فيديو الدرس: إيجاد مساحة المثلث باستخدام حساب المثلثات الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مساحة مثلث باستخدام طولي ضلعين وجيب الزاوية المحصورة بينهما. لقد عرفنا من قبل أنه يمكننا إيجاد مساحة مثلث باستخدام طول قاعدته وارتفاعه العمودي. لكن بما أن هذين القياسين لا يكونان معطيين دائمًا، فسنستخدم ما نعرفه عن النسب المثلثية لاستنتاج الصيغة المثلثية لمساحة المثلث.

دعونا نبدأ بالنظر إلى المثلث ﺃﺏﺟ الموضح. سنسمي أطوال الأضلاع ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة، حيث تكون أطوال الأضلاع هذه مقابلة للزوايا المناظرة. إذا عرفنا طولي ضلعين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما، فسنتمكن من استنتاج الصيغة المثلثية. دعونا نفترض أننا نعرف طولي الضلعين ﺃ شرطة وﺏ شرطة وقياس الزاوية المحصورة بينهما ﺟ.

بتذكر أن الصيغة الشهيرة لإيجاد مساحة المثلث هي نصف طول قاعدته في ارتفاعه العمودي، يمكننا رسم خط من الرأس ﺏ يكون عموديًّا على القاعدة ﺃﺟ، وسنسميه ﻉ. بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية ﺏ𝐷ﺟ مع استرجاع النسبة المثلثية التي توضح أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية على طول الوتر، نجد بذلك أن جا ﺟ يساوي طول الضلع المقابل ﻉ على طول الوتر ﺃ شرطة. بضرب طرفي هذه المعادلة في ﺃ شرطة، نحصل على ﻉ يساوي ﺃ شرطة مضروبًا في جا ﺟ.

يمكننا التعويض بهذا التعبير الدال على ﻉ في الصيغة العامة. وعليه، فإن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي نصف ﺏ شرطة مضروبًا في ﺃ شرطة جا ﺟ، وهو ما يمكن إعادة كتابته على الصورة نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ. إذن، الصيغة المثلثية لمساحة مثلث هي نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ؛ حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة هما طولا ضلعين، وﺟ هو قياس الزاوية المحصورة بينهما.

جدير بالذكر أنه يمكننا استخدام أي ضلعين مع الزاوية المحصورة بينهما. على سبيل المثال، في الشكل الذي لدينا، نصف ﺏ شرطة ﺟ شرطة جا ﺃ ونصف ﺃ شرطة ﺟ شرطة جا ﺏ يعطيانا أيضًا مساحة المثلث. لذا من الأفضل ألا تبالغ في قلقك بشأن دقة الحروف المستخدمة، وأن تفهم بدلًا من ذلك ما تمثله هذه الحروف من حيث الموضع النسبي للضلعين والزاوية في المثلث.

سنتناول الآن بعض الأمثلة المحددة.

‏ﺃﺏﺟ مثلث فيه ﺏﺟ يساوي ١٥ سم، وﺃﺟ يساوي ٢٥ سم، وقياس الزاوية ﺟ يساوي ٤١ درجة. أوجد مساحة ﺃﺏﺟ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

سنبدأ برسم المثلث ﺃﺏﺟ. إننا نعلم من المعطيات أن طول الضلع ﺏﺟ يساوي ١٥ سنتيمترًا، وطول ﺃﺟ يساوي ٢٥ سنتيمترًا، وقياس الزاوية ﺟ يساوي ٤١ درجة. بما أن لدينا طولي ضلعين في المثلث، وهما ﺃ شرطة وﺏ شرطة، وقياس الزاوية المحصورة بينهما ﺟ، يمكننا حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ، حيث ﺃ شرطة هو طول الضلع ﺏﺟ وﺏ شرطة هو طول الضلع ﺃﺟ. إذن، مساحة المثلث تساوي نصفًا في ١٥ في ٢٥ في جا ٤١ درجة. بعد التأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات، يمكننا كتابة هذا المقدار عليها مباشرة، ما يعطينا ١٢٣٫٠١١٠٦٧ وهكذا مع توالي الأرقام.

مطلوب منا في هذا السؤال تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. وبما أن العدد الرابع بعد العلامة العشرية هو صفر، فإننا نقرب لأسفل؛ ما يجعلنا نحصل على ١٢٣٫٠١١. وبما أن طولي ضلعي المثلث معطيان بالسنتيمتر، فإن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ لأقرب ثلاث منازل عشرية تساوي ١٢٣٫٠١١ سنتيمترًا مربعًا.

في هذا السؤال، كان لدينا في المعطيات طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. لكن في المثال التالي، سيكون لدينا مجموعة مختلفة قليلًا من المعطيات. وسيتطلب منا ذلك إجراء بعض العمليات الحسابية قبل استخدام صيغة مساحة المثلث.

مثلث متساوي الساقين طول ضلعين فيه ٤٨ سم، وقياس زاويتي قاعدته ٧٣ درجة. أوجد مساحة المثلث مقربًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

سنبدأ برسم المثلث، ونحن نعلم أن زاويتي قاعدة المثلث المتساوي الساقين هما الزاويتان اللتان تتكونان من التقاء كل من الضلعين المتساويين مع الضلع الثالث. طول كل من الضلعين المتساويين يساوي ٤٨ سنتيمترًا، وقياس كل من زاويتي قاعدة المثلث يساوي ٧٣ درجة. ومطلوب منا إيجاد مساحة المثلث. إحدى طرق فعل ذلك هي استخدام الصيغة نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ؛ حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة هما طولا ضلعي المثلث وﺟ هو قياس الزاوية المحصورة بينهما.

إذا سمينا المثلث ﺃﺏﺟ كما هو موضح، وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، فإن قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٧٣ درجة زائد ٧٣ درجة. وهذا يماثل طرح ١٤٦ درجة من ١٨٠ درجة. وعليه، فإن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٣٤ درجة. بالتعويض بطولي الضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما، نجد أن مساحة المثلث تساوي نصفًا في ٤٨ في ٤٨ في جا ٣٤ درجة. وبكتابة هذا المقدار على الآلة الحاسبة في وضع الدرجات، نحصل على ٦٤٤٫١٩٠٢٢٤.

مطلوب منا أيضًا تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. وبما أن الرقم الرابع بعد العلامة العشرية هو اثنان، فسنقرب لأسفل. وهذا يعطينا ٦٤٤٫١٩٠. إذن، مساحة المثلث المتساوي الساقين مقربة إلى ثلاث منازل عشرية هي ٦٤٤٫١٩٠ سنتيمترًا مربعًا.

في المثال التالي، سنستخدم طريقة عكسية لإيجاد طول أحد أضلاع المثلث بمعلومية المساحة وطول ضلع آخر وقياس إحدى الزوايا.

‏ﺃﺏﺟ مثلث فيه ﺃﺏ يساوي ١٨ سم، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٦٠ درجة، ومساحته تساوي ٧٤ جذر ثلاثة سنتيمتر مربع. أوجد طول ﺏﺟ لأقرب منزلتين عشريتين.

سنبدأ برسم المثلث ﺃﺏﺟ باستخدام المعطيات لدينا. إننا نعلم من المعطيات أن طول الضلع ﺃﺏ يساوي ١٨ سنتيمترًا. وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٦٠ درجة. ومساحة المثلث تساوي ٧٤ جذر ثلاثة سنتيمتر مربع. المطلوب منا هو إيجاد طول الضلع ﺏﺟ.

لعلنا نتذكر أنه يمكننا حساب مساحة أي مثلث عندما يكون لدينا طولا ضلعين وقياس الزاوية بينهما، والتي تعرف بالزاوية المحصورة بينهما. يمكننا هنا كتابة صيغة المساحة وهي نصف ﺃ شرطة ﺟ شرطة جا ﺏ؛ حيث ﺃ شرطة وﺟ شرطة هما طولا الضلعين وﺏ هو الزاوية المحصورة بينهما.

وكما ذكر في هذا السؤال، مساحة المثلث تساوي ٧٤ جذر ثلاثة سنتيمتر مربع. وهذه القيمة تساوي نصفًا في ﺱ في ١٨ في جا ٦٠ درجة؛ حيث ﺱ هو طول الضلع ﺏﺟ معطى بالسنتيمتر. والزاوية ٦٠ درجة هي إحدى الزوايا الخاصة، وجا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وبما أن نصف ١٨ يساوي تسعة، يمكن تبسيط الطرف الأيسر إلى تسعة جذر ثلاثة على اثنين في ﺱ.

لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، يمكننا أولًا أن نقسم الطرفين على جذر ثلاثة. بضرب كلا الطرفين في اثنين والقسمة على تسعة، نحصل على ﺱ يساوي اثنين في ٧٤ على تسعة، أو تسعين من ٧٤. وهذا يساوي ١٤٨ على تسعة، أو الكسر العشري الدوري ١٦٫٤. عند التقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ١٦٫٤٤. إذن، يمكننا استنتاج أن طول الضلع ﺏﺟ يساوي ١٦٫٤٤ سنتيمترًا لأقرب منزلتين عشريتين.

في المثال الأخير، سنعرف كيف يمكننا استخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث لحساب مساحة متوازي أضلاع.

‏ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع، حيث ﺃﺏ يساوي ٤١ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٢٧ سنتيمترًا، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ١٥٩ درجة. أوجد مساحة ﺃﺏﺟﺩ لأقرب سنتيمتر مربع.

سنبدأ برسم متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ كما هو موضح. علمنا من المعطيات أن طول الضلع ﺃﺏ يساوي ٤١ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺏﺟ يساوي ٢٧ سنتيمترًا. وبما أن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع تكون متساوية في الطول، يمكننا كتابة طولي ﺃﺩ وﺩﺟ على الرسم. كما علمنا من المعطيات أن قياس الزاوية ﺏ يساوي ١٥٩ درجة.

إننا نعلم أنه لحساب مساحة أي متوازي أضلاع، علينا ضرب طول قاعدته في ارتفاعه العمودي. لكن في هذا السؤال، ليس لدينا الارتفاع العمودي لمتوازي الأضلاع. بدلًا من ذلك، نلاحظ أنه يمكن تقسيم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين؛ المثلث ﺃﺏﺟ والمثلث ﺃﺩﺟ. وبما أن المثلثين متطابقان، فإن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة أحد المثلثين.

يمكن حساب مساحة أي مثلث إذا عرفنا طولي ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما؛ فالمساحة تساوي نصف ﺃ شرطة ﺟ شرطة جا ﺏ؛ حيث ﺃ شرطة وﺟ شرطة هما طولا ضلعين في المثلث وﺏ هو قياس الزاوية المحصورة بينهما. إذن، مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي نصفًا في ٢٧ في ٤١ في جا ١٥٩ درجة. وبما أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف هذه القيمة، فسنجد أنها تساوي اثنين في نصف في ٢٧ في ٤١ في جا ١٥٩ درجة. بعد حذف العامل اثنين من كل من البسط والمقام، يمكننا كتابة هذا المقدار على الآلة الحاسبة، وبحساب ذلك نحصل على ٣٩٦٫٧١٣ وهكذا مع توالي الأرقام.

مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر مربع. وبما أن الرقم الموجود بعد العلامة العشرية أكبر من خمسة، فإننا نقرب لأعلى. إذن، مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ لأقرب سنتيمتر مربع هي ٣٩٧ سنتيمترًا مربعًا.

سنختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. يمكن حساب مساحة أي مثلث باستخدام طولي ضلعين من أضلاعه وجيب الزاوية المحصورة بينهما، والصيغة المثلثية لمساحة المثلث هي نصف ﺃ شرطةﺏ شرطة جا ﺟ؛ حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة هما طولا ضلعين وﺟ هو قياس الزاوية المحصورة بينهما. وعرفنا في هذا الفيديو أنه بمعلومية مساحة المثلث ومعطيان فقط من طولي الضلعين ﺃ شرطة وﺏ شرطة وقياس الزاوية ﺟ، يمكن استخدام الصيغة المثلثية لإيجاد طول ضلع أو قياس زاوية مجهول. وأخيرًا، عرفنا أنه يمكن استخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث لحساب مساحة الأشكال الهندسية الأخرى أو الأشكال المركبة التي يمكن تقسيمها إلى مثلثات.