فيديو السؤال: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بسط جا 𝜃 زائد جتا ٢٧٠ درجة زائد 𝜃.

لتبسيط هذا المقدار، سنبدأ بإيجاد مقدار مكافئ لـ جتا ٢٧٠ درجة زائد 𝜃. وإحدى طرق فعل ذلك هي افتراض أن لدينا دائرة الوحدة. إن إضافة ٢٧٠ درجة إلى 𝜃 تعطينا الموضع نفسه على دائرة الوحدة الذي نحصل عليه عند طرح ٩٠ درجة من 𝜃. ‏‏جتا ٢٧٠ درجة زائد 𝜃 يساوي جتا 𝜃 ناقص ٩٠ درجة. وهذا يشبه إحدى المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين، التي تنص على أن جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. إذا أخذنا سالب واحد خارج المقدار الموجود بين القوسين، فسنحصل على جتا سالب ٩٠ درجة ناقص 𝜃.

وبما أن دالة جيب التمام دالة زوجية، فإن جتا سالب 𝛼 هو نفسه جتا 𝛼. هذا يعني أن المقدار الذي لدينا يساوي جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃. يمكننا بعد ذلك استخدام المتطابقة المثلثية للزاويتين المتتامتين؛ حيث هذا يساوي جا 𝜃. وبالتعويض عن جتا ٢٧٠ درجة زائد 𝜃 بـ جا 𝜃، يصبح المقدار الأصلي جا 𝜃 زائد جا 𝜃. وهذا يساوي اثنين جا 𝜃.

هناك طريقة بديلة لذلك، وهي استخدام متطابقات المجموع أو صيغ المجموع. وتنص إحداها على أن جتا 𝛼 زائد 𝛽 يساوي جتا 𝛼 جتا 𝛽 ناقص جا 𝛼 جا 𝛽. وبالنسبة إلى المقدار الذي لدينا، سنجعل 𝛼 يساوي ٢٧٠ درجة و𝛽 يساوي 𝜃. وهذا يعطينا جتا ٢٧٠ درجة مضروبًا في جتا 𝜃 ناقص جا ٢٧٠ درجة مضروبًا في جا 𝜃‏ ‏جتا ٢٧٠ درجة يساوي صفرًا، وجا ٢٧٠ درجة يساوي سالب واحد. إذن يبسط المقدار الذي لدينا إلى صفر مضروبًا في جتا 𝜃 ناقص سالب واحد مضروبًا في جا 𝜃، وهو ما يساوي جا 𝜃. وهذا يؤكد المقدار الذي حصلنا عليه باستخدام الطريقة الأولى. إذن جا 𝜃 زائد جتا ٢٧٠ درجة زائد 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃.