تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: خواص الأشكال الرباعية الدائرية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص الشكل الرباعي الدائري لإيجاد قياسات الزوايا الناقصة، وتحديد إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أو لا.

١٤:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص الشكل الرباعي الدائري لإيجاد قياسات الزوايا الناقصة، وتحديد إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أو لا. سنبدأ بتذكر تعريف الزاوية المحيطية.

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي تتكون عند تقاطع وترين في نقطة تقع على محيط الدائرة. هذا يعني أن رأس هذه الزاوية يقع على محيط الدائرة. يمكننا استخدام فهمنا للزاوية المحيطية لتعريف الشكل الرباعي الدائري. الشكل الرباعي الدائري مضلع رباعي الأضلاع تقع رءوسه على محيط دائرة. إذا تناولنا الشكل الرباعي الدائري ﺃﺏﺟﺩ، فسنجد أن بإمكاننا توصيل الرأسين ﺃ وﺟ بالمركز ﻭ لتكوين نصفي القطرين؛ ﺃﻭ وﻭﺟ. يمكننا تسمية قياسي الزاويتين اللتين تكونتا عند مركز الدائرة ﺱ درجة وﺹ درجة. وبما أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ٣٦٠ درجة، فإن ﺱ درجة زائد ﺹ درجة يساوي ٣٦٠ درجة.

نعلم من نظرية الزاوية المحيطية أن قياس الزاوية المحيطية 𝛳 في الدائرة يساوي نصف قياس الزاوية المركزية اثنين 𝛳، التي تقابل القوس نفسه في الدائرة، كما هو موضح في الشكل. بعبارة أخرى، قياس الزاوية التي تقع على محيط الدائرة يساوي نصف قياس الزاوية عند المركز. هذا يعني أن قياس الزاوية عند الرأس ﺏ يساوي نصف ﺱ درجة، وقياس الزاوية عند الرأس ﺩ يساوي نصف ﺹ درجة. يمكننا دمج هذه المعادلات الثلاث. أولًا: لدينا قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺩ يساوي نصف ﺱ درجة زائد نصف ﺹ درجة. بأخذ نصف عاملًا مشتركًا من الطرف الأيسر للمعادلة، نحصل على نصف في ﺱ درجة زائد ﺹ درجة. وبما أن ﺱ درجة زائد ﺹ درجة يساوي ٣٦٠ درجة، فإن قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺩ يساوي نصف هذا القياس؛ أي إنه يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن مجموع قياسي هاتين الزاويتين المتقابلتين يساوي ١٨٠ درجة.

يمكننا اتباع الخطوات نفسها لتوضيح أن مجموع قياسي الزاويتين ﺃ وﺟ يساوي ١٨٠ درجة أيضًا. ومن هاتين المعادلتين نتوصل إلى الخاصية الآتية حول الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري. مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أنهما زاويتان متكاملتان. يمكننا استخدام ذلك لحساب قياسات الزوايا الناقصة في الشكل الرباعي الدائري. إذا كان قياس الزاوية ﺩ يساوي ٧٥ درجة، يمكننا حساب قياس الزاوية ﺏ بطرح هذا القياس من ١٨٠، وسنجد أنه يساوي ١٠٥ درجات. وبالطريقة نفسها، إذا كان قياس الزاوية ﺃ يساوي ١٢٠ درجة، فسيكون قياس الزاوية ﺟ يساوي ٦٠ درجة؛ لأن ١٨٠ ناقص ١٢٠ يساوي ٦٠. والآن سنتناول مثالًا معطى فيه قياسات الزوايا في الشكل الرباعي الدائري في صورة مقادير جبرية.

إذا كان قياس الزاوية ﺃ يساوي ﺹ درجة، وقياس الزاوية ﺏ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاث درجات، وقياس الزاوية ﺟ يساوي خمسة ﺱ درجة، فأوجد قيمة كل من ﺱ وﺹ.

يوضح الشكل الشكل الرباعي الدائري ﺃﺏﺟﺩ الذي تقع رءوسه على محيط الدائرة. لعلنا نتذكر أن مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري يساوي ١٨٠ درجة. نعرف من السؤال أن قياس الزاوية ﺏ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاث درجات. ونلاحظ من الشكل أن قياس الزاوية ﺩ يساوي ١١٥ درجة. هذا يعني أن أربعة ﺱ ناقص ثلاث درجات زائد ١١٥ درجة يساوي ١٨٠. وبما أن قياسات جميع الزوايا معطاة بالدرجات، يمكننا أن نعيد كتابة ذلك على النحو الموضح. سالب ثلاثة زائد ١١٥ يساوي ١١٢. إذن، تبسط المعادلة لتصبح أربعة ﺱ زائد ١١٢ يساوي ١٨٠. يمكننا بعد ذلك طرح ١١٢ من طرفي المعادلة لنحصل على أربعة ﺱ يساوي ٦٨. بقسمة طرفي المعادلة على أربعة، نحصل على ﺱ يساوي ١٧.

نعرف أيضًا من السؤال أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ﺹ درجة، وقياس الزاوية ﺟ يساوي خمسة ﺱ درجة. هذا يعني أن ﺹ زائد خمسة ﺱ يساوي ١٨٠. وبما أننا حسبنا أن ﺱ يساوي ١٧، إذن ﺹ زائد خمسة مضروبة في ١٧ يساوي ١٨٠. حاصل ضرب خمسة في ١٧ يساوي ٨٥. بطرح هذه القيمة من الطرفين، نحصل على ﺹ يساوي ١٨٠ ناقص ٨٥. وذلك يساوي ٩٥. وعليه، فإن إجابتي هذا السؤال هما ﺱ يساوي ١٧ وﺹ يساوي ٩٥.

ومع أن ذلك ليس مطلوبًا في هذا السؤال، يمكننا أن نعوض بهاتين القيمتين في المقادير المعطاة لقياسات الزوايا ﺃ وﺏ وﺟ لنحسب قياسات الزوايا الناقصة. قياس الزاوية ﺃ يساوي ٩٥ درجة. أربعة مضروبة في ١٧ يساوي ٦٨. بطرح ثلاثة من هذه القيمة، نحصل على ٦٥، إذن قياس الزاوية ﺏ يساوي ٦٥ درجة. وأخيرًا، قياس الزاوية ﺟ يساوي ٨٥ درجة. والآن، كما هو الحال مع أي شكل رباعي دائري، من المفيد أن نتأكد أن مجموع قياسات كل الزوايا الأربع يساوي ٣٦٠ درجة.

سنتناول الآن كيف يمكننا توسيع نطاق خاصية الزوايا الداخلية لشكل رباعي دائري كي تشمل قياس زاوية خارجية. لنبدأ بتناول الشكل الرباعي الدائري ﺃﺏﺟﺩ؛ حيث قياس الزاوية ﺃ يساوي ﻑ درجة وقياس الزاوية ﺟ يساوي ﻥ درجة كما هو موضح. نحن نعلم أن ﻑ درجة زائد ﻥ درجة يساوي ١٨٠ درجة. يمكن إعادة كتابة ذلك ليصبح ﻑ درجة يساوي ١٨٠ درجة ناقص ﻥ درجة. لنتناول الآن زاوية خارجية من خلال مد القطعة المستقيمة ﺩﺟ حتى النقطة ﻫ لتكوين الزاوية الخارجية ﺏﺟﻫ. لنفترض أن قياس هذه الزاوية ﻕ درجة، وبما أن الزاويتين ﺏﺟﺩ وﺏﺟﻫ تقعان على خط مستقيم، فإن مجموع قياسيهما سيساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن ﻥ درجة زائد ﻕ درجة يساوي ١٨٠ درجة.

مرة أخرى، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح ﻕ درجة يساوي ١٨٠ درجة ناقص ﻥ درجة. بما أن الطرف الأيسر في كل معادلة من هاتين المعادلتين متساو، إذن لا بد أن يتساوى الطرف الأيمن في كل منهما؛ أي إن ﻑ درجة يساوي ﻕ درجة. بوضع ﻕ بدلًا من ﻑ على الشكل، نلاحظ أن قياس الزاوية ﺏﺟﻫ يساوي ﻑ درجة. ومن ذلك نتوصل إلى خاصية عامة. قياس الزاوية الخارجية في الشكل الرباعي الدائري يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل. والآن سنطبق هذه الخاصية على مثال.

أوجد قياس الزاوية ﻫﺟﻑ وقياس الزاوية ﺃﺏﻑ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قياسي زاويتين؛ أولًا قياس الزاوية ﻫﺟﻑ، وثانيًا قياس الزاوية ﺃﺏﻑ. ولإيجاد هذين القياسين، سوف نستخدم خاصيتين من خواص الأشكال الرباعية الدائرية. أولًا، لعلنا نتذكر أن مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري يساوي ١٨٠ درجة. وثانيًا، قياس الزاوية الخارجية في الشكل الرباعي الدائري يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل. باستخدام الخاصية الثانية، نلاحظ أن قياس الزاوية ﻫﺟﻑ يساوي قياس الزاوية عند الرأس ﺃ؛ ومن ثم فهو يساوي ٨٠ درجة.

وباستخدام الخاصية نفسها، فإن قياس الزاوية الخارجية ﺃﺏﻑ يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس ﺩ، وهو قياس الزاوية ﺃﺩﺟ. ونظرًا لأن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، يمكننا حساب قياس هذه الزاوية من خلال طرح ١٠٤ درجات من ١٨٠ درجة. وذلك يساوي ٧٦ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺃﺏﻑ يساوي ٧٦ درجة. والآن نكون قد توصلنا إلى الإجابتين المطلوبتين. في حين أننا لم نقم بذلك في هذا السؤال، فقد كان بإمكاننا استخدام الخاصية الأولى التي تنص على أن مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين يساوي ١٨٠ درجة لإيجاد قياسي الزاويتين الداخليتين عند الرأسين ﺏ وﺟ أولًا. وكان بإمكاننا عندئذ استخدام هذين القياسين بالإضافة إلى حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة لإيجاد قياسي الزاويتين ﻫﺟﻑ وﺃﺏﻑ. وبأي من الطريقتين، نتوصل إلى الإجابتين ٨٠ درجة و ٧٦ درجة.

والآن سوف نتناول عكس هاتين النظريتين. وهو ما ينص على أن الشكل الرباعي يكون دائريًّا إذا كان بإمكاننا إثبات واحد مما يأتي: الزاويتان المتقابلتان متكاملتان؛ أي إن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة، أو قياس الزاوية الخارجية يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل. على سبيل المثال، نظرًا لأن مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي المرسوم يساوي ١٨٠ درجة، فلا بد أن يكون شكلًا رباعيًّا دائريًّا. في المقابل، إذا لم يكن مجموع قياسي الزاويتين يساوي ١٨٠ درجة، فلا يكون الشكل الرباعي دائريًّا، ولن يكون بإمكاننا رسم دائرة تمر بجميع الرءوس الأربعة للشكل الرباعي. في الشكل الثاني، بما أن قياس الزاوية الخارجية يساوي الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل، فإن الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ دائري أيضًا. سنتناول الآن مثالًا يتعين علينا فيه إثبات إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أم لا.

هل الشكل ﺃﺏﺟﺩ رباعي دائري؟

نبدأ بتذكر أن هناك طريقتين نتمكن من خلالهما من إثبات أن الشكل الرباعي المعطى دائري: أولًا، إذا كان مجموع قياسي أي زاويتين متقابلتين فيه يساوي ١٨٠ درجة، وثانيًا إذا كان قياس أي زاوية خارجية يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل. سنستخدم الطريقة الأولى للإجابة عن هذا السؤال. إذا تمكنا من إثبات أن قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺩ يساوي ١٨٠ درجة، فسيكون الشكل الرباعي المعطى دائريًّا. يمكننا تطبيق ذلك على الزاويتين ﺃ وﺟ أيضًا. نبدأ بملاحظة أن المثلث ﺃﺩﺟ مثلث متساوي الساقين. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺟﺃﺩ يساوي قياس الزاوية ﺃﺟﺩ، وهو ما يساوي ٥٣ درجة. وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، فإن قياس الزاوية ﺃﺩﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٥٣ درجة زائد ٥٣ درجة. وهو ما يساوي ٧٤ درجة.

لدينا الآن قياسا زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي المعطى. ‏١٠٦ زائد ٧٤ يساوي ١٨٠. إذن، مجموع قياس الزاوية ﺏ وقياس الزاوية ﺩ يساوي بالفعل ١٨٠ درجة. من ثم، يمكننا استنتاج أن الشكل ﺃﺏﺟﺩ شكل رباعي دائري، وأن الإجابة الصحيحة هي نعم.

والآن سنلخص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. تعلمنا في هذا الفيديو أن الشكل الرباعي الدائري هو مضلع رباعي الأضلاع تقع رءوسه على محيط دائرة. وتعلمنا أنه في أي شكل رباعي دائري، تكون كل زاويتين متقابلتين متكاملتين؛ أي إن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة، وتعلمنا أيضًا أن قياس الزاوية الخارجية يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل. وأخيرًا، تعلمنا أن عكس ذلك صحيح أيضًا. يكون الشكل الرباعي دائريًّا إذا تمكنا من إثبات واحد مما يأتي. مجموع قياسي أي زاويتين متقابلتين يساوي ١٨٠ درجة، أو قياس أي زاوية خارجية يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.