فيديو: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية

أوجد d𝑦/d𝑥، إذا كان 𝑦 = 6 log₆ 6𝑥.

٠٤:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد d𝑦 على d𝑥، إذا كان 𝑦 يساوي ستة log ستة 𝑥 للأساس ستة.

علينا اشتقاق هذا التعبير الذي يحتوي على الدالة لوغاريتم الأساس ستة. ولكن الدالة اللوغاريتمية الوحيدة التي نعرف طريقة اشتقاقها هي لوغاريتم الأساس 𝑒 — وهو اللوغاريتم الطبيعي. d على d𝑥 للوغاريتم الطبيعي للمتغير 𝑥 يساوي واحدًا على 𝑥. فطريقة اشتقاق لوغاريتم الأساس ستة ليست واضحة في حد ذاتها. ولكن إذا تمكنا من إعادة كتابة هذا التعبير اللوغاريتمي باستخدام اللوغاريتم الطبيعي، فسنعرف كيف نشتق الدالة.

ولحسن الحظ، لدينا صيغة تغيير الأساس، وهي: لوغاريتم 𝑥 للأساس 𝑏 يساوي لوغاريتم 𝑥 للأساس 𝑎 على لوغاريتم 𝑏 للأساس 𝑎. وبتغيير 𝑎 إلى 𝑒، يمكننا كتابة log 𝑥 للأساس 𝑏 بصيغة لوغاريتم الأساس 𝑒 — بعبارة أخرى اللوغاريتم الطبيعي. وبدلًا من كتابة log الأساس 𝑒، يمكننا استخدام الرمز ln ليذكرنا بأن هذا هو اللوغاريتم الطبيعي.

يمكننا أيضًا تطبيق القاعدة باستخدام 𝑐 بدلًا من 𝑥، فهي القاعدة نفسها، ولكن كل هذا يجنبنا التشتت عندما يحين وقت التعويض. إذن فنحن لدينا log ستة 𝑥 للأساس ستة. ومن ثم، بمقارنة هذا مع log 𝑐 للأساس 𝑏، نلاحظ أن 𝑏 يساوي ستة وأن 𝑐 يساوي ستة 𝑥. وبالتالي، فإن log ستة 𝑥 للأساس ستة هو اللوغاريتم الطبيعي لستة 𝑥 على اللوغاريتم الطبيعي لستة.

ويمكننا الآن الاستفادة من حقيقة أن مشتق أي عدد مضروب في دالة يساوي هذا العدد في مشتقة الدالة وذلك لاستخراج بعض الثوابت من الداخل — أي d على d𝑥. ما علينا بعد هذا إلا معرفة مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ستة 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. وهذا تطبيق مباشر لقاعدة السلسلة. فإذا قلنا إن 𝑧 يساوي ستة 𝑥 ثم طبقنا قاعدة السلسلة، فسنحصل على d على d𝑧 للوغاريتم الطبيعي للمتغير 𝑧 في d𝑧 على d𝑥، حيث 𝑧 يساوي ستة 𝑥 كما ذكرنا من قبل.

ربما علينا إيقاف الفيديو والتأكد من أن هذا هو الناتج الذي نحصل عليه عند تطبيق قاعدة السلسلة. إذن ما ناتج d على d𝑧 للوغاريتم الطبيعي للمتغير 𝑧؟ إن المشتقة بالنسبة إلى 𝑥 للوغاريتم الطبيعي للمتغير 𝑥 هي واحد على 𝑥، وعليه فإن المشتقة بالنسبة إلى 𝑧 للوغاريتم الطبيعي للمتغير 𝑧 هي واحد على 𝑧. وبما أن 𝑧 يساوي ستة 𝑥. إذن يمكننا كتابة هذا على هيئة واحد على ستة 𝑥.

والآن ماذا عن d𝑧 على d𝑥؟ حسنًا، بما أن 𝑧 يساوي ستة 𝑥. إذن فإن الاشتقاق بالنسبة إلى المتغير 𝑥 يجعلنا نحصل على ستة. والآن يمكننا تبسيط ما بداخل الأقواس. واحد على ستة 𝑥 في ستة يساوي واحد على 𝑥. وقد رأينا أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ستة 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 هي واحد على 𝑥. وبالتأكيد يعبر هذا أيضًا عن المشتقة بالنسبة إلى 𝑥 للوغاريتم الطبيعي للمتغير 𝑥 فقط.

وقد تتساءل عن سبب تطابق مشتقة ln ستة 𝑥 مع مشتقة ln 𝑥. أؤكد لك أن هذا ليس خطأ حسابيًا. بل إن هذا صحيح تمامًا. على أي حال، بالرجوع إلى المسألة، لا يبقى أمامنا إلا كتابة كسور حاصل الضرب هذا في صورة كسر واحد. وحين نفعل هذا، نجد أن d𝑦 على d𝑥 يساوي ستة على 𝑥 ln ستة.

وما نستخلصه من هذا الفيديو أنه إذا أردت اشتقاق تعبير رياضي يحتوي على لوغاريتم أساس ما، فأول ما تفعله هو استخدام صيغة تغيير الأساس لإعادة كتابة التعبير بدلالة اللوغاريتم الطبيعي لأننا نعلم طريقة اشتقاقه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.