضح. عناصرها هي: ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺡ، ﻁ، ﻱ. عندما نبدل بين الصفوف والأعمدة، يصبح مدور ﺏ مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة. فهي تحتوي على صفين وثلاثة أعمدة، ولها العناصر: ﻫ، ﺯ، ﻁ، ﻭ، ﺡ، ﻱ. الصف الأول من المصفوفة ﺏ يمثل العمود الأول من مدور ﺏ. وبالمثل، العمود الأول من المصفوفة ﺏ يمثل الصف الأول من مدور ﺏ. ويمكن تلخيص ذلك على النحو التالي. المصفوفة التي تحتوي على عدد ﻡ من الصفوف وعدد ﻥ من الأعمدة سيصبح مدور هذه المصفوفة مكونًا من عدد ﻥ من الصفوف وعدد ﻡ من الأعمدة. وفي هذه الحالة، ستكون المصفوفة الأصلية من الرتبة ﻡ في ﻥ، بينما سيكون مدور المصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻡ. يختلف هذا الأمر عما يجري في عمليات الجمع والطرح والضرب في كمية قياسية للمصفوفات المربعة؛ حيث تظل الرتبة كما هي.

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي علينا خلالها إجراء مجموعة من هذه العمليات.

إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب سبعة، خمسة، سالب أربعة، سالب اثنين، والمصفوفة ﺏ تساوي واحدًا، صفرًا، سبعة، سالب اثنين، فما قيمة ثلث مضروبًا في ﺃ زائد ﺏ؟

إننا نتذكر أنه يمكننا جمع مصفوفتين إذا كانت لهما الرتبة نفسها. في هذه الحالة، المصفوفة ﺃ والمصفوفة ﺏ كلتاهما مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. لجمع مصفوفتين من الرتبة نفسها، فإننا نجمع عناصرهما المتناظرة. سنبدأ من الجزء العلوي الأيمن، سالب سبعة زائد واحد يساوي سالب ستة. خمسة زائد صفر يساوي خمسة. سالب أربعة زائد سبعة يساوي ثلاثة. وأخيرًا، سالب اثنين زائد سالب اثنين يساوي سالب أربعة. المصفوفة ﺃ زائد ﺏ تساوي سالب ستة، خمسة، ثلاثة، سالب أربعة.

المطلوب منا هو حساب ثلث هذا، لذا علينا ضرب المصفوفة في الكمية القياسية ثلث. ويمكن القيام بهذا من خلال ضرب كل عنصر من العناصر في ثلث أو قسمته على ثلاثة. ثلث مضروبًا في سالب ستة يساوي سالب اثنين. بتكرار هذه العملية مع العناصر الأخرى، نحصل على: خمسة أثلاث، وواحد، وسالب أربعة أثلاث. إذا كانت المصفوفتان ﺃ وﺏ تساويان سالب سبعة، خمسة، سالب أربعة، سالب اثنين؛ وواحدًا، صفرًا، سبعة، سالب اثنين، على الترتيب؛ فإن ثلث ﺃ زائد ﺏ يساوي سالب اثنين، خمسة أثلاث، واحدًا، سالب أربعة أثلاث. على الرغم من أننا لن نثبت ذلك في هذا الفيديو، فإنه من المهم ملاحظة أن ثلثًا مضروبًا في المصفوفة ﺃ زائد ﺏ يساوي ثلث المصفوفة ﺃ زائد ثلث المصفوفة ﺏ.

في المثال التالي، علينا حساب مدور مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين.

المصفوفة ستة، سالب أربعة، سالب ثلاثة، اثنان ناقص مدور المصفوفة خمسة، سالب ثلاثة، سالب أربعة، واحد يساوي (فراغ). (أ) واحدًا، سالب ثمانية، سالب ستة، واحدًا، أم (ب) ١١، صفرًا، صفرًا، ثلاثة، أم (ج) 𝐼، أم (د) مصفوفة صفرية؟

قبل البدء في حل هذا السؤال، يجدر بنا تذكر ما يمثله الخياران (ج) و (د). ‏𝐼 هو مصفوفة الوحدة. إنها مصفوفة مربعة يمثل فيها العدد واحد عناصر قطرها الرئيسي، والعناصر في أي موضع آخر تكون أصفارًا. مصفوفة الوحدة التي رتبتها اثنان في اثنين تكون عناصرها واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. يمثل الخيار (د) المصفوفة الصفرية. لا بد أن تكون جميع عناصرها تساوي صفرًا. ومن ثم، فإن المصفوفة الصفرية التي رتبتها اثنان في اثنين تساوي صفرًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا.

يحتوي هذا السؤال أيضًا على عملية حساب مدور المصفوفة. لحساب مدور المصفوفة، فإننا نبدل بين الصفوف والأعمدة. عند التعامل مع مصفوفة مربعة من الرتبة اثنين في اثنين، فإننا نعكس المصفوفة حول قطرها الرئيسي. في هذا المثال، سيتم تبديل موضع العددين سالب ثلاثة وسالب أربعة. مدور المصفوفة: خمسة، سالب ثلاثة، سالب أربعة، واحد هو: خمسة، سالب أربعة، سالب ثلاثة، واحد. علينا طرح هذا من المصفوفة: ستة، سالب أربعة، سالب ثلاثة، اثنين.

إننا نتذكر أنه عند طرح مصفوفتين، لا بد أن تكون لهما الرتبة نفسها، ونحن ببساطة نطرح العناصر المتناظرة. ستة ناقص خمسة يساوي واحدًا. سالب أربعة ناقص سالب أربعة هو نفسه سالب أربعة زائد أربعة، وهو ما يساوي صفرًا. وبالمثل، سالب ثلاثة ناقص سالب ثلاثة يساوي صفرًا. واثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. المصفوفة: ستة، سالب أربعة، سالب ثلاثة، اثنان ناقص مدور المصفوفة: خمسة، سالب ثلاثة، سالب أربعة، واحد تساوي واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. وكما ذكرنا من قبل، هذه هي مصفوفة الوحدة. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).

في المثال التالي، علينا إيجاد المصفوفة الناقصة في المعادلة.

إذا كان سالب ثلاثة ﺱ زائد المصفوفة سالب ثلاثة، صفر، تسعة، ١٢ يساوي المصفوفة الصفرية، فإن ﺱ يساوي (فراغ). (أ) واحدًا، صفرًا، سالب ثلاثة، سالب أربعة، أم (ب) سالب واحد، صفرًا، ثلاثة، أربعة، أم (ج) ثلاثة، صفرًا، سالب تسعة، سالب ١٢، أم (د) سالب ثلاثة، صفرًا، تسعة، ١٢؟

إننا نعلم أن المصفوفة الصفرية جميع عناصرها يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين تساوي صفرًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا. هناك الكثير من الطرق لحل هذه المسألة. يمكننا قسمة الطرفين على ثلاثة أو سالب ثلاثة. لكن في هذا المثال، سنفترض أن المصفوفة ﺱ هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وأن عناصرها هي: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. ولكي نضرب أي مصفوفة في كمية قياسية، فإننا نضرب كل عنصر من العناصر في تلك الكمية القياسية. هذا يعني أن المصفوفة سالب ثلاثة ﺱ عناصرها هي: سالب ثلاثة ﺃ، سالب ثلاثة ﺏ، سالب ثلاثة ﺟ، سالب ثلاثة ﺩ. بإضافة المصفوفة: سالب ثلاثة، صفر، تسعة، ١٢ إلى هذه المصفوفة، نحصل على المصفوفة الصفرية.

يمكننا بعد ذلك تكوين أربع معادلات خطية عن طريق المقارنة بين العناصر المتناظرة. في البداية، لدينا سالب ثلاثة ﺃ زائد سالب ثلاثة يساوي صفرًا. يمكننا إضافة ثلاثة إلى الطرفين ليصبح لدينا سالب ثلاثة ﺃ يساوي ثلاثة. وبقسمة الطرفين على سالب ثلاثة، نحصل على ﺃ يساوي سالب واحد. بعد ذلك، سنتناول العنصرين في الجزء العلوي الأيسر. هذا يعطينا سالب ثلاثة ﺏ زائد صفر يساوي صفرًا. وبما أن سالب ثلاثة ﺏ يساوي صفرًا، فبقسمة الطرفين على سالب ثلاثة، نحصل على ﺏ يساوي صفرًا. يمكننا تكرار هذه العملية مع الصف السفلي، فنحصل على قيمتي ﺟ وﺩ وهما: ثلاثة، وأربعة. إذن، المصفوفة ﺱ تساوي سالب واحد، صفرًا، ثلاثة، أربعة. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب).

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا نستعرض خلاله المصفوفات المستطيلة.

إذا كانت المصفوفة ﺱ تساوي سالب ثلاثة، سالب اثنين، واحدًا، خمسة، سالب ثمانية، سالب ثمانية، والمصفوفة ﺹ تساوي سالب واحد، ثمانية، سالب تسعة، سالب تسعة، سبعة، سالب اثنين، والمصفوفة ﻉ تساوي ثلاثة، سالب ثمانية، سالب سبعة، صفرًا، سالب ثمانية، خمسة، فما قيمة المصفوفة ثلاثة ﺱ زائد ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ؟

إننا نعلم أنه لضرب أي مصفوفة في كمية قياسية، فإننا ببساطة نضرب كل عنصر من العناصر في هذه الكمية القياسية. هذا يعني أن المصفوفة ثلاثة ﺱ تساوي سالب تسعة، سالب ستة، ثلاثة، ١٥، سالب ٢٤، سالب ٢٤. وبالطريقة نفسها، المصفوفة ثلاثة ﻉ تساوي تسعة، سالب ٢٤، سالب ٢١، صفرًا، سالب ٢٤، ١٥. علينا إضافة المصفوفة ﺹ إلى ثلاثة ﺱ، ثم طرح ثلاثة ﻉ. لا يمكننا جمع المصفوفات وطرحها إلا عندما تكون من الرتبة نفسها. في هذا السؤال، تحتوي المصفوفات الثلاث جميعها على ثلاثة صفوف وعمودين. إذن، رتبتها هي ثلاثة في اثنين.

علينا الآن جمع العناصر المتناظرة وطرحها. سالب تسعة زائد سالب واحد يساوي سالب ١٠. وبطرح تسعة من هذا، نحصل على سالب ١٩. في الجزء العلوي الأيسر، لدينا سالب ستة زائد ثمانية، وهو ما يساوي اثنين. ثم بطرح سالب ٢٤ من ذلك، نحصل على ٢٦. بتكرار هذه الطريقة مع العناصر الأربعة الأخرى، نحصل على ١٥، وستة، وسبعة، وسالب ٤١. بما أن المصفوفات ﺱ وﺹ وﻉ معطاة، فإن المصفوفة ثلاثة ﺱ زائد ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ تساوي سالب ١٩، ٢٦، ١٥، ستة، سبعة، سالب ٤١. لاحظ أن هذه المصفوفة لها نفس رتبة المصفوفات الأصلية.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. لا تكون عمليتا جمع المصفوفات وطرحها معرفة تمامًا إلا إذا كانت بين مصفوفات من الرتبة نفسها.‎ وهذا يعني أنه لا يمكننا جمع المصفوفات أو طرحها إلا إذا كانت لها الأبعاد نفسها. وتتم عملية جمع المصفوفات وطرحها عنصرًا تلو الآخر. هذا يعني أننا نجمع العناصر المتناظرة أو نطرحها. ويتم أيضًا ضرب المصفوفة في كمية قياسية عنصرًا تلو الآخر. يمكننا ضرب مصفوفة من أي رتبة في أي كمية قياسية. بالنسبة إلى أي مصفوفة ﺃ من الرتبة ﻡ في ﻥ، يكون مدور المصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻡ. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد مدور أي مصفوفة سواء أكانت مربعة أم مستطيلة. يجعل مدور المصفوفة الصفوف أعمدة والأعمدة صفوفًا. وعند التعامل مع المصفوفة المربعة، يمكننا عكس المصفوفة حول قطرها الرئيسي.